이런 게 다 곡선?!

위쪽 건물의 윤곽을 따라 그려진 ‘선’은 무슨 선일까? 곧은 선분으로 이뤄져 있지만, 중간중간 꺾여 있으니 직선이라 하기에는 무리가 있다. 직선은 곧게 끝없이 이어진 선을 뜻하기 때문이다. 그렇다고 곡선이라고 하는 것도 이상해 보인다. 우리는 아래 보이는 굽어진 도로처럼 부드럽게 굽어 있는 선만을 곡선이라고 생각한다.

그러나 여기에는 함정이 있다. 곡선이라고 해서 반드시 굽어있을 필요는 없다. 수학에서는 직선도 곡선에 포함된다. 연필을 떼지 않고 그릴 수 있는 연속적인 선이라면 모두 곡선이다. 삐쭉삐쭉 못 생겨 보이는 건물의 윤곽선도 곡선이다.

원이나 타원, 사각형, 삼각형 같은 도형도 곡선이다. 이들은 그릴 때 펜의 시작점과 끝점이 같은 곡선으로 ‘닫힌 곡선’이라고 한다. 즉 주위에서 볼 수 있는 선은 모두 곡선이다!

[이 도로를 보면 누구나 유려한 곡선을 생각할 것이다. 그런데 이렇게 구비구비 굽은 선만 곡선일까?]

 
부드러운 직선, 부드럽지 않은 곡선
우리나라의 시인 도종환의 시 중에는 ‘부드러운 직선’이 있다. 수학적으로 직선도 곡선이라 한다지만, 과연 직선을 ‘부드럽다’고 할 수 있을까? 작가가 어떤 의도로 쓴 표현인지는 몰라도 시는 읽는 사람에 따라  다양하게 해석할 수 있는 문학이다. 그렇다면 수학자는 이 시를 어떻게 해석할까.

적으로 이해해 보면 재미있겠다고 생각하고, 직선이 정말 부드러운지 수학적으로 살펴봤다. 결론부터 이야기하면 시의 제목 ‘부드러운 직선’은 수학적으로 옳다. 딱딱하게 느껴지는 직선이 부드럽다니 역설적인 느낌이 들지만 말이다.

수학에서는 어떠한 곡선이 무한 번 미분★ 가능하고, 첫 번째 미분한 결과가 0이 아니면 ‘부드럽다’고 한다. 모든 직선은 일차함수로 표현할 수 있고, 일차함수는 위 조건을 만족한다. 시에 나오는 직선도 일차함수로 표현할 수 있고, 따라서 위 조건을 만족하므로 부드럽다고 할 수 있다.

[미분★ : 어떤 함수의 순간적인 변화율을 구하는 과정이다. 예를 들어 시간에 따른 위치를 나타내는 함수(곡선)를 시간에 대해 미분하면 순간적으로 위치가 변하고 있는 변화율(기울기)인 순간 속도가 나온다.]

더 나아가 선이 얼마나 부드러운지도 수학적으로 분석할 수 있다. 함수를 두 번 미분하면 ‘곡률’을 얻을 수 있고, 이는 선이 얼마나 휘어있는지를 설명한다. 시에 나오는 직선은 두 번 미분하면 0이 돼, 곡률이 0인 선이다. 더 많이 휠수록 곡률이 큰데, 직선은 휘지 않았기 때문에 곡률이 0인 것이다.

한편 부드럽지 않은 곡선도 있다. 앞서 살펴본 건물의 윤곽선처럼 뾰족한 부분이 있으면 부드럽다고 하지 않는다. 뾰족한 부분은 미분이 불가능하기 때문이다. 이는 직관적으로도 부드러워 보이지 않는다. 최 교수는 “시라는 문학은 읽는 사람이 누구냐에 따라 함축된 언어를 색다르게 해석할 수 있다”며, “수학자의 눈으로 시를 바라보면 읽는 재미가 독특하다”고 말했다.

수학동아