관련 단원/힘과 운동
태양 주위를 도는 9개의 행성은 매우 규칙적인 운동을
한다. 이들을 지배하는 법칙과 지구 주위를 도는 인공위성의 궤도 속도를 알아보자.
케플러는 그의 스승인 티코부라헤가 일생동안 행성을 관측해 얻어진 자료들을 정리한 결과 행성은 다음과 같은 법칙에 따라 운동하고 있음을 발견했다.
1 타원궤도의 법칙:모든 행성은 태양을 한 초점으로 하는 타원궤도를 그리면서 운동한다.
2 면적속도 일정의 법칙:태양과 행성을 연결하는 선분이 같은 시간 동안 그리는 면적은 항상 일정하다.
3 조화의 법칙:행성의 공전주기 T의 제곱은 타원궤도의 긴 반지름의 세제곱에 비례한다.
밤하늘에 보이는 수많은 별들은 대부분이 태양과 같이 스스로 빛을 내는 항성들이다. 이에 반해 금성이나 화성과 같이 스스로 빛을 내지 못하고 달처럼 햇빛을 반사함 으로써 우리가 볼 수 있는 별이 행성이다. 따라서 행성은 태양과 지구가 있는 위치의 변화에 의하여 반달이나 초승달 또는 보름달처럼 그 위상이 달라 보인다.
타원에는 일반적으로 두 개의 초점이 있는데 그 두 개의 초점 중 한곳에 태양이 있고 행성은 그 타원의 원주를 움직인다는 것이 케플러의 제 1법칙이다. 두 개의 초점 사이의 간격이 넓으면 길쭉한 타원이고 간격이 좁으면 원에 가까운 타원이 되며 두 개의 초점이 겹치면 원이 된다. 따라서 원도 타원의 일종이므로 행성의 운동에 원운동도 포함된다.
우리가 알고 있는 수성 금성 지구 화성 목성 토성 천왕성 해왕성 명왕성 중에서 가장 긴 타원궤도를 도는 것이 수성인데, 그 수성도 긴 반지름이 짧은 반지름보다 2% 정도 밖에 길지 않다고 한다. 따라서 정밀한 계산이 아니라면 행성의 운동은 원운동이라고 가정해도 될 것이다.
그러나 핼리혜성과 같이 주기적으로 출현하는 혜성들은 그 궤도가 길쭉한 타원이기 때문에 태양에서 멀어진 곳을 통과할 때는 지구에서 관측이 안되다가 태양에 가까워지면 보인다. 가장 유명한 혜성은 핼리혜성인데 이 혜성의 주기는 76년이다.
면적속도란?
행성이 태양에서 먼 곳을 통과할 때는 속도가 느리고 가까운 곳을 통과할 때는 속도가 빨라서 같은 시간 동안 쓸고 지나가는 면적은 같다는 것이 케플러의 제 2법칙이다.
청룡열차처럼 엔진이 없이 공간을 움직이는 물체는 높은 곳을 지날 때는 속도가 느리고 낮은 곳을 지날 때는 속도가 빠르다. 운동에너지와 위치에너지의 합을 역학적 에너지라고 하는데 엔진없이 움직이는 물체는 그 역학적 에너지가 보존되어야 한다. 따라서 높은 곳은 위치에너지가 큰 대신 운동에너지가 작아야 하고 낮은 곳은 위치 에너지가 작은 대신 운동에너지가 커야 한다.
태양에서 멀리 떨어진 곳을 지날 때는 태양의 중력에 대한 위치에너지가 크므로 운동에너지가 작아야한다. 따라서 속도가 줄어든다. 반면에 태양과 가까운 곳을 지날 때는 위치에너지가 작아지므로 운동에너지가 커져서 속도가 증가한다. 이와같은 현상을 기하학적으로는 "면적 속도가 일정하다"고 표현한다. 물론 원운동은 태양으로부터의 거리가 일정하기 때문에 위치에너지가 어느 점이나 같고 운동에너지도 어느 점이나 같아서 속력은 일정하다.
