뿔의 부피는 진짜 기둥 부피의 1/3인가요?

밑면이 합동이고 높이가 같은 뿔과 기둥에서, 뿔의 부피는 기둥 부피의 1/3 입니다. 이 사실은 각뿔이든 원뿔이든 모든 뿔과 기둥에서 성립합니다.

그런데 정말 뿔의 부피는 기둥 부피의 1/3일까요? 이 사실을 의심한다면 아마도 교과서에서 설명이 뭔가 부족하다고 생각하기 때문일 겁니다. 모든 교과서에서는 뿔에 물이나 곡식을 가득 담아 세 번 기둥에 부으면 꽉 찬다는 방법으로 뿔의 부피가 기둥 부피의 1/3이 된다고 설명합니다.
 

뿔의 부피는 진짜 기둥 부피의 $\frac{1}{3}$인가요?
 

그런데 ‘실제로 부어 보면 정말 꽉 찰까?’ 라는 의문이 생깁니다. 더구나 증명을 생명처럼 여기는 수학에서 왜 실험을 하는지 어리둥절하기도 합니다. 이 의문은 고등학교를 졸업할 무렵에야 풀립니다. 적분을 배우면 뿔의 부피가 기둥 부피의 1/3임을 증명할 수 있기 때문입니다. 하지만 중학교에서는 식으로 증명할 수 있는 방법이 없지요.

사실 이것은 매우 유명한 문제입니다. 1900년 국제수학자대회에서 독일의 수학자 다비트 힐베르트가 당시 풀리지 않은 중요한 문제를 23개로 정리해 발표했는데, 그중 세 번째 문제가 이에 관련된 것입니다. 간단히 말하면 밑면의 넓이가 같고 높이가 같은 삼각뿔이 2개 있을 때 한 삼각뿔을 여러 개로 조각낸 다음, 다른 삼각뿔로 조립할 수 있느냐는 문제입니다.

이 문제를 조금 바꿔 말하면 삼각기둥이 있을 때, 밑면이 합동이고 높이가 같은 삼각뿔 3개로 조각낼수 있는냐죠. 바로 뿔의 부피가 기둥 부피의 1/3임을 묻는 문제가 됩니다. 이 문제는 바로 그해에 풀렸습니다. 가능하지 않다고 말이지요.

이처럼 뿔과 기둥의 부피 관계는 무한한 과정을 거쳐야 하는 적분에 의해서만 증명할 수 있답니다. 적분을 모르는 중학교에서는 이런 이유로 실험으로 배웁니다.
 

수학동아