알기쉬운 미적분이야기

김용운의 수학교실⑥

미분과 적분은 서로 반대의 의미를 갖는다. 미분은 분석이고 적분은 총합이다. 이를테면 원목을 적당한 크기의 재목으로 만들고 또 석회를 분석해서 시멘트를 만드는 것은 분석이다. 이들 재목과 시멘트로 빌딩을 짓는 것이 총합이다.

수학이 처음 시작된 것은 움직이지 않는 것을 대상으로 하면서부터다. 유클리드 기하학에서의 삼각형이나 원은 움직이지 않는 상태에 있으며 1 2 3…과 같은 수는 변하지 않는 물건의 개수를 셈하면서 비롯 됐다.

움직이는 것은 그대로 있는 것보다 잡기 어렵다. 같은 이치로 움직이는 것을 인식하는 일은 변화하지 않는 것을 인식하는 것보다 훨씬 어려운 것이다. 움직이는 것을 정확하게 인식하기 위해서는 정지에 가까운 상태, 즉 시간을 무한소의 단위에서 파악해야 한다.

미적분의 시작

B.C. 5세기경 고대 그리스에서 발표됐던 유명한 파라독스(paradox 궤변)가 있다.
 

미적분의 시작의 예

(1) "발이 빠른 아킬레스는 거북이를 뒤쫓아 잡을 수 없다."

가령 아킬레스의 속도를 거북이 속도의 10배로 하고 거북이는 아킬레스의 10m 앞에서 동시에 출발했다고 가정하자. 아킬레스가 거북이의 자리에 왔을 때 거북이는 아킬레스의 1/10의 속도이므로 그보다 1m 앞에 있다. 또 아킬레스가 그 자리에 당도하면 거북이는 10㎝ 앞에 있다. 계속 이와 같이 해서 아킬레스가 거북이가 있었던 자리에 당도하면 거북이는 반드시 그 앞에 있을 것이므로 절대로 따라 잡을 수 없는 것이다.

(2) "날고 있는 화살을 멈춰 있다."

화살이 아래 그림에서처럼 A에서 B로 향하고 있다. 화살은 B에 당도하기 전에 중간점 C를 통과해야 한다. 그러기 위해서는 AC의 중간 지점 D에 당도해야 하고 또 D에 당도하기 전에는 AD의 중간점 E를 통과해야 한다. 또 또 또… 시간은 무한히 적은 단위로 분할 할 수 있는 것이므로 결국 화살은 출발 지점에서 한치 앞도 갈 수 없다.

이 궤변이 실제의 경우와 다름은 아래 그림을 보면 알기 쉽다.
 

아길레스와 거북이의 위치

(1) 시간을 x축에 잡고, 출발점으로부터의 거리를 y축에 잡는다. 거북이의 그래프는 y축의 10에서 출발, 기울기가 1(매초 1), 아킬레스의 그래프는 원점을 지나 기울기가 10(매초 10) 이다. 이 두개의 그래프에서 아킬레스가 거북이를 잡는 시간과 위치를 알 수 있다. 즉 교점의 높아(y 좌표)가 만난 지점이고 이때의 x좌표가 잡는 시간이 된다.

제논의 궤변에는 교점 p 근방에서 무한히 짧게 잡아 아킬레스를 거북이에게 접근시키고 있었다(그 짧은 거리를 전부 합해 그 극한 값을 취하면 잡는 거리와 시간이 나온다). 궤변이 궤변일 수 있는 이유는 그 무한소점의 무한이 있다는 데서 나왔다.

(2) 시간이 순간, 즉 매우 짧을 때의 화살의 진행거리는 매우 짧아지며 각 순간은 멈춰져 있는 것과 같다. 시간을 아무리 짧게 해도 직선의 기울기는 변하지 않는다. 직선의 기울기는 시간과 기간에 진행하는 거리의 비를 나타낸다. 그것이 곧 속도다. 기울기가 있다는 것은 화살이 움직이고 있다는 것을 말해준다.

왜 이런 궤변이 생겼을까

궤변은
(1) 시간을 무한소의 단위로 분화하고 있고
(2) 극한값을 취해야 설명할 수 있다.
 

