그림으로 보는 수학 공식 ② 원을 이용한 평균의 정리

복잡한 수학 공식도 그림으로 이해하면 머리에 쏙쏙 들어온다. 수학 공식을 알려주는 그림과 그에 얽힌 이야기를 소개한다!

‘원’을 이용한 산술·기하평균 정리

부등식이란 ＜, ＞, ≤, ≥와 같이 부등호가 들어간 식을 뜻한다.

부등식에도 여러 가지 공식과 정리가 있는데, 그 중에서도 그림을 이용해 설명할 수 있는 대표적인 정리는 바로 ‘산술·기하평균의 정리’이다. 평균에는 산술평균, 기하평균, 조화평균과 같이 여러 가지 종류가 있는데, 그 중에서 산술평균은 기하평균보다 크거나 같다는 것이 이 정리의 내용이다. 식으로 나타내면 다음과 같다.

이제 아래의 두 그림을 살펴보자.

위쪽 그림은 찰스 D. 갤런트의 작품으로, 반원 안에 내접하는 직각삼각형이 있다. 원의 반지름((a+b)/2)과 직각삼각형의 높이(√ab)에 해당하는 변의 길이를 비교해 보면, 항상 원의 반지름이 더 크다는 것을 알 수 있다. (단, a=b가 같을 경우 두 값은 같다.)

반면 아래쪽 그림은 롤랜드 H. 에디의 작품이다. 서로 크기가 다른 두 원이 외접해 있는 그림인데, 이 그림에서 가운데에 있는 직각삼각형을 관찰해 보자. 빗변에 해당하는 두 원의 반지름의 합((a+b)/2)은 항상 직각삼각형의 밑변(√ab)보다 그 값이 크다. 이처럼 이 한 장의 그림만 보면 산술·기하평균의 정리를 쉽게 이해할 수 있다.

수학동아