별난 수, 소수의 발견

별난 수, 소수의 발견

우리 주변의 사물을 수로 나타낼 때 가장 많이 쓰는 수는 자연수입니다. 하지만 우리는 과연 자연수에 대해 얼마나 잘 알고 있을까요? 어떤 친구와 친해지기 위해서는 그 친구의 성격을 파악하는 것이 중요하듯이, 자연수의 성질을 아는 것도 수학을 잘 하기 위한 하나의 방법입니다. 자연수의 성질 중 가장 독특한 것이 바로 소수의 존재입니다. 고대 그리스 시절 이후 주목을 받아 온 소수는 왜 그토록 많은 수학자의 눈길을 끌었을까요?

약수란, 0이 아닌 어떤 자연수를 나누어 떨어지게 하는 자연수를 말합니다. 고대 그리스의 피타고라스는 수에 특별한 의미를 부여하면서 약수를 중요하게 여겼습니다. 약수와 관련해 특이한 성질이 있는 수는 당시의 마법이나 천문학, 점성술에서 중요한 역할을 했습니다.

모든 자연수의 약수의 개수가 다 같은 것은 아닙니다. 6의 경우는, 약수가 1, 2, 3, 6이고, 4는 1, 2, 4입니다. 그런데 자연수 중에는 약수의 개수가 단 2개뿐인 수가 있습니다. 자신을 나누어 떨어지게 하는 수가 1과 자기 자신만이 되는 것이죠. 이러한 수를 소수라고 합니다.

정수를 건물이라고 한다면, 소수는 건물을 구성하는 벽돌과 같다고 볼 수 있습니다. 소수의 곱으로 다른 정수를 만들 수 있기 때문입니다. 여러분들은 알고 있는 가장 큰 소수는 어떤 수인가요? 가장 작은 소수부터 늘어놓으면 2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23, 29, 31,… 처럼 끝도 없이 이어집니다. 자연수 중에서 소수가 아닌 수, 즉 약수가 3개 이상인 수는 합성수라고 합니다. 하지만 1은 소수와 합성수 중 어디에도 포함되지 않는답니다.

소수는 고대 그리스 시대로부터 현재에 이르기까지 아주 긴 역사를 지니고 있습니다. 유클리드는 소수가 무한히 많다는것을 증명했습니다. 유클리드의 증명 방법은 소수의 수가 유한하다는 가정에서 출발합니다. 그러면 유한개의 소수를 모두 곱한 값에 1을 더하면 어떤 소수로 나눠도 나머지가 1인 수가 됩니다. 예를 들어, 2, 3, 5라는 소수가 있다고 할 때,이 수를 모두 곱해 1을 더한 값은 31이 됩니다.

31 = 2 × 3 × 5 + 1

이 때, 31은 2나 3, 5로 나누어 떨어지지 않습니다. 따라서 31도 소수입니다. 결국 소수가 유한하다는 가정이 틀렸고, 소수는 이런 식으로 무한히 계속 만들 수 있다는 결론이 나옵니다.

소수를 구하는 방법으로 ‘에라토스테네스의 체’가 있습니다. 아테네와 알렉산드리아에서 활동한 고대 그리스의 수학자인 에라토스테네스가 개발한 이 방법은 자연수를 순서대로 늘어놓은 뒤 소수가 아닌 수를 하나씩 없애면서 소수를 찾는 방법입니다. 먼저 2를 남기고 그 뒤로 나오는 2의 배수를 모두 없앱니다. 다음에는 3을 남기고 그 뒤로 나오는 3의 배수를 모두 지웁니다. 그러면 4는 이미 지워졌기 때문에 5를 남기고 그 뒤로 나오는 5의 배수를 모두 없애며, 이어서 나오는 수도 똑같은 방법으로 배수를 없애 줍니다. 그러면 남는 수가 바로 소수가 되지요.
 

그런데 소수는 왜 찾는 걸까요? 가장 큰 이유는 아마도 인간의 호기심입니다. 아주 독특한 성질을 갖고 있는 소수가 과연 어디까지 이어질까 궁금한 것이죠. 또한 큰 소수는 현대 암호학에서 중요하게 쓰입니다. 새로운 컴퓨터를 만들었을 때 성능을 시험하기 위해 큰 소수를 찾아보기도 하고, 중앙처리장치의 성능을 검사하는 데도 소수를 쓰고 있습니다.
 