근한값 설명

그런데 고대 그리스인은 모든 생각하는 대상을 로고스(logos)적, 즉 유한으로 생각했기 때문에 '무한개념'에 관한 이해는 전혀 없었다. 따라서 '무한대' '무한소'와 '극한'을 다룰 수 있는 수학적인 개념이 없어서 이들 궤변에는 답할 수 없었다.

이들 궤변의 근본 문제는 '유한의 논리로서 무한의 문제'를 생각한 것이다. 미적분학이 나온 것은 무한을 수학의 틀에 끌어들인 뒤의 일이며 이는 고대 그리스 시대 이후 2천년이 지난 17세기가 돼서였다.

미적분학은 한마디로 무한을 대상으로 하는 수학이며 속도 가속도와 같은 움직이는 것을 대상으로 삼는다. 움직이는 대상을 무한소의 시간 속에서 멈춰 있는 것처럼 보는 것이다. 즉 움직이는 것은 시간이 지나면 그 위치가 바뀌는 것이다.

이 사실을 수학에서는 y(거리)는 x(시간)의 함수라고 한다. 이 사실을 간단히 말하면,

함수→미분→적분이라는 순서로 돼 있다.

일반적으로 함수 미분 적분을 합해서 미적분학이라 말하며 이들은 서로 얽혀 있다. 하지만 미분과 적분은 서로 반대의 의미를 갖는다. 미분은 분석이고 적분은 총합이다. 이를테면 원목을 적당한 크기의 재목으로 만들고 또 석회석을 분석해서 시멘트를 만드는 것은 분석이다. 이들 재목과 시멘트로 빌딩을 짓는 것이 총합이다.

또 하나의 비슷한 예를 들어보면 요리가 그것이다. 고기와 감자를 잘게 썰고(분석) 섞어서 (총합) 적당한 크기의 완자를 만드는 것이다. 이 '분석과 총합'은 과학의 기본적인 방법이며 화학의 원자론에서도 일찍이 이용됐다.

우리 한글이 과학적이며 우수하다는 것도 그 때문이다. 한글은 음을 ㄱ ㄴ … 등으로 분석하고 이들을 총합해 글을 만든 것이다.

미분 적분이 생기기 이전에도 분석과 총합은 있었다. 인간의 두뇌는 원래부터 그 분석과 총합의 기능이 있었으며 무의식은 미적분적 생각을 해온 것이다. 그러나 이런 무의식적인 생각이 학문으로 체계화되기 위해서는 함수라는 관념이 마련된 후다.

함수는 간단히 f(x)=y로 쓰여지는데, 이것은 'x의 함수는 y'라는 뜻이다. 영어로는 'function of x'(x의 함수)라고 하며 따라서 f(x)라고 줄여서 쓰는 것이다. 만일 한국인이 미적분을 발명했다면 (x)f=y라고 했을 것이다. 미분이란 x가 적게 변하면 넓이 y도 적게 변하는 것인데, 그런 변화의 비율을 조사하는 것이다.

x가 조금 변하면 y도 조금만 변한다

미적분학은 뉴턴과 라이프니츠에 의해서 거의 동시에 독립적으로 발견됐다. 특히 라이프니츠는 논리학자이기도 했으므로 기호를 만드는 것에도 매우 유능한 실력을 보였다. 현재 사용되고 있는 미적분학의 기호는 거의 라이프니츠에 의해 만들어진 것이다.

위 그림에서 x가 △x만큼 변하면 y도 △y 만큼 변한다. △y에는 그림에서 보는 것처럼(x·△x)의 부분이 두 개, 즉 2(x·△x)와 △x·△x가 있다. 결국

△y는 2(x·△x)+△x·△x
△y/△x는 변화율, 즉 변화의 비율이다.

△y/△x=$\frac{ {2x△x+(△x)}^{2} }{△x}$=2x+△x

이 식에서 △x를 더욱더 적게 하면 △y/△x의 값은 일정한 값에 접근해 간다. 이때 2x는 그대로 있으며 △x만이 계속 변한다.
이런 상황을 합산표로 쓰면 △x→0일 때

△y/△x=2x 또,$\lim _{x→0}\frac{△y}{△x}$ = 0 이라고 쓴다.
△y/△x는 보통의 분수는 아니다. △x→0이면 결국 △x는 0이다.

한편 분자의 △y=2x·△x+△x·△x도 0이다. 그래서 △y/△x=0/0이 된다. △x, △y를 먼저 0으로 하고 나눗셈을 하면 0/0이 돼 계산할 수 없게 된다. 하지만 이때 생각을 바꾸어 나눗셈을 한 뒤에 결과를 0에 접근시킨다.

