WMTC Advanced 2016 Team problem 쉽게풀기 와 복잡게 풀기

  In the figure on the right, H and G are mid -point of BC and DF respectively.
 A is the centre of the circle .
 BCE and DFE are straight lines.
 If < CAH  + < FAG =  62 and < CDF = 30  , find < CEF .

아래 그림 (F1) 에서,  H 와 G 는 각각 BC 와 DF 의 중점이다.
A 는 원의 중심 이다.
BCE 와 DFE 직선상에 있다.
 < CAH  + < FAG =  62 이고, < CDF = 30 일때
< CEF 는 몇 도 인가 ?

<I>(간단한 풀이)

(F2) 에서, 현 CF 의 원주각이 30 도 이니, 중심각 CAF 는 2 배인 60 도 이다.
< CAH  + < FAG =  62 도 이니, 각 CAF 60 도 와 더하면 122 도가 된다.
각< HAG 는 122 도 이다.

원의 중심에서, 현BC 와 현 DF 의 중점에 내린,수선 AH AG 는
 두현과 직각을 이룬다.

마주보는 두각이 모두 직각 90 도 이니 사각형 AGEH 는 한 원 안에 있다.
각 G 와 각 H 의 합이 180 도 이니 ,
(F3) 에서, 각 < CEF 는 180 - 122 = 58 도 이다.

<II>(복잡한 풀이)

(F4) 에서, 각 <CDF 와 각 <CBF 는 현 CF 의 원주각 으로 30도 로 같다.
현 CF 의 중심각 <CAF 는 60 도 이다.

삼각형 ABC 에서 변 AB 와 AC 는 반지름 으로 서로 같다.
삼각형 ABC 는 이등변 삼각형 이다.
각 <BAH 와 각 <CAH 는 a 도 라 한다.

마찬가지로 , 각 <FAG 와  각 <DAG 는 b 로 둔다.

a + b = 62 도 이니 각 <BAD 는 360 - 62 -62- 60 = 176 도 이다.
현 BD 에서 중심각 BAD 가 176 도 이니, 원주각 <BFD 와 <BCD 는
176 / 2 = 88 도 이다.

(F5) 에서 각< GFB 가 88 도 이니 각 <BEF 는 88 - 30 = 58 도 이다.
각 <BEF 와 각 < CEF 는 동일 하니
각 < CEF = 58.

(F6) 에서 각 <DCH 가 88 도 이니, 각 <D + 각  < E  = 88
 각 <D = 30 이니 , 각  < E  = 88 - 30 = 58.
각 < CEF = 58.

간단하고, 빠르게 , 또한 정확하게 풀수있는 능력이 중요하지만,
간단한 문제를,  복잡하게 풀어 보는 것도 
수학 (數學) 의 묘미 다.

궁금하거나 모르는 부분이 있으면 연락 주세요.

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