점 두 개 이으면 56… 세 개면 318… 아홉 개면?

점 이어 만드는 스마트폰 패턴 암호, 점 두 개부터 아홉 개까지 연결 가능
두 점 이으면 패턴 56개 만들어지고 세 점 연결할 때는 318개로 늘어나
점 개수 많아질수록 암호 수도 증가

상택이는 지난 어린이날 삼촌에게서 태블릿PC를 선물로 받았습니다. 학습용으로 받은 것이지만, 태블릿PC에 설치한 게임에 푹 빠지고 말았어요. 학교 수업이 끝나자마자 집으로 달려온 상택이는 게임을 하려고 태블릿PC를 켰지요. 그런데 이게 어찌 된 일일까요? 평소 보던 대기 화면 대신 점이 9개 나타나 게임을 할 수 없었습니다. 상택이는 태블릿PC를 들고 엄마께 뛰어갔어요.

"엄마, 왜 태블릿PC에 평소처럼 바로 대기 화면이 나오지 않아요?"

"상택이가 요즘 숙제도 하지 않고 게임에만 빠져 있어서 엄마가 암호를 걸어놨지! 숙제랑 내일 학교 갈 준비부터 해놓고 게임을 하렴!"

"이게 암호라고요? 점 9개가 어떻게 암호가 돼요?"

▲ 그림=이창우

"요즘 스마트폰에 많이 쓰는 '패턴(pattern) 암호'란다. 점 9개 중 자기가 원하는 점을 최대 9개까지 골라서 이으면 점과 그 순서에 따라 암호가 만들어지지. 대신 만드는 데 몇 가지 규칙이 있어."

"어떤 규칙요?"

"첫째, 각 점은 한 번씩만 이어야 한다는 거야. 점 9개에 1부터 9까지 번호를 붙인 다음 예를 들어보면, '1-2-3-2' 같은 연결 형태는 패턴으로 인정하지 않아. 둘째, 직선 위에 놓인 두 점 사이에 점이 있다면 이것을 건너뛰어 이을 수 없단다. '4-1-3-6'같이 1과 3 사이에 2가 있을 때는 2를 뛰어넘을 수 없다는 거야. 대신 예외도 존재한단다. '2-4-1-3-6'처럼 2가 이미 지나간 점일 때는 무시하고 지나갈 수 있어. 아까 말했듯 원래 '1-3'처럼 '2'를 뛰어넘는 것은 불가능하지만, '2-4-1-3-6'에서는 '2'가 이미 지나간 점이기 때문에 무시하고 지나가는 형태가 가능한 거야."

엄마께서 설명하신 규칙을 듣던 상택이가 자신만만한 표정으로 말했습니다.

"이 규칙만 지키면 되는 거예요? 그럼 하나씩 다 해보면 언젠간 풀리겠네요?"

"그렇게 쉽지 않을걸? 태블릿PC의 패턴 잠금은 상택이가 다 해볼 만큼 적은 수가 아니란다. 예를 들어, 두 점을 잇는 경우를 생각해보렴. 단순하게 점 9개에서 2개를 골라 잇는 경우는 얼마나 될까?"

"그거야 처음 출발 지점을 골라야 하니까 9개, 그리고 출발 지점을 제외하고 이을 수 있는 점이 모두 8개니까…. '9×8=72', 총 72가지요!"

"그래! 그런데 아까 엄마가 말한 규칙을 고려하면 그중에서 제외되는 게 있겠지?"

"음…. 규칙을 따져 보면, 가로·세로·대각선의 일직선 위에 놓인 두 점 사이에 다른 점이 있으면 안 돼요. 그런 경우는 가로줄에서 1-3, 3-1, 4-6, 6-4, 7-9, 9-7의 여섯 가지, 세로줄에서 1-7, 7-1, 2-8, 8-2, 3-9, 9-3의 여섯 가지, 대각선에서 1-9, 9-1, 3-7, 7-3의 네 가지가 나오네요! 모두 16가지예요. 전체 72가지에서 패턴으로 인정할 수 없는 16가지를 빼면 56가지가 나와요. 맞지요?"

"와~ 상택이가 경우의 수를 아주 잘 알고 있구나? 그렇다면, 세 점을 연결하는 패턴은 몇 가지나 나올까?"

"처음 고를 수 있는 점은 9개이고, 선택했던 점을 또 고를 수는 없으니 둘째로 고를 수 있는 점은 8개, 마지막으로 고를 수 있는 점은 7개예요. 즉 모든 경우의 수는 '9×8×7=504', 총 504가지가 나오죠! 그러고 나서 아까처럼 제외되는 경우를 빼면 되는데…. 어휴~ 두 점으로 만들 때보다 훨씬 복잡하네요."

"그렇게 복잡할 때는 나뭇가지 모양의 수형도(樹型圖)를 그리면, 비교적 쉽게 확인할 수 있단다."

"세 자리 수형도를 다 적고, 거기서 패턴이 되지 않는 경우를 지우면 된다는 말씀이지요?"

한참 수형도를 만든 상택이는 '1-2-8'처럼 규칙에 어긋나 패턴이 될 수 없는 경우를 찾기 시작했어요.

"다했다! 전체 경우가 504개, 거기서 패턴이 될 수 없는 종류를 제외하면 모두 318가지예요! 저는 숙제를 하느니, 패턴을 318번 시도해서 암호를 풀고 게임을 하겠어요! 하하하!"

"아직 안심하기는 일러. 엄마가 점 몇 개를 골라 패턴을 만들었는지는 아직 모르잖니? 점 9개 중 4개 이상을 골라 만들 수 있는 패턴 수는 총 38만9112개나 된단다. 한 패턴을 입력하는 데 걸리는 시간을 2초라고 해도 77만8224초, 대략 216시간 넘게 걸린단다."

엄마 말씀을 들은 상택이가 한숨을 쉬며 말했어요.

"어휴~ 패턴을 입력하느니 숙제하는 쪽이 더 빠르겠어요. 오늘 할 일 다 마치고 게임을 할게요. 엄마, 빨리 숙제할 테니 맛있는 간식 주세요!"
[함께 생각해봐요]
점 9개 중 7에서 출발하여 세 점을 잇는 경우, 모두 몇 가지 패턴이 나오는지 수형도를 그려서 알아보세요.
해설: 7에서 시작할 경우, 둘째 숫자로 1, 3, 7, 9를 고를 수 없어요. 둘째 숫자로 2를 고르면, 셋째 자리에는 1, 3, 4, 5, 6, 9가 올 수 있습니다. ‘7-2-8’은 5를 건너뛰어야 하므로 규칙에 어긋나요. 나머지 숫자도 수형도를 그려 따져보면, 둘째 숫자가 4이면 여섯 가지, 5이면 일곱 가지, 6이면 여섯 가지, 8이면 여섯 가지가 되지요. 따라서 총 31가지 패턴이 나옵니다.


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 조선일보