'수학에서는 계산 순서를 바꾸면 다른 결과가 나오는 것이 있다.'

△x→0이란 한없이 0에 가까워지면서 0은 아닌 것 또는 0이면서 0이 아닌 것이라는 애매한 개념이다. 때문에 처음 미적분이 발표 됐을 때는 오해받기도 했었다.

국민학교에도 미적분학은 있다

원 넓이를 구할 때 마치 수박을 자르는 것처럼 차례로 붙여 나가는 방법이 있다. 이 방법은 국민학교에서도 배운다(아래 그림).
 

국민학교의 미적분학

직사각형의 위와 밑변이 처음에는 파도처럼 보이지만 짧게 자를수록 직선형이 돼간다. 그것이 바로 미분적인 생각이다. 그리고 한없이 작게 나눈 것을 다시 본래의 모양으로 바꾸어 놓는 것이 적분이다.

미분 ⇆적분

이 관계를 함수로 나타낸다.

함수에서 입력(x)과 출력(y)을 한없이 작게 생각한다. 가령 잘 알려져 있는 낙하의 법칙은 s=4.9${t}^{2}$ 이다.

지금 2초 후에 떨어졌다 하면 t에 2를 대입해 떨어진 거리를 금방 알 수 있다. 2를 변형해 2.1로 하면 s도 그에 따라 조금씩 변한다. 그리하여 △t와 △s가 나온다. △t를 더욱더 작게 하면서 매우 짧은 시간에 얼마만큼 낙하 거리가 증가하는 것인가 하는 것이 △s/△t 이다.

△s/△t는 거리/시간이며 △t는 시간이 0에 접근하면서 순간의 속도에 접근한다. 이 사실을 "t로서 s를 미분한다"고 말한다.

운동체를 미분하면 순간속도를 계산할 수 있다. 차를 운전할 때 속도계에 나타나는 숫자는 바로 그 때의 순간 속도다. 그것과 반대의 것이 거리계이며 그것은 그때까지의 거리, 즉 적분의 결과다.

뉴턴 라이프니츠의 시대에는 비행기 기차 자동차와 같은 것이 없었으므로 순간속도라는 것은 실감이 나지 않았을 것이다. 당시 사람들이 얼마나 미분을 어려운 것으로 여겼는가는 현대인에게는 좀처럼 짐작하기가 어려운 일일 것이다.

아마 뉴턴 시대에 미적분을 이해한 사람은 10명도 되지 않았을 것이다. 옛날에는 고등수학이었던 것이 요즘에는 상식에 가까워진 셈이다. "수학은 시대에 따라 쉬워진다"라는 말이 성립한다.

갈릴레이(1564-1642)는 피사의 실험 결과 지상의 물체 운동법칙을, 케플러는 천체의 3대 운동 법칙을 발견했다. 뉴턴은 미적분으로 지상과 하늘에서 운동 법칙을 통일적으로 설명했다.

미적분의 관계

더하기와 빼기, 곱하기와 나누기는 서로 반대 관계에 있다. '병주고 약준다', '때리고 만져준다'와 같은 말도 더하기와 빼기처럼 서로 반대되는 관계를 계속하는 행위를 말한다. 여기에 미분과 적분을 빼놓을 수 없다.

처음부터 미적분의 발상법은 간단했다. 미분은 작은 부분으로 나누는 것이고 적분은 나눈 부분을 다시 모아들인 것이다.

미분(작게 나눈다)→적분(작게 나눈 것을 모은다)

또 거꾸로

적분(모아놓은 것)→미분(작게 나눈다)
즉

미분 적분과의 관계

의 관계에 있다.

그러나 이런 생각을 체계화하고 실제 여러가지 현실에 이용하기 위해서는 현상을 함수로 표시하고 계산하는 힘이 있어야 했다.

미적분학에 숙달하기 위해서는 아이디어(함수식으로 나타내는 것)와 계산력 두 부분을 연습해야 한다. 요컨대 변하는 현상은 적은 부분으로 나누거나 모아서 총체적으로 생각하는 것이므로 결국 함수를 미분하고 함수를 적분한다는 것이다.

적분의 시작

옛날부터 땅을 측량하는 일이 있었다. 이때 적분학이 싹트기 시작했다.

