앵무새의 정리

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앵무새의 정리

Prologue_ 책방을 운영하는 뤼슈 씨에게는 브라질에 사는 친구가 있었습니다. 오랫동안 연락이 없었지요. 그런데 어느 날 갑자기 그 친구가 뤼슈 씨에게 수학책을 잔뜩 보내옵니다. 뒤이어 날아온 편지를 통해 뤼슈 씨는 친구가 어떤 수학 가설을 증명했으며, 그로 인해 목숨을 잃었다는 소식을 듣습니다. 뤼슈 씨는 친구의 죽음에 얽힌 비밀을 파헤치기 위해 친구가 보낸 수학책을 연구하기 시작하는데요….

작품 소개

작가인 드니 게디는 프랑스인으로 수학자이자 과학사학자며, 소설과 시나리오 등을 쓰고 있습니다. 영화감독으로 활동하고 있기도 합니다. ‘앵무새의 정리’는 오랫동안 연락이 없었던 친구에게서 갑자기 수많은 수학책을 받은 로슈 씨가 미스터리를 해결해 가는 과정과 수학의 역사가 잘 버무려진 소설입니다.

꼭지점에서 내려긋는 수선의 위치는?

"탈레스가 만약 수선을 연구 대상으로 삼았다면, 지면 위에서 직접 AM의 길이를 구했을 테고 그의 용무도 끝나버렸겠지. 하지만, 그는 피라미드 내부에 감춰져 있어 접근이 불가능한 이 AH 부분을 측정하고자 했던거야."

"그러니, 성격이 이상하다는 거지."

조나단과 레아의 대답이었다.

탈레스가 그림자를 이용해 피라미드의 높이를 쟀다는 이야기는 유명합니다. 땅 위에 막대를 수직으로 세운 뒤 막대와 그림자의 길이가 같아지는 순간 피라미드의 그림자 길이를 재면 피라미드의 높이를 알 수 있다는 원리였지요. 그런데 그게 그렇게 쉬웠을까요?

피라미드의 그림자 길이를 잰다는 것은 피라미드의 꼭지점에서 땅에 수직으로 내린 직선이 땅에 닿는 점과 그림자의 꼭지점까지의 거리를 잰다는 뜻입니다.
 

꼭지점에서 아래로 그은 수직선이 땅과 만나는 지점으로부터 피라미드의 한 변까지의 거리를 재는 그림
 

문제는 꼭지점에서 아래로 그은 수직선이 땅과 만나는 점을 볼 수 없다는 겁니다. 도대체 어떻게 그림자의 길이를 잴 수 있을까요? 여러분이 탈레스가 돼 상상을 해 보세요. 가장 쉬운 방법은 태양빛이 피라미드의 한 밑면과 수직이 될 때 재는 것입니다. 그러면 꼭지점에서 아래로 그은 수직선이 땅과 만나는 지점으로부터 피라미드의 한 변까지의 거리를 쉽게 잴 수 있습니다.
 

아, 그런데 만약 이때가 막대의 실제 길이와 그림자의 길이가 같은 때가 아니라면 어떻게 해야 할까요? 간단합니다. 비례식을 이용하면 되지요.

평균에도 종류가 있다고?

이전에는 산술평균과 기하평균, 이 두가지 평균만 있었다. 이후 조화평균이라는 것이 만들어짐으로써 모두 세가지가 존재하게 됐다.

…중략…

두 수, a와 c의 기하평균은 곱셈과 나눗셈으로 구한다. 정의하면 '첫 번째 수 대 두번재 수는 두번째 수 대 세번재수와 같다'라고 하겠다. 그리스 학자들에게 기하평균은 비례하는 닮은꼴 도형을 나타낸다.

…중략…

마지막으로, 새로 만들어진 조화평균은 좀 더 복잡하다. '첫 번째 수는 두 번째 수의 분수만큼 두 번째 수보다 크고, 두 번째 수는 세번째 수의 분수만큼 세번째 수보다 크다.'
 

기하평균은 통계에서 많이 쓰입니다. 어떤 수치가 첫 해에 2배 늘어나고, 다음 해에는 4배 늘어났다면 한 해에 평균 몇 배가 늘어난 걸까요? 산술평균으로 계산하면 2+4를 2로 나눈값이므로 3입니다. 하지만 이런 경우에는 기하평균으로 계산해야 합니다. 기하평균은 2×4, 즉 8의 제곱근인 약 2.8이므로 한 해에 평균 2.8배가 늘어난 것입니다.
 

수시로 달라지는 삼각형 내각의 합

"180˚ 보다 크다구?"

그는 그 대목을 다시 읽었다.

"그래, 맞아. 크지. 같진 않아!"

그는 삼각형의 세 각의 합은 180˚라고 믿었었다. 그것이 바로 그리스인들이 주장하던 바였다! 하지만 각의 합이 180˚인 경우는 평면에서만이다. 다른 경우에는 그렇지 않다. 그럼 다른 경우란? 뤼슈씨는 지금껏 한 번도 생각해보지 않았던 '곡면 위에 있을 때 어떻게 될까?'라는 문제를 어쩔 수 없이 생각해야만 했다. 메넬라오스는 '오렌지 껍질 위에 펼쳐진 삼각형의 내각의 합이 오렌지 나뭇잎 위에 놓인 것보다 크다'는 주장을 하려 한 걸까?

삼각형의 내각의 합은 180°입니다. 이 사실을 이용해 푸는 문제도 많습니다. 뤼슈 씨도 당연히 삼각형의 내각의 합이 180°라고 알고 있었는데, 그렇지 않다는 말에 깜짝 놀랍니다. 이게 무슨 소리일까요?

