직각삼각형의 비밀, 피타고라스의 정리 발견

수학의 위대한 발견

직각삼각형의 비밀, 피타고라스의 정리 발견

기원전 2550년, 고대 이집트의 사막도시 기자에서 많은 사람들이 엄청난 크기의 피라미드를 짓느라 부산스럽다.

“매듭이 있는 줄을 가져와.”

줄잡이의 말에 한 인부가 매듭이 12개 묶여 있는 긴 줄을 가져왔다. 일정한 간격으로 매듭을 만든 뒤에 각 변에 매듭이 3개, 4개, 5개가 되도록 삼각형 모양을 만들면 직각을 잴 수 있는 자가 된다. 이 매듭 자 속에는 직각삼각형의 비밀, 피타고라스의 정리가 있다.

직각삼각형의 비밀

직각삼각형에는 세 변 사이에 특별한 관계가 있다. 길이가 작은 두 변의 길이를 각각 제곱해 더하면 나머지 긴 변 길이의 제곱과 같다. 이것을 피타고라스의 정리라고 한다.
 

피타고라스의 정리는 그 내용이 간단하면서도 활용 범위가 넓어서 오래전부터 사람들의 관심사였다. 1940년 루미스는 무려 367가지 방법으로 피타고라스의 정리를 증명했고, 이후에도 많은 사람들이 다양한 방법으로 피타고라스의 정리를 증명하고 있다.
 

피타고라스의 정리 증명방법
 

피타고라스의 정리는 중학교에서 처음 배운다. 하지만 피타고라스의 정리를 들어 보지 못한 사람이 없을 정도로 이 정리는 유명하다. 피타고라스의 정리가 유명한 이유 몇 가지를 꼽으면 다음과 같다.

우선 피타고라스의 정리는 삼각형의 변의 길이를 구하는 가장 기본적인 방법이다. 피타고라스의 정리를 이용하면 두 변의 길이를 알 때 나머지 한 변의 길이를 구할 수 있다. 직각삼각형이 아니라고 해서 걱정할 것은 없다. 모든 삼각형은 직각삼각형으로 나눌 수 있기 때문이다.
 

직각삼각형이 아닌 삼각형, 2개의 직각삼각형으로 나뉜 모양
 

두 번째로 삼각형은 평면도형에서 기본이 되는 도형이다. 모든 다각형을 삼각형으로 나눌 수 있기 때문이다. 사각형은 2개의 삼각형으로, 오각형은 3개의 삼각형으로 나뉜다. 고대 그리스의 헤론이라는 수학자는 세 변의 길이를 알 때 삼각형의 넓이를 구하는 식을 찾아냈다. 헤론은 삼각형이 기본 도형이라는 특성을 이용했다. 이처럼 피타고라스의 정리는 도형의 길이와 넓이를 계산할 때 유용하게 쓰인다.

한편 피타고라스의 정리를 다른 관점에서 볼 수도 있다. 피타고라스의 정리는 변 길이의 제곱 관계이므로 변 위에 정사각형을 그리면 정사각형 넓이 사이의 관계를 알려 준다. 즉, 직각삼각형의 세 변 위에 정사각형을 그리면 빗변 위의 정사각형의 넓이는 나머지 두 변 위의 정사각형의 넓이의 합과 같음을 뜻한다. 더 놀라운 것은 변 위의 도형이 정사각형이 아니더라도 오각형, 육각형, 반원 등 닮은 도형이라면 어느 것에도 적용된다는 점이다.

찬란한 피타고라스의 정리
 

피타고라스의 정리를 이용해서 그린 피타고라스 나무
 

피타고라스의 정리를 거꾸로 생각해 보자
 

여기서 직각삼각형을 확장해 일반삼각형으로 범위를 넓혀 보자. 직각삼각형에서 만족했던 피타고라스의 정리를 직각이 아닌 삼각형으로 생각하면 c2과 a2 + b2의 값이 다르고, 그 차가 ∠C의 크기에 의해 결정된다는 것을 예상할 수 있다. 고등학교에서 배우는 제2코사인법칙은 바로 피타고라스의 정리를 확장한 법칙이다. 이 법칙을 이용하면 삼각형의 두 변의 길이와 그 끼인각을 알 때 나머지 변의 길이를 구할 수 있다.
 

 

피타고라스 정리를 이용해서 두 점사이의 거리 구하기
 

이처럼 피타고라스의 정리는 도형을 다루는 기하와 문자로 식을 표현하는 대수를 연결하는 역할을 한다. 또 벡터, 미분과 적분, 미분기하 등 수학의 여러 분야에서 기초적인 원리로 쓰인다. 단순히 직각삼각형에서의 변의 길이를 구하는 것을 넘어 피타고라스의 정리는 수학의 여러 분야에서 기본 원리 역할을 하는 셈이다.

피타고라스가 처음은 아니다
 

주비산경에 나온 구고현의 정리
 

피타고라스는 기원전 500년경에 살았던 고대 그리스의 수학자다. 케옵스 피라미드를 짓던 시대는 이보다 훨씬 전이다. 기록에 따르면 기원전 1800년경 고대 이집트와 바빌로니아에서도 피타고라스 정리를 알고 있었다. 뿐만 아니라 고대 중국에서는 기원전 1100년경에 구고현의 정리라는 이름으로 알려져 있었고, 인도에서는 기원전 800년경에 쓰인 바우다야나 술바수트라에 피타고라스의 정리가 실려 있었다.

그럼에도 불구하고 왜 이 정리에 피타고라스 이름이 붙여진 걸까? 사실 피타고라스학파는 기록을 남기지 않았기 때문에 피타고라스가 독자적으로 이 정리를 발견한 것인지 정확히 알 수 없다.

그러나 유클리드로 이어지는 고대 그리스 수학에서 피타고라스의 정리는 매우 중요한 정리였다. 실제로 피타고라스의 정리는 유클리드가 쓴 ‘원론’에 기록돼 있고, 이 원론은 유럽에서 2000년 이상 수학교과서처럼 사용했다. 즉 현대 수학이 유럽의 수학에 기초해 발달한 덕분에 피타고라스의 정리라는 이름으로 남았다고 짐작할 수 있다.

수학동아