가령 위의 그림과 같은 땅이 있다고 하자(1).

여기에 가로선을 하나 그어보자. 이때 주어진 땅 모양을 직사각형으로 생각해 잃은 부분과 얻은 부분을 같게 해야 한다(2).

그러나 선을 긋는 과정에서 측량사들이 자기 형편에 유리하게 선을 긋는 부정과 비리가 생길 소지가 있다. 그 결과 농민들로부터 항의를 받을 수도 있다.

그러므로 다음과 같이 생각해보자.

우선 주어진 땅을 여러개의 사다리꼴로 분할하는 것이다(3).

그림에서 보듯이 사다리꼴의 개수를 무한대로 늘려가서 도형의 넓이를 계산하는 것이 적분이다. 이 방법을 생각한 사람은 고대 그리스의 아르키메데스다.

그런데 고대 그리스의 사상에서는 '무한'이란 애매한 것, 틀리기 쉬운 것이라는 생각이 지배적이었기 때문에 사람들은 무한이라는 말을 사용하기를 꺼렸다.

"무한을 피하라!"

이것이 곧 수학에 관한 그리스인의 기본적인 생각이었다.

그래서 아르키메데스는 곡선으로 둘러싸인 도형의 넓이를 무한이라는 말을 사용하지 않고 계산하는 데 성공했다. 그는 우선 정육각형에서 시작해서 변의 개수를 두 배씩 늘려 원에 내접 또는 외접하는 정다각형을 그렸다.

그리고 내접 정다각형과 외접 정다각형의 넓이의 사이 값으로 곡선으로 둘러싸인 도형의 넓이를 계산했던 것이다. 그리고 π의 값이 다음과 같다는 것도 증명 했다.

3$\frac{10}{71}$＜π＜3$\frac{1}{7}$(3.1408…＜π＜3.1428…)

아르키메데스의 이 방법은 미적분학이 체계화되기 전인 17-18세기까지 π의 값을 구하는 유일한 방법이었다.
 

적분의 예. 땅을 측량하는데서 시작

왜 적분학의 완성이 늦어졌는가

아르키메데스의 착출법은 매우 훌륭했다. 하지만 그는 끝까지 무한이라는 말을 사용하지 않았다.

그런데 미분 적분은 무한 개념의 기반이 있어야만 발전한다. 아르키메데스는 거의 현대의 것과 다름 없는 적분학에 도달했으나 '무한'이라는 말을 피했기 때문에 완성시킬 수 없었던 것이다. 앞서 설명한 고대 그리스 사람들을 당혹시킨 '아킬레스와 거북이의 이야기'도 바로 무한이라는 개념 때문에 생긴 것이다.

이처럼 당시 그리스인은 모든 것을 유한의 단계에서만 생각했기 때문에 아르키메데스와 같은 무한적인 생각을 적극적으로 발전시킬 수 없었다. 그래서 적분의 생각이 미분보다 먼저 생겼지만 묻혀졌기 때문에 더 늦게 완성된 것이다.

미분의 시작

적분에 관한 구체적인 생각은 기원 전 3세기 경부터 있었다. 반면 미분은 그보다 훨씬 뒤인 17-18세기에 시작됐다. 적분은 넓이 계산이라는 구체적인 문제가 있었으나 미분은 그래프의 기울기에 관한 추상적인 연구였기 때문이다.

그래프에는 함수의 개념이 있어야만 하는데, 함수란 x y두 변량의 움직이는 관계다. 정지 돼있는 것만을 생각해 온 수학에 함수가 등장하기까지는 오랜 시간이 필요한 것이다. 다시 말해서 넓이 계산은 반드시 해야되는 것이지만 기울기는 그다지 필요성이 없었기 때문에 미분의 발달이 늦어졌던 것이다.

하지만 현재 우리 주변에는 미분을 이용한 개념이 범람하고 있다. 예를 들어 경제기획원의 중대한 관심사인 물가 그래프와 물가상승률 그래프를 생각해 보자. 물가 그래프를 미분한 것이 물가 상승률이고 물가 상승률을 적분하면 물가 그래프가 된다. 앞에서 말했듯이 미분 적분은 반대의 관계인 것이다.

