확률
정복하기!선생님, ‘확률’ 은 왜 배워야 하죠?
만약 확률을 잘 모른다면 우리 생활은 때때로 불편해질 것입니다. 왜냐하면 확률이 생활 곳곳에서 미래를 대비하기 위한 용도로 사용되거든요.
가장 쉽게 접하는 일기예보 속 강수확률을 생각해봅시다. 강수확률이란 눈이나 비가 1mm 이상 내릴 것을 확률로 나타낸 것을 말해요. 이는 보통 분수 꼴 대신 백분율을 사용하죠.
강수확률을 알면 어떤 점이 좋을까요? 우리는 강수확률 덕분에 어떤 날 소풍을 가야 할지, 주말 데이트 장소를 야외로 해도 좋을지 등을 결정할 수 있습니다. 만약 강수확률을 모른 채 소풍 가는 날을 정했다면, 당일 아침이 돼서야 갈 수 있을지 없을지를 확신할 수 있을 테니까 아주 불편하겠죠.
그리고 보험에 대해 들어본 적 있죠? 보통 각 가정마다 만일을 대비해 한두 개씩 가입하잖아요. 이 보험의 보험료는 어떤 기준으로 결정될까요? 보험회사는 50대 남자가 위암에 걸릴 확률 또는 40대 여자가 유방암에 걸릴 확률, 오토바이를 탈 때 사고가 날 확률, 휴일에 교통사고가 날 확률 등을 계산해 회사가 손해 보지 않는 범위 내에서 보험료와 보험금을 정하죠. 여기서 보험료는 고객이 보험회사에 다달이 지급하는 돈, 보험금은 실제 사고가 났을 때 보험회사에서 고객에게 지급하는 돈을 말합니다.
이렇게 확률을 잘 안다면 확률의 높고 낮음에 따라 미래를 준비할 수 있어요. 확률이 높은 일이라면 미리미리 대비하고, 확률이 매우 낮은 일이라면 크게 걱정하지 않아도 되겠죠. 이처럼 확률은 우리가살아가는 데 커다란 이정표 역할을 한답니다.
한 걸음 더
여러분은 12쪽 화이트보드에 적힌 문제의 답을 고민해 봤나요? 이는 중학교 2학년 학생들이 배우는 ‘경우의 수’ 단원과 관련된 문제입니다. 어떤 학생들은 같은 색을 2번 칠할 수 있다는 단서 때문에 이 문제가 더 어렵게 느껴진다고 하더라고요. 이런 문제는 문제를 보자마자 무작정 덤벼들기보다는 조건을 나눠 천천히 푸는 방법을 추천합니다. 조건만 잘 나누면 쉽게 풀 수 있기 때문이죠.
먼저 A, B, C, D를 모두 서로 다른 색으로 칠하는 방법이 있죠? 이때 각 칸에 칠할 수 있는 색의 수를 따져 보면 A는 5가지, B는 A에 칠한 색을 제외한 4가지, 같은 방법으로 C는 3가지, D는 2가지이므로 모두 5×4×3×2 = 120가지입니다.
다음으로 A와 C는 다른 색, B와 D는 같은 색으로 칠하는 방법을 생각해보죠. 각 칸에 칠할 수 있는 색의 수를 살펴보면 A는 5가지, B는 4가지, C는 A와 다른 색이어야 하므로 3가지, D는 B와 같은 색이니 1가지뿐이에요. 따라서 5×4×3×1 = 60가지가 돼요. 이는 A와 C를 같은 색, B와 D를 다른 색으로 칠하는 방법의 경우의 수와 같죠.
마지막으로 A와 C, B와 D를 각각 같은 색으로 칠하는 방법이 있는데, 이때는 딱 2가지의 색만 사용하면 되겠네요. 각 해당 칸에 칠할 수 있는 색의 수는 A는 5가지, B는 4가지이지만 C와 D는 각각 A와 B와 색이 같으므로 1가지씩이죠. 그래서 마지막 조건의 경우의 수는 5×4×1×1 = 20가지가 됩니다.