행성이 태양을 한바퀴 도는 데 걸리는 시간의 제곱은 행성궤도 반지름의 세제곱에 비례한다는 것이 케플러의 제 3법칙인데, 여기에 원운동의 일반적인 성질을 결합시키면 만유인력의 법칙이 유도된다. 그러니까 케플러의 제 3법칙 속에 뉴턴의 만유인력법칙이 숨어 있다는 말이다.
뉴턴이 사과가 떨어지는 것을 보고 만유인력의 법칙을 발견했다는 것은 아마도 소설가의 재미있는 추측일 가능성이 크다.
이제 원운동의 조건들을 알아보고 그 원운동과 조화의 법칙에서 어떻게 만유인력의 법칙이 되는지를 유도해 보자.
뉴턴법칙과 케플러법칙의 상관관계
케플러는 그의 스승인 티코부라헤가 일생동안 행성을 관측해 얻어진 자료들을 정리한 결과 행성은 다음과 같은 법칙에 따라 운동하고 있음을 발견했다.
1 타원궤도의 법칙:모든 행성은 태양을 한 초점으로 하는 타원궤도를 그리면서 운동한다.
2 면적속도 일정의 법칙:태양과 행성을 연결하는 선분이 같은 시간 동안 그리는 면적은 항상 일정하다.
3 조화의 법칙:행성의 공전주기 T의 제곱은 타원궤도의 긴 반지름의 세제곱에 비례한다.
밤하늘에 보이는 수많은 별들은 대부분이 태양과 같이 스스로 빛을 내는 항성들이다. 이에 반해 금성이나 화성과 같이 스스로 빛을 내지 못하고 달처럼 햇빛을 반사함 으로써 우리가 볼 수 있는 별이 행성이다. 따라서 행성은 태양과 지구가 있는 위치의 변화에 의하여 반달이나 초승달 또는 보름달처럼 그 위상이 달라 보인다.
타원에는 일반적으로 두 개의 초점이 있는데 그 두 개의 초점 중 한곳에 태양이 있고 행성은 그 타원의 원주를 움직인다는 것이 케플러의 제 1법칙이다. 두 개의 초점 사이의 간격이 넓으면 길쭉한 타원이고 간격이 좁으면 원에 가까운 타원이 되며 두 개의 초점이 겹치면 원이 된다. 따라서 원도 타원의 일종이므로 행성의 운동에 원운동도 포함된다.
우리가 알고 있는 수성 금성 지구 화성 목성 토성 천왕성 해왕성 명왕성 중에서 가장 긴 타원궤도를 도는 것이 수성인데, 그 수성도 긴 반지름이 짧은 반지름보다 2% 정도 밖에 길지 않다고 한다. 따라서 정밀한 계산이 아니라면 행성의 운동은 원운동이라고 가정해도 될 것이다.
그러나 핼리혜성과 같이 주기적으로 출현하는 혜성들은 그 궤도가 길쭉한 타원이기 때문에 태양에서 멀어진 곳을 통과할 때는 지구에서 관측이 안되다가 태양에 가까워지면 보인다. 가장 유명한 혜성은 핼리혜성인데 이 혜성의 주기는 76년이다.
면적속도란?
행성이 태양에서 먼 곳을 통과할 때는 속도가 느리고 가까운 곳을 통과할 때는 속도가 빨라서 같은 시간 동안 쓸고 지나가는 면적은 같다는 것이 케플러의 제 2법칙이다.
청룡열차처럼 엔진이 없이 공간을 움직이는 물체는 높은 곳을 지날 때는 속도가 느리고 낮은 곳을 지날 때는 속도가 빠르다. 운동에너지와 위치에너지의 합을 역학적 에너지라고 하는데 엔진없이 움직이는 물체는 그 역학적 에너지가 보존되어야 한다. 따라서 높은 곳은 위치에너지가 큰 대신 운동에너지가 작아야 하고 낮은 곳은 위치 에너지가 작은 대신 운동에너지가 커야 한다.