자동차 주행 거리와 속도의 관계를 생각해 보자. 주행 거리를 미분하면 속도가 된다. 속도를 한번 더 미분하면 가속도라는 값이 나온다. 가속도는 속도가 증가하는 비율이다. 물리학에서 가속도는 힘의 크기를 나타낼 때 사용된다(힘의 크기는 물질의 질량에 가속도를 곱한 것).

이처럼 가속도의 개념은 이론적으로 매우 중요하다. 그러나 일상 생활에는 직접 사용되지 않는 추상적인 개념이다. 이와같이 미분해 나갈수록 더욱더 추상적인 개념이 등장한다.

미적분이란 무엇인가

한마디로 '미적분이란 연속적으로 변하는 현상을 연구하는 학문'이라 해야 옳다. 그러므로 미적분을 다음과 같이 말할 수 있다.

(1) 연속적인 곡선으로 둘러 싸인 도형의 넓이나 부피를 계산하는 것이 '적분'이며

(2) 연속적인 곡선의 각 점에서 접선(지구를 두고 말하면 수평선)을 긋고 그 점에서의 곡선의 상태를 연구하는 것이 '미분'이다.

가령 위 그림과 같은 연속적인 곡선이 있다고 하자. 이 곡선의 일부분을 차례로 확대해 가면 그 곡선은 점점 직선과 같아진다. 그리고 이것은 결국 접선이 된다.

지구를 두고 말한다면 접선은 그 지점에서의 수평선이 된다. 분명히 지구는 둥글지만 지평선은 직선으로 보인다.

이와 같이 그래프의 접선은 각 점에서 그래프의 '상승률'을 나타낸다. 그래서 미분의 목적에는 앞에서 말한 것(접선을 긋는 것)외에 '연속적인 곡선의 상승률'의 계산도 있음을 알 수 있다.
 

미적분의 예

우주론

미적분은 뉴턴과 라이프니츠가 각각 독립적으로 만들었다. 그 중 뉴턴의 미적분학은 '유율법(流率法)'이라는 이름으로 불린다. 뉴턴은 한없이 커지는 양을 유량(流量) 이라고 말했다. 다시 말해서 유량이란 액체뿐만 아니라 연속적으로 변화하는 모든 양을 뜻한다.

그리고 시간에 대한 유량의 변화율, 즉 흐름의 속도를 '유율'이라고 했다. 그런데 유율 자체도 변화하는 것이기 때문에 '유율의 유율', '유율의 유율의 유율', …, 이렇게 차례차례로 새로운 유율이 나타난다.

이처럼 뉴턴은 운동과 관련해서 일어나는 속도라든지 가속도의 개념을 수학적으로 나타내는 방법으로서 '유율법'을 만들었던 것이다. 그리고 이것은 뉴턴의 업적(만유 인력 법칙)이 상징하고 있는 바와 같이 우주론과 깊은 관계가 있다. 즉 중력과 운동에 관한 것들과 깊은 관계가 있는 것이다.

갈릴레이는 피사의 사탑에서 무게가 다른 두 개의 물체를 동시에 떨어뜨리면 어느 쪽이 먼저 떨어지는가 하는 물체의 낙하실험을 했다. 그 이전에는 10배 무거운 것은 10배 빨리 떨어진다는 아리스토텔레스의 주장을 믿고 있었다. 갈릴레이는 두 개의 무개가 다른 철구를 사탑의 꼭대기에서 동시에 떨어 뜨리고 이것이 함께 떨어진다는 것을 입증했다.

낙하공식
y=$\frac{1}{2}$g${x}^{2}$ (낙하거리 y, 낙하 시간 x, 중력 가속도 g)

케플러(J. Kepher, 1571-1630)는 엄청난 작업 끝에 행성 운동에 관한 3대 법칙을 발견했다(위 그림).

1. 행성(화성)의 궤도는 타원 두 개의 초점 하나를 태양으로 하는 타원을 그린다.

2. 행성이 일정한 시간에 그린 면적은 항상 일정하다.

3. 행성이 태양 주변을 일주하는 시간은 행성의 주기를 T, 타원 긴 축의 1/2을 a로 하면 T²과 a³이 비례한다.

뉴턴은 지상에 작용하는 갈릴레이의 법칙과 하늘에 작용하는 행성의 운동 법칙을 미적분학을 통해 하나로 통일해서 설명했으며 마침내 이론 물리학의 창시자가 됐다.

과학동아