이처럼 조건에 따라 차근차근 각각의 경우의 수를 구해 모두 더하면 정답이 260가지인 것은 쉽게 알 수 있겠죠? 혹시 본인이 생각한 조건이 주어진 단서의 범위를 벗어난다면 그 조건은 버려야 합니다. 문제에서 원하는 정보가 무엇인지를 파악하는 것이 가장 중요하니까요.
선생님만 알고 있는 비밀!
가장 먼저 여러분이 경우의 수와 확률의 개념을 정확히 알고 있는지 확인해 봅시다.
경우의 수는 말 그대로 주어진 조건이 일어날 수 있는 방법의 가짓수를 말합니다. 확률은 어떤 일이 일어날 가능성을 나타낸 수를 말하고요. 확률 문제를 접할 때 실수를 하는 학생들에게 주로 나타나는 공통점이 있습니다. 이 학생들은 대부분 ‘확률 문제는 무조건 경우의 수만 잘 생각해서 구하면 돼’ 라고 생각하더라고요. 하지만 모든 확률 문제를 ‘경우의 수’ 만 이용해 풀 수 없어요. 예를 들어 설명해 볼게요.
선생님만
알고 있는 비밀!
왼쪽 그림의 길을 따라 점 A에서 점 B까지 갈 때,
모든 경로 중에서 반드시 점 P를 거쳐 가는 경로를 선택할 확률을 구하여라(단, 각 갈림길에서 어떤 길을 선택하든지 확률은
같다).
→ K군의 답안
점 A에서 점 B까지 가는 전체 경우의 수는 6가지이고, 점 A에서 점 P를 거쳐 점 B까지 가는 경
우는 그중 1가지이므로, 확률은 1/6이다.
K군이 논리적으로 생각한 것 같지만, 안타깝게도 정답은 1/4입니다. 점 A에서 점 B까지 가는 전체 경우의 수 6가지 중에서 각 경로를 택할 가능성이 모두 다르기 때문에, 이 문제는 경우의 수를 이용해 풀 수 없는 문제거든요.
예를 들어 점 A에서 점 Q, R, S를 차례로 거쳐 점 B까지 가는 경로를 생각해 봅시다. 이는 점 A, Q, R에서 나눠진 갈림길 중 하나를 선택해 결정한 길이기 때문이에요. 따라서 전체 경우의 수 중에서 이경로를 선택할 확률은 1/2×1/2×1/2=1/8이 됩니다. 그렇다면 반드시 점 P를 거쳐 가는 경로를 선택할 확률은 어떻게 구할 수 있을까요?
이 경우는 점 A와, 점 P로 가기 위해 반드시 지나야하는 점 Q에서 각각 1/2의 확률로 갈림길 중 하나를 선택해 결정한 길이죠. 따라서 이 경로를 선택할 확률은 1/2×1/2=1/4이 됩니다.
신서중 학생들의 생 생 노하우
기자는 신서중학교 3학년 7반 교실에서 방과 후에도 수학에 대한 열정을 쏟고 있는 3학년 학생 7명을 만날 수 있었어요. 학생들은 이미 2학년 때 ‘경우의 수와 확률’ 을 공부한 학생들이라 자유롭게 이야기를 나눌 수 있었죠. 기자는 학생들에게 혹시 확률이 생활 속에서 어디에 쓰이는지 잘 알고 있느냐고 물었어요.
3학년 구민수 학생이 학생들을 대표해 대답해 줬어요. “저는 평소 스포츠는 가리지 않고 모두 좋아하는 편인데, 확률을 잘 알면 여러 스포츠 종목에서 승리를 예측할 수 있는 것 같아요. 예를 들어 야구의 타율과 축구의 볼 점유율 같은 수치를 통해 승리 팀을 예상하는 거죠.”
또 옆에 있던 허나영 학생은 자신이 느끼는 수학의 매력을 이야기해 줬어요. “사람은 누구나 스스로 자신 있는 분야에 긍지를 느끼는 것 같아요. 저도 마찬가지고요. 저는 수학에 흥미를 많이 느끼는데,가끔 어렵고 안 풀리는 문제를 만나면 포기하고 싶을 때도 있어요. 하지만 끈기를 갖고 문제에 매달리다 문제가 풀렸을 때 느끼는 쾌감은 정말 수학만의 매력인 것 같아요!”