우리가 다루는 도형은 보통 평면도형입니다. 평평한 면 위에 있는 도형이라는 뜻이죠. 삼각형의 내각의 합이 180°라고 할 때도 평면 위에 있는 삼각형을 말합니다. 삼각형이 평면 위에 있는 한 내각의 합이 180°라는 말은 언제나 옳습니다. 뤼슈 씨를 당황하게 만든 말은 삼각형이 곡면 위에 있을 때 해당됩니다. 곡면 위에 있는 삼각형은 내각의 합이 180°가 되지 않거든요.

먼저 180°보다 클 때가 있습니다. 지구본 위에 삼각형을 그려 봅시다. 북극점에서 적도 위에 있는 싱가포르까지 선을 긋고, 적도를 따라 서쪽으로 가면 나오는 케냐의 나이로비까지 선을 긋습니다. 그리고 나이로비에서 북극점에 선을 그으면 삼각형이 됩니다.
 

지구본 위에 삼각형을 그린 그림
 

이 삼각형의 내각의 합은 180°가 넘습니다. 반대로 180°보다 작을 때도 있습니다. 말안장과 같이 생긴 곡면에 삼각형을 그리면 내각의 합이 180°보다 작습니다.

이처럼 평면이냐 곡면이냐에 따라 우리가 아는 기하학이 달라집니다. 보통 평면 위에 있는 도형의 성질을 다루는 분야가 유클리드 기하학이고, 곡면이나 휘어진 공간을 다루는 분야를 비유클리드 기하학이라고 합니다.

상상의 수

이 새로운 존재들도 '수'라고 불러야 할까? 설사 수라고 하더라도, 그것은 존재한다고 믿기 어려운 '불가능 수'에 불과하다. 이후, 데카르트는 그 존재들의 위상을 한 단계 높였다. 실제 차수를 표시하기 위해 그것들의 위치를 부여하고 '허수'라고 명명했다! 그리고 또 후에 그들의 실재성이 확인되자, 독일의 수학자 가우스는 그 존재들을 '복소수'라고 불렀다.
그와는 대조적으로, 그때까지 사용되던 수들은 그것이 양수건 음수건 유리수건 무리수건 간에 '실수'라고 통칭했다.

…중략…

그렇다! 복소수의 범주에 음수의 제곱근을 포함시킬 수 있다.

뤼슈 씨는 갈수록 미궁에 빠지는 느낌입니다. 이번에는 ‘허수’라는 개념이 나왔습니다. 허수에 대해 알기 위해 먼저 수에 대해 알아봅시다.

보통 사람이 태어나서 가장 먼저 만나는 수는 ‘자연수’입니다. 1, 2, 3, …처럼 늘어나는 수가 자연수입니다. ‘정수’는 자연수보다 범위가 넓은 수입니다. 정수에는 -1, -2, -3, …과 같은 음수와 0이 들어갑니다. 정수를 포함하면서 더 범위가 넓은 유리수도 있습니다. 유리수는 기약분수로 나타낼 수 있는 수로 교과서에서 볼 수 있는 정수와 분수가 모두 포함됩니다.
 

실수와 허수의 합으로 나타낸 수를 복소수라고 합니다. 복소수는 보통 학생들이 고등학교 때까지 배울 수 있는 가장 큰 수 체계입니다. 상상하기도 어려운 수를 도대체 왜 만들었을까요? 복소수는 수학뿐만 아니라 전자공학과 같은 학문에서 유용하게 쓰인답니다.

파이 공식을 찾아라

뤼슈 씨는 그 식을 소리내어 읽어보았다.

"6분의 파이제곱은 정수들의 제곱……의 역수……의 합이다."

그러곤 생각했다.

'단 한 번의 시도로, 그저 활자화된 공식을 말로써 표현하는데 성공했다는 건 자랑스러워할 만해.' 그 공식을 판독해서 숨은 의미를 밝히는데 성공했다는 것에 대해 말이다. 파이 제곱은 ……그래! 그는 어디로 가야할지를 깨달았다. 그곳에가면 막스가 노퓌튀르를 읽은 충격에서 어느 정도 벗어날 수 있을 것이다.

π는 원의 둘레를 지름으로 나눈 값입니다. 신기하게도 π를 여러 가지 수식으로 나타낼 수 있습니다. 뤼슈 씨가 책에서 읽은 내용이 그런 수식 중 하나입니다.
 

분자가 1이고 분모가 1씩 늘어나는 수의 제곱으로 된 분수를 무한히 더하면 π의 값을 구할 수 있습니다. π를 나타내는 재미있는 수식을 더 알아봅시다. 2라는 단 하나의 수만 사용해서 π를 나타낸 수식도 있습니다.
 

제곱근 기호 없이 나타내는 것도 가능합니다.
 

이번에는 연분수를 이용한 수식을 알아볼까요? 연분수는 정수와 분수의 합으로 나타낸 수입니다. 이때 분수의 분모도 정수 더하기 분수 모양으로 계속 반복됩니다.
 

연분수에 대한 설명
 

π를 다양하게 나타낼 수 있다니 신기합니다. 이 외에도 π를 나타내는 수식이 많습니다. 수학자들이 발견한 수식을 찾아보며 π의 신비를 느껴 보세요.

Epilogue_시간이 흐르자 뤼슈 씨와 함께 사는 아이인 막스가 벼룩시장에서 구해 온 앵무새가 사건과 큰 관련이 있다는 사실이 드러납니다. 이어지는 앵무새 납치 사건과 뤼슈 씨 친구의 사건이 드디어 하나로 이어지는데, 어떤 결말을 맞이하는지 직접 책을 읽고 확인해 보세요.

 

수학동아