태양에서 멀리 떨어진 곳을 지날 때는 태양의 중력에 대한 위치에너지가 크므로 운동에너지가 작아야한다. 따라서 속도가 줄어든다. 반면에 태양과 가까운 곳을 지날 때는 위치에너지가 작아지므로 운동에너지가 커져서 속도가 증가한다. 이와같은 현상을 기하학적으로는 "면적 속도가 일정하다"고 표현한다. 물론 원운동은 태양으로부터의 거리가 일정하기 때문에 위치에너지가 어느 점이나 같고 운동에너지도 어느 점이나 같아서 속력은 일정하다.
행성이 태양을 한바퀴 도는 데 걸리는 시간의 제곱은 행성궤도 반지름의 세제곱에 비례한다는 것이 케플러의 제 3법칙인데, 여기에 원운동의 일반적인 성질을 결합시키면 만유인력의 법칙이 유도된다. 그러니까 케플러의 제 3법칙 속에 뉴턴의 만유인력법칙이 숨어 있다는 말이다.
뉴턴이 사과가 떨어지는 것을 보고 만유인력의 법칙을 발견했다는 것은 아마도 소설가의 재미있는 추측일 가능성이 크다.
이제 원운동의 조건들을 알아보고 그 원운동과 조화의 법칙에서 어떻게 만유인력의 법칙이 되는지를 유도해 보자.
뉴턴법칙과 케플러법칙의 상관관계
(그림2)
구심력
일정한
속력으로 원주 위를 돌고 있는 물체의 운동을 등속 원운동이라고 한다. 등속으로 움직인다고 해서 속도가 변하지 않는다는 것이 아니다. 비록 속력은
일정하다고 해도 속력의 방향이 시시각각 변하므로 속도는 일정하지 않다. 속력은 속도의 크기만을 이르는 스칼라 양이지만 속도는 속력에다 속력의
방향까지도 포함하는 벡터량이기 때문이다.
원운동은 속도가 변하는 운동이므로 일종의 가속도 운동이고 어떤 물체가 가속도운동하기 위해서는 힘이 필요하다. 이 힘을 우리는 구심력이라고 부른다. 실에 돌을 매달고 돌릴 경우 실이 팽팽해지는데 그 실에 작용하는 힘이 구심력이 되어 돌을 원운동시키는 것이다.
물체가 원을 한바퀴 도는데 걸리는 시간을 주기(T)라고 하며 1초동안 회전하는 횟수를 진동수(f)라고 한다. 진동수가 10인 원운동의 주기는 0.1이고 주기가 2인 원운동의 진동수는 0.5이다. 일반적으로 진동수와 주기는 역수의 관계가 있다.
1초 동안에 돌아가는 각도을 각속도(ω)라고 하며 1초에 움직이는 길이를 선속도(v)라고 한다. 따라서 각속도를 주기로 표시하면 T초에 2π만큼 돌아가므로 ω＝2π/T이고, 선속도 v＝2πr/T이므로 v＝rω이다.
등속 원운동이라도 속력의 방향이 일정하게 변하므로 순간 순간의 가속도는 속도의 변화를 시간으로 나누면 된다. 즉 가속도 a＝dv/dt이고, 속도의 변화 dt는 ${v}_{2}$－${v}_{1}$인데 시간간격이 극히 작은 순간에는 호의 길이와 현의 길이가 같으므로 그 값이 vdθ와 같다. 따라서 가속도 a＝vdθ/dt＝vω이며 여기에 v＝rω관계를 대입하면 a＝r${ω}^{2}$＝${v}^{2}$/r이다.