권영기 선생님의 ‘확률’ 정복 비법 전수!
학생들에게 늘‘기본’이 중요하다고 이야기하면, 학생들은 오히려 대수롭지 않게 생각하더라고요. 하지만 기본이 탄탄해야 수학 실력은 성장할 수 있거든요. 예를 들어 확률의 경우 새로 등장하는 용어와 그 정의, 경우의 수 또는 확률을 구하는 방법 등을 기본적으로 잘 알아야 응용문제를 풀 수 있다는 뜻이죠.‘확률’단원을 정복하고 싶다면 다음 두 가지는 꼭 알아두도록 해요.
첫째, 경우의 수를 구할 때는 조건에 맞는 모든 가능성을 빠짐없이 중복되지 않게 살펴보는 꼼꼼함은 필수!
경우의 수 문제는 대부분 어떠한 상황 속에서 무언가를 선택하는 문제이기 때문에 내가 어떤 선택을 할 수 있는지 꼼꼼하게 생각해 보는 것이 가장 중요합니다.
둘째, 확률을 계산할 때는 때에 따라 두 확률을 곱해야 하는지 더해야 하는지 정확히 구별할 줄 알아야 해요. 경우에 따라 문제에 ‘적어도’ 라는 단어가 등장하면 전체 확률에서 반대 사건이 일어날 확률을 구해 빼야 한다는 것도 잊지 마시고요!
만약 아직까지 수학에 자신 없는 학생들이 있다면 절대 포기하지 말라는 말을 해주고 싶어요. 수학은 서두르지 않고 한 계단씩 단계를 밟아 올라가다 보면 누구나 실력을 높일 수 있는 학문이거든요. 비록 지금 당장 옆 친구보다 나의 실력이 부족할지라도 포기하지 않고 꾸준히 노력하다 보면 분명 여러분의 노력이 빛을 발하는 날이 반드시 올 겁니다.
1%의 가능성이 있는 일에 100번 도전했을 때 적어도 1번 이상 성공할 확률을 구해보면 아마 깜짝 놀랄 거예요. 1 - 0.99100≒0.63, 즉 63%나 되거든요. 다들 조금씩 힘내서 포기하지 말고 꾸준히 노력해서 이번 중간고사엔 좋은 성적을 기대해보자고요!
도전! 특별한 수학문제 만들기
권영기 선생님은 수학이란 학생들과 소통하는 도구이자 세상의 비밀을 알게 하는 열쇠라고 말씀하셨어요. 수학 역시 학생들이 생각하는 것보다 어렵지 않으며 즐길 수 있고 아름다운 학문이라고 소개하시면서요. 수학동아 독자 여러분도 세상에 하나뿐인 수학문제를 만들며 수학의 매력에 빠져 보는 건 어떨까요?
→ K군의 답안
점 A에서 점 B까지 가는 전체 경우의 수는 6가지이고, 점 A에서 점 P를 거쳐 점 B까지 가는 경
우는 그중 1가지이므로, 확률은 1/6이다.
K군이 논리적으로 생각한 것 같지만, 안타깝게도 정답은 1/4입니다. 점 A에서 점 B까지 가는 전체 경우의 수 6가지 중에서 각 경로를 택할 가능성이 모두 다르기 때문에, 이 문제는 경우의 수를 이용해 풀 수 없는 문제거든요.
예를 들어 점 A에서 점 Q, R, S를 차례로 거쳐 점 B까지 가는 경로를 생각해 봅시다. 이는 점 A, Q, R에서 나눠진 갈림길 중 하나를 선택해 결정한 길이기 때문이에요. 따라서 전체 경우의 수 중에서 이경로를 선택할 확률은 1/2×1/2×1/2=1/8이 됩니다. 그렇다면 반드시 점 P를 거쳐 가는 경로를 선택할 확률은 어떻게 구할 수 있을까요?
이 경우는 점 A와, 점 P로 가기 위해 반드시 지나야하는 점 Q에서 각각 1/2의 확률로 갈림길 중 하나를 선택해 결정한 길이죠. 따라서 이 경로를 선택할 확률은 1/2×1/2=1/4이 됩니다.
