6, 28, 496… 왜 '완전한 수'일까?

자신을 뺀 약수의 합과 같은 '완전수'
6의 약수는 1, 2, 3, 6이고 1+2+3=6
8의 약수는 1, 2, 4, 8이고 1+2+4=7
6은 완전수, 8은 완전수가 아니랍니다

"춤 잘 추고 노래도 잘 부르는데, 얼굴까지 잘생겼어! 어쩌면 저렇게 완전한 사람이 있을 수 있지?"

TV 음악 프로그램을 보던 수인이는 좋아하는 가수가 나오자 넋이 나간 듯이 이렇게 말했어요. 그러자 아빠께서 말씀하셨습니다.

"수인아, 어떤 사람도 완전할 수는 없단다."

"왜요? 저 오빠가 완전하지 않다면, 세상에 뭐가 완전하다는 건가요?"

"사람은 완전할 수 없지만, 세상에 완전한 수는 있지."

"완전한 수? 혹시 제가 좋아하는 7인가요?"

"아니. 7은 완전한 수가 아니야."

"그럼 어떤 수가 완전한 거예요?"

"수인아, 약수(約數)가 무엇인지 아니?"

"네, 지난번에 학교에서 배웠어요. 약수란 어떤 수를 나누어떨어지게 하는 수잖아요. 예를 들어 8의 약수는 '1, 2, 4, 8'이에요."

▲ /그림=이창우

"와~ 수인이가 학교 수업을 열심히 들었구나. 약수를 정확하게 알고 있네."

"그런데 완전한 수와 약수가 무슨 상관이에요?"

"사실은 완전한 수라고 부르지 않고, '완전수'라고 불러. 자신을 제외한 약수의 합으로 나타낼 수 있는 수가 바로 '완전수'란다. 아까 수인이가 예로 든 8을 보면, 자신을 제외한 약수를 더했을 때 7(=1+2+4)이 나오잖니? 따라서 8은 완전수가 아니야. 수인이가 좋아하는 7도 약수가 1과 7뿐이라서 완전수가 아니지. 그렇다면 한 자릿수 가운데 완전수는 무엇일까?"

"아빠, 제가 완전수를 찾아볼게요! 우선 1, 2, 3, 4, 5는 전부 완전수가 아니고…. 찾았어요! '6'이 바로 완전수예요. 6의 약수는 1, 2, 3, 6이고, 자신을 제외한 약수를 더했을 때 6(=1+2+3)이 나오니까요."

"하하. 수인이가 완전수를 제대로 이해했구나. 그럼 다른 완전수도 찾을 수 있겠니?"

"네, 한번 해볼게요. 7, 8, 9는 완전수가 아니고…. 10의 약수는 1, 2, 5, 10이니까, 10도 완전수가 아니네요. 어휴, 찾기가 너무 어려워요. 모든 수의 약수를 구한 다음에 또 그걸 더해야 하잖아요. 아빠, 완전수를 찾는 쉬운 방법은 없어요?"

"하하. 아까 찾은 6이 대표적인 완전수로 알려졌고, 그다음으로 큰 완전수는 28, 496 등이 있단다. 수인이가 해본 것처럼 완전수를 구하는 일은 쉽지 않아. 그래서 많은 수학자의 도전 대상이 되었지. 그래서 여섯째 완전수는 '8,589,869,056'인 것을 찾아냈단다. 그러나 여전히 더 큰 완전수를 찾는 일은 컴퓨터로도 힘든 일로 남아 있어."

▲ /그림=이창우

"완전한 사람을 찾기 어려운 것처럼, 완전한 수를 찾는 것도 엄청나게 어려운 일이군요?"

"하하. 그렇지. 그럼 좀 더 쉽게 구할 수 있는 다른 수들을 알려줄게. '우애수'와 '부부수'라는 말 들어봤니?"

"들어본 적은 없지만, 우애수와 부부수는 두 수의 관계를 알려주는 이름 같아요. 우애수는 두 수가 친구 사이고, 부부수는 두 수가 부부 사이인 거예요?"

"우애수와 부부수는 두 수가 가진 특징 때문에 붙은 별명이란다. 이 수들도 약수를 이용해서 구하지. 220과 284처럼, 자기 자신을 제외한 약수를 모두 더한 값이 다른 하나의 수가 되는 두 수를 우애수라고 부른단다. 220은 자신을 제외한 약수를 모두 더하면 284(=1+2+4+5+10+11+20+22+44+55+110)가 되고, 284도 자신을 제외한 약수를 모두 더하면 220(=1+2+4+71+142)이 되거든."

"와~ 정말 신기해요! 그럼 부부수는 뭐예요?"

"부부수도 우애수와 비슷한데, 1과 자기 자신을 제외한 약수의 합이 다른 하나의 수가 되는 두 수를 말한단다. 이번에는 수인이가 75의 부부수를 구해 볼까?"

"네! 75의 약수는 1, 3, 5, 15, 25, 75이니까, 그중에서 1과 75를 제외한 약수를 모두 더하면 48(=3+5+15+25)이네요. 그리고 48의 약수는 1, 2, 3, 4, 6, 8, 12, 16, 24, 48이니까, 1과 자기 자신을 제외한 약수를 더하면 75(=2+3+4+6+8+12+16+24)가 돼요. 그래서 75와 48은 부부수예요! 와~ 수에도 이런 관계가 있다니 정말 신기해요."

"정말 재미있지? 앞으로 수인이가 새로운 수의 관계를 찾아보는 건 어떨까?"

"네! 지겹게만 보이던 숫자가 달리 보일 것 같아요."


[관련 교과] 5학년 1학기 '약수와 배수'


[함께 생각해봐요]
140의 부부수를 구해 보세요.

해설: 140의 약수 가운데 1과 자기 자신을 빼고 모두 더하면 195(=2+4+5+7+10+14+20+28+35+70)가 나와요. 195도 1과 자신을 제외한 약수를 모두 더하면, 140(=3+5+13+15+39+65)이 나오지요. 따라서 140과 195는 부부수예요.

 조선일보