그 가속도의 방향은 시간을 작게 취할수록 속력에 직각방향으로 접근하여 회전각을 극단적으로 작게할 경우 가속도는 완전히 속력의 직각방향이다.
어떤 물체가 가속도운동을 하기 위해서는 반드시 힘이 필요하다. 그 힘이 클수록 가속도가 커진다는 것이 바로 뉴턴의 운동 제 2법칙이다. 힘의 정의가 바로 '물체의 운동상태를 변화시키는 원인' 즉 가속도를 내게 하는 원인이다. 따라서 물체가 가속도 운동한다는 것은 그 방향으로 힘이 작용한다는 것이다.
등속 원운동의 가속도를 만드는 힘을 '구심력'이라고 하고 이는 항상 원의 중심을 향하며 그 크기는 뉴턴의 운동 제 2법칙에 의해 다음과 같이 구해진다.
f＝ma＝mr${ω}^{2}$＝m${v}^{2}$/r＝mr${(2π/T)}^{2}$
행성으로 하여금 원운동하게 하는 구심력은 태양의 중력인데, 그 중력의 형태가 어떠할 것인가는 구심력의 일반형에 조화의 법칙을 대입하면 얻어진다. 즉 ${T}^{2}$∝${r}^{3}$이므로 등식으로 표시하면 ${T}^{2}$＝k${r}^{3}$이라고 쓸 수 있다. 이를 윗 식에 대입하면
f＝4${π}^{2}$mr/k${r}^{3}$＝4${π}^{2}$m/k${r}^{2}$
이 식은 구심력이 거리의 제곱에 반비례하고 행성의 질량에 비례하여야 한다는 것을 보여 주고 있다.
그러나 행성 입장에서 보면 태양이 구심력을 받아서 원운동하는 것이기 때문에 구심력은 태양의 질량에도 비례하는 형태를 띠어야 할 것이다.
태양의 질량이 행성의 질량보다 상대적으로 훨씬 크기 때문에 우리는 태양은 가만히 있고 행성이 태양 둘레를 원운동하는 것처럼 보이는데, 만약 행성의 질량이 태양과 비슷하다면 두 천체가 물리적으로 같은 입장이기 때문에 굳이 행성이 태양둘레를 돈다고 말할 수 없다.
일반적으로 질량이 다르더라도 작용과 반작용의 법칙에 의하면 태양이 행성을 당기는 만큼 행성도 태양을 당겨야 한다. 따라서 그 둘 사이에 작용하는 힘은 거리의 제 곱에 반비례하고 두 천체의 질량에 비례함을 유추할 수 있다.
이를 식으로 표시해 태양과 행성뿐만이 아니라 모든 물체로 확대한 것이 바로 만유인력의 법칙이고 그 식은 다음과 같다.
f＝$\frac{{Gm}_{1}{m}_{2}}{{r}^{2}}$, G는 만유인력 상수
원운동은 속도가 변하는 운동이므로 일종의 가속도 운동이고 어떤 물체가 가속도운동하기 위해서는 힘이 필요하다. 이 힘을 우리는 구심력이라고 부른다. 실에 돌을 매달고 돌릴 경우 실이 팽팽해지는데 그 실에 작용하는 힘이 구심력이 되어 돌을 원운동시키는 것이다.
물체가 원을 한바퀴 도는데 걸리는 시간을 주기(T)라고 하며 1초동안 회전하는 횟수를 진동수(f)라고 한다. 진동수가 10인 원운동의 주기는 0.1이고 주기가 2인 원운동의 진동수는 0.5이다. 일반적으로 진동수와 주기는 역수의 관계가 있다.
1초 동안에 돌아가는 각도을 각속도(ω)라고 하며 1초에 움직이는 길이를 선속도(v)라고 한다. 따라서 각속도를 주기로 표시하면 T초에 2π만큼 돌아가므로 ω＝2π/T이고, 선속도 v＝2πr/T이므로 v＝rω이다.