신서중 학생들의 생 생 노하우
기자는 신서중학교 3학년 7반 교실에서 방과 후에도 수학에 대한 열정을 쏟고 있는 3학년 학생 7명을 만날 수 있었어요. 학생들은 이미 2학년 때 ‘경우의 수와 확률’ 을 공부한 학생들이라 자유롭게 이야기를 나눌 수 있었죠. 기자는 학생들에게 혹시 확률이 생활 속에서 어디에 쓰이는지 잘 알고 있느냐고 물었어요.
3학년 구민수 학생이 학생들을 대표해 대답해 줬어요. “저는 평소 스포츠는 가리지 않고 모두 좋아하는 편인데, 확률을 잘 알면 여러 스포츠 종목에서 승리를 예측할 수 있는 것 같아요. 예를 들어 야구의 타율과 축구의 볼 점유율 같은 수치를 통해 승리 팀을 예상하는 거죠.”
또 옆에 있던 허나영 학생은 자신이 느끼는 수학의 매력을 이야기해 줬어요. “사람은 누구나 스스로 자신 있는 분야에 긍지를 느끼는 것 같아요. 저도 마찬가지고요. 저는 수학에 흥미를 많이 느끼는데,가끔 어렵고 안 풀리는 문제를 만나면 포기하고 싶을 때도 있어요. 하지만 끈기를 갖고 문제에 매달리다 문제가 풀렸을 때 느끼는 쾌감은 정말 수학만의 매력인 것 같아요!”
권영기 선생님의 ‘확률’ 정복 비법 전수!
학생들에게 늘‘기본’이 중요하다고 이야기하면, 학생들은 오히려 대수롭지 않게 생각하더라고요. 하지만 기본이 탄탄해야 수학 실력은 성장할 수 있거든요. 예를 들어 확률의 경우 새로 등장하는 용어와 그 정의, 경우의 수 또는 확률을 구하는 방법 등을 기본적으로 잘 알아야 응용문제를 풀 수 있다는 뜻이죠.‘확률’단원을 정복하고 싶다면 다음 두 가지는 꼭 알아두도록 해요.
첫째, 경우의 수를 구할 때는 조건에 맞는 모든 가능성을 빠짐없이 중복되지 않게 살펴보는 꼼꼼함은 필수!
경우의 수 문제는 대부분 어떠한 상황 속에서 무언가를 선택하는 문제이기 때문에 내가 어떤 선택을 할 수 있는지 꼼꼼하게 생각해 보는 것이 가장 중요합니다.
둘째, 확률을 계산할 때는 때에 따라 두 확률을 곱해야 하는지 더해야 하는지 정확히 구별할 줄 알아야 해요. 경우에 따라 문제에 ‘적어도’ 라는 단어가 등장하면 전체 확률에서 반대 사건이 일어날 확률을 구해 빼야 한다는 것도 잊지 마시고요!
만약 아직까지 수학에 자신 없는 학생들이 있다면 절대 포기하지 말라는 말을 해주고 싶어요. 수학은 서두르지 않고 한 계단씩 단계를 밟아 올라가다 보면 누구나 실력을 높일 수 있는 학문이거든요. 비록 지금 당장 옆 친구보다 나의 실력이 부족할지라도 포기하지 않고 꾸준히 노력하다 보면 분명 여러분의 노력이 빛을 발하는 날이 반드시 올 겁니다.
1%의 가능성이 있는 일에 100번 도전했을 때 적어도 1번 이상 성공할 확률을 구해보면 아마 깜짝 놀랄 거예요. 1 - 0.99100≒0.63, 즉 63%나 되거든요. 다들 조금씩 힘내서 포기하지 말고 꾸준히 노력해서 이번 중간고사엔 좋은 성적을 기대해보자고요!
도전! 특별한 수학문제 만들기
권영기 선생님은 수학이란 학생들과 소통하는 도구이자 세상의 비밀을 알게 하는 열쇠라고 말씀하셨어요. 수학 역시 학생들이 생각하는 것보다 어렵지 않으며 즐길 수 있고 아름다운 학문이라고 소개하시면서요. 수학동아 독자 여러분도 세상에 하나뿐인 수학문제를 만들며 수학의 매력에 빠져 보는 건 어떨까요?
도전!
특별한 수학문제 만들기수학동아
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