수에 마술적인 힘이 깃들어 있다고 믿고 그것을 연구하는 학문을 수비학이라고 한다. 수비학은 고대부터 점성술과 같은 학문에서 중요하게 쓰였다.

약수가 특이한 수

친화수는 피타고라스가 발견한 수로 자기 자신을 뺀 약수의 합이 상대방과 똑같은 두 수를 말한다. 예를 들어, 220의 약수 중 220을 뺀 수의 합은 284이고, 284의 약수 중에서 284를 뺀 수의 합은 220이 된다. 따라서 이 두 수는 친화수가 된다. 고대 그리스에서는 이런 친화수를 적은 부적을 지니고 다니면 친구 사이의 우정이 보장된다고 믿었다. 220과 284외에도 1184와 1210, 2620과 2924 등이 친화수다. 한편 피타고라스는 자기 자신을 제외한 약수의 합이 자기 자신과 같은 수를 완전수라고 불렀다. 6의 약수 중 6을 뺀 1, 2, 3의 합이 6이므로 6은 완전수가 된다. 28, 496, 8128도 완전수다. 완전수는 이후로도 꾸준히 발견되고 있는데, 모두 짝수라는 공통점이 있다. 수학자들은 완전수인 홀수가 있는지 궁금해 하고 있지만 아직까지 발견되지 않고 있다.

지구의 크기를 계산한 수학자

고대 그리스의 수학자이자 천문학자인 에라토스테네스는시, 천문학, 지리학, 수학 등 다양한 분야에서 업적을 남겼다. ‘에라토스테네스의 체’로 이름을 남긴 그는 지구의 둘레를 최초로 계산한 수학자로도 유명하다. 에라토스테네스는 같은 날 같은 시각에 서로 다른 지역에 뜨는 태양이 고도가 다르다는 사실을 이용해 지구의 둘레를 계산했다. 하지날 태양이 정남쪽에 왔을 때 시에네에서는 고도가 90°였지만, 알렉산드리아에서는 82.8°에 불과했던 것이다. 에라토스네스는 두 지역 사이의 거리를 측정한 뒤, 비율을 계산해 지구 전체의 둘레를 구했다. 비록 당시의 측정법이 지금과 달리 정확하지 않아 오차가 많지만, 최초로 지구 둘레를 계산해 보았다는 점만은 대단하다.

수학자는 더욱 더 큰 소수를 꿈꾼다
 

요즘 정보 보안에 쓰이는 암호는 100자리가 넘는 소수를 사용해 암호를 만들기 때문에 슈퍼컴퓨터로도 풀어 내는 데 굉장히 오랜 시간이 걸린다.

수학의 한 분야인 정수론을 연구하는 수학자의 꿈은 끝없이 소수를 찾을 수 있는 함수를 발견하는 것입니다. 만일 소수를 찾을 수 있는 함수를 발견한다면 무한히 많은 소수를 포함하는 소수 수열을 알아 낼 수 있게 되기 때문이죠. 이 외에도 소수에 관한 여러 가지 의문이 아직 해결되지 않은 채 남아 있습니다. ‘가장 큰 쌍둥이 소수는?’과 ‘메르센 소수가 무한한가?’ 등입니다.
 

최근에 알려진 가장 큰 소수의 기록을 세운 소수는 모두 메르센 소수입니다. 1997년부터 인터넷 서버를 이용해 수많은 사용자가 협력해 새로운 메르센 소수를 찾는 방법이 쓰이고 있기 때문입니다.

최근에 알려진 가장 큰 소수의 기록을 세운 소수는 모두 메르센 소수입니다. 1997년부터 인터넷 서버를 이용해 수많은 사용자가 협력해 새로운 메르센 소수를 찾는 방법이 쓰이고 있기 때문입니다.
 

하지만 이것으로 끝은 아닙니다. 소수에 대한 인간의 호기심은 계속되고 있습니다.언제 또 누가 더 큰 소수를 발견할지,소수는 정말 무한히 존재하는지, 그 비밀이 밝혀질 날은 언제일까요?

수학동아