등속 원운동이라도 속력의 방향이 일정하게 변하므로 순간 순간의 가속도는 속도의 변화를 시간으로 나누면 된다. 즉 가속도 a＝dv/dt이고, 속도의 변화 dt는 ${v}_{2}$－${v}_{1}$인데 시간간격이 극히 작은 순간에는 호의 길이와 현의 길이가 같으므로 그 값이 vdθ와 같다. 따라서 가속도 a＝vdθ/dt＝vω이며 여기에 v＝rω관계를 대입하면 a＝r${ω}^{2}$＝${v}^{2}$/r이다.
그 가속도의 방향은 시간을 작게 취할수록 속력에 직각방향으로 접근하여 회전각을 극단적으로 작게할 경우 가속도는 완전히 속력의 직각방향이다.
어떤 물체가 가속도운동을 하기 위해서는 반드시 힘이 필요하다. 그 힘이 클수록 가속도가 커진다는 것이 바로 뉴턴의 운동 제 2법칙이다. 힘의 정의가 바로 '물체의 운동상태를 변화시키는 원인' 즉 가속도를 내게 하는 원인이다. 따라서 물체가 가속도 운동한다는 것은 그 방향으로 힘이 작용한다는 것이다.
등속 원운동의 가속도를 만드는 힘을 '구심력'이라고 하고 이는 항상 원의 중심을 향하며 그 크기는 뉴턴의 운동 제 2법칙에 의해 다음과 같이 구해진다.
f＝ma＝mr${ω}^{2}$＝m${v}^{2}$/r＝mr${(2π/T)}^{2}$
행성으로 하여금 원운동하게 하는 구심력은 태양의 중력인데, 그 중력의 형태가 어떠할 것인가는 구심력의 일반형에 조화의 법칙을 대입하면 얻어진다. 즉 ${T}^{2}$∝${r}^{3}$이므로 등식으로 표시하면 ${T}^{2}$＝k${r}^{3}$이라고 쓸 수 있다. 이를 윗 식에 대입하면
f＝4${π}^{2}$mr/k${r}^{3}$＝4${π}^{2}$m/k${r}^{2}$
이 식은 구심력이 거리의 제곱에 반비례하고 행성의 질량에 비례하여야 한다는 것을 보여 주고 있다.
그러나 행성 입장에서 보면 태양이 구심력을 받아서 원운동하는 것이기 때문에 구심력은 태양의 질량에도 비례하는 형태를 띠어야 할 것이다.
태양의 질량이 행성의 질량보다 상대적으로 훨씬 크기 때문에 우리는 태양은 가만히 있고 행성이 태양 둘레를 원운동하는 것처럼 보이는데, 만약 행성의 질량이 태양과 비슷하다면 두 천체가 물리적으로 같은 입장이기 때문에 굳이 행성이 태양둘레를 돈다고 말할 수 없다.
일반적으로 질량이 다르더라도 작용과 반작용의 법칙에 의하면 태양이 행성을 당기는 만큼 행성도 태양을 당겨야 한다. 따라서 그 둘 사이에 작용하는 힘은 거리의 제 곱에 반비례하고 두 천체의 질량에 비례함을 유추할 수 있다.
이를 식으로 표시해 태양과 행성뿐만이 아니라 모든 물체로 확대한 것이 바로 만유인력의 법칙이고 그 식은 다음과 같다.
f＝$\frac{{Gm}_{1}{m}_{2}}{{r}^{2}}$, G는 만유인력 상수
뉴턴의
노트^뉴턴의 만유인력법칙은 궁극적으로 케플러법칙과 일맥상통한다.정지위성의 고도
태양의 중력을 구심력으로 하여 원운동하는 천체를 행성이라고 한다면 지구의 중력를 구심력으로 하여 원운동 하는 것을 인공위성이라고 한다. 우리 지구는 천연의 위성인 '달'을 가지고 있다.
위성의 운동도 행성과 같은 원리로 움직이는 것이므로 케플러의 세가지 법칙을 만족시키면서 운동해야 한다. 즉 지상 h의 높이에서 v의 속력으로 운동하는 인공위성에 작용하는 만유인력이 구심력과 같아야 하므로 지구의 질량을 M, 반경을 R이라할 때는 다음과 같은 식을 만족 한다.
m${v}^{2}$/R＋h＝m(R＋h)${ω}^{2}$＝m(R＋h)${(2π/T)}^{2}$＝GmM/${(R＋h)}^{2}$
따라서 인공위성의 주기 T＝2π${[{(R＋h)}^{3}/GM]}^{1/2}$이 된다. 만약 지구의 표면을 스치듯 움직이는 인공위성이 있다면 h가 0인 경우이므로 주기 T＝2π${({R}^{3}/GM)}^{1/2}$이 된다. 여기에 실제의 값을 대입하면 약 1시간 24분으로, 지구를 관통하는 터널에서 단진동하는 물체의 주기와 같다. 지구의 자전주기는 24시간이므로 지구가 한바퀴 자전할 때 이 인공위성은 약 17.3바퀴 돈다.
지구의 자전주기와 같은 주기를 갖는 인공위성은 우리가 보기에 하늘에 정지해 있는 것처럼 보이는데 이런 위성을 정지위성이라고 한다. 정지위성의 주기는 24시간이어야 하므로 위 식에서 T를 8만6천4백초로 만드는 h＝3만6천km이다. 지구 반경의 약 5.6배의 고도에 해당하는 적도 상공에 있어야 한다. 이러한 위성은 한 곳에 고정되어 있으므로 통신용으로 적당하다.
지구
자전속도와 맞춰 도는 인공위성의 높이는 3만6천km다.
함께 생각해봅시다
지구와 태양까지의 거리는 약 1억5천만 km로 1AU라고 하고 공전주기는 3백65일로 1년이다. 한편 핼리 혜성의 주기는 76년이다. 케플러의 제 3법칙을 이용하여 핼리혜성 궤도의 장반지름을 구하라.
또 태양에 가장 가깝게 접근할 때의 거리가 0.6AU라면 태양에서 가장 멀 때의 거리를 구하면?
〈해설〉
주기의 제곱이 행성의 긴반지름에 비례하므로 주기를 '년'으로, 반경을 'AU'로 쓸 경우 비례상수를 1로 할 수 있다. 따라서
반지름 R＝${(76×76)}^{1/3}$＝18AU
태양에서 가장 가까울 때와 가장 멀 때의 거리를 더하면 긴반지름에 두 배가 될 것이므로 가장 멀 때의 거리는 긴반지름의 두 배에서 가장 가까울 때의 길이를 빼면 된다.
즉 36－0.6＝35.4AU 이다.
지구와 태양까지의 거리는 약 1억5천만 km로 1AU라고 하고 공전주기는 3백65일로 1년이다. 한편 핼리 혜성의 주기는 76년이다. 케플러의 제 3법칙을 이용하여 핼리혜성 궤도의 장반지름을 구하라.
또 태양에 가장 가깝게 접근할 때의 거리가 0.6AU라면 태양에서 가장 멀 때의 거리를 구하면?
〈해설〉
주기의 제곱이 행성의 긴반지름에 비례하므로 주기를 '년'으로, 반경을 'AU'로 쓸 경우 비례상수를 1로 할 수 있다. 따라서
반지름 R＝${(76×76)}^{1/3}$＝18AU
태양에서 가장 가까울 때와 가장 멀 때의 거리를 더하면 긴반지름에 두 배가 될 것이므로 가장 멀 때의 거리는 긴반지름의 두 배에서 가장 가까울 때의 길이를 빼면 된다.
즉 36－0.6＝35.4AU 이다.
과학동아
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