수학사상 가장 어려운 문제중 하나가 '원과 같은 넓이를
갖는 정사각형의 한변을 구하는 것'이다. 그것은 원지름과 원둘레의 비, 즉 원주율을 구하는 문제에 귀착된다.
인간이 발명한 물건중 가장 기본이 되는 것이 수레바퀴다. 이것은 원을 직선 위에 세우면 한 점에서만 만나기 때문에 가장 적은 마찰로 가장 쉽게 움직일 수 있다는 원리를 이용한 것이다.
기하학에서 가장 기본적인 도형은 원과 직선이다. 그리스에서는 기하학에 사용할 수 있는 도구로서 자와 컴퍼스만을 택했으며, 동양(중국)의 기본적인 도형은 원과 정사각형이었다. 하늘은 둥글고 땅은 정사각형(天圓地方)이라 했다. 한글에 ○과 □이 있는 것도 같은 이유다.
수학사상 가장 오랜 난문(難問)의 하나가 '원과 같은 넓이를 갖는 정사각형의 한변을 구하는 것(圓積問題)'이다. 그것은 원지름과 원둘레의 비(원주율)를 구하는 문제에 귀착된다. 원넓이는 π${r}^{2}$(r은 반지름)이므로 그것과 같은 넓이를 갖는 정사각형의 한변의 길이는 $\sqrt{{πr}^{2}}$＝r$\sqrt{π}$, 즉 π의 값만 알아내면 된다.
π값의 정밀도가 수학의 수준
원주율 π는 로마자의 P에 해당하는 그리스문자다. 처음 π를 채택한 수학자는 오일러(L.Euler, 1707-1783)로 알려져 있다.
'성서'에도 π가 등장한다. '구약'에는 "바다를 만들고, 이곳에서 저곳까지 지름은 10이며, 그 둘레는 원이며, 높이는 5, 둘레는 30의 새끼줄을 쳐라"라는 말이 있다(그림1). 이때 π는 3으로 돼 있다.
고대 중국과 이집트는 농업에 기반을 둔 대왕국이었으므로 일찍부터 토지의 측량, 곡물의 양을 측정하는 데 이 문제가 현실적인 과제로 대두됐다. 특히 천체 운동은 원을 그리며 행하므로 천문학의 연구에도 필수적이었다.
자와 컴퍼스로 원적문제를 해결할 수 없음을 증명한 것은 1881년 린덴만(C.L.F. Lindenmann)이었다. 하지만 성경도 그렇거니와 인간의 지적 호기심은 끊임없이 π값을 찾았다. 원주율의 값에 관한 정밀도가 당시 수학의 수준을 상징한다.
중국의 조충지(組沖之, 430-501)는 π＝3.1415926으로 구하고 소수점 아래 8자리까지 정확히 구했다. 또한 근사값으로는 355/113를 택했다. 고대 이집트에서는 π＝3.16으로 삼았다.
π의 연구로 유명한 사람은 인류사상 가장 훌륭한 천재 10명중의 하-나인 아르키메데스(Archimedes, B.C. 287-212)다. 그는 원에 정6, 12, 24, 48각형을 차례로 내접시키고, 정 96각형의 둘레를 계산함으로써 3$\frac{10}{71}$＜π＜3$\frac{1}{7}$임을 알아냈다.
이것을 계산하면 3.1408＜π＜3.1428이다. 내접 및 외접, 정96각형의 둘레의 공통부분으로서 현재 일반적으로 쓰이고 있는 π＝3.14다.
인간이 발명한 물건중 가장 기본이 되는 것이 수레바퀴다. 이것은 원을 직선 위에 세우면 한 점에서만 만나기 때문에 가장 적은 마찰로 가장 쉽게 움직일 수 있다는 원리를 이용한 것이다.
기하학에서 가장 기본적인 도형은 원과 직선이다. 그리스에서는 기하학에 사용할 수 있는 도구로서 자와 컴퍼스만을 택했으며, 동양(중국)의 기본적인 도형은 원과 정사각형이었다. 하늘은 둥글고 땅은 정사각형(天圓地方)이라 했다. 한글에 ○과 □이 있는 것도 같은 이유다.
수학사상 가장 오랜 난문(難問)의 하나가 '원과 같은 넓이를 갖는 정사각형의 한변을 구하는 것(圓積問題)'이다. 그것은 원지름과 원둘레의 비(원주율)를 구하는 문제에 귀착된다. 원넓이는 π${r}^{2}$(r은 반지름)이므로 그것과 같은 넓이를 갖는 정사각형의 한변의 길이는 $\sqrt{{πr}^{2}}$＝r$\sqrt{π}$, 즉 π의 값만 알아내면 된다.
π값의 정밀도가 수학의 수준
원주율 π는 로마자의 P에 해당하는 그리스문자다. 처음 π를 채택한 수학자는 오일러(L.Euler, 1707-1783)로 알려져 있다.
'성서'에도 π가 등장한다. '구약'에는 "바다를 만들고, 이곳에서 저곳까지 지름은 10이며, 그 둘레는 원이며, 높이는 5, 둘레는 30의 새끼줄을 쳐라"라는 말이 있다(그림1). 이때 π는 3으로 돼 있다.
고대 중국과 이집트는 농업에 기반을 둔 대왕국이었으므로 일찍부터 토지의 측량, 곡물의 양을 측정하는 데 이 문제가 현실적인 과제로 대두됐다. 특히 천체 운동은 원을 그리며 행하므로 천문학의 연구에도 필수적이었다.
자와 컴퍼스로 원적문제를 해결할 수 없음을 증명한 것은 1881년 린덴만(C.L.F. Lindenmann)이었다. 하지만 성경도 그렇거니와 인간의 지적 호기심은 끊임없이 π값을 찾았다. 원주율의 값에 관한 정밀도가 당시 수학의 수준을 상징한다.
중국의 조충지(組沖之, 430-501)는 π＝3.1415926으로 구하고 소수점 아래 8자리까지 정확히 구했다. 또한 근사값으로는 355/113를 택했다. 고대 이집트에서는 π＝3.16으로 삼았다.
π의 연구로 유명한 사람은 인류사상 가장 훌륭한 천재 10명중의 하-나인 아르키메데스(Archimedes, B.C. 287-212)다. 그는 원에 정6, 12, 24, 48각형을 차례로 내접시키고, 정 96각형의 둘레를 계산함으로써 3$\frac{10}{71}$＜π＜3$\frac{1}{7}$임을 알아냈다.
이것을 계산하면 3.1408＜π＜3.1428이다. 내접 및 외접, 정96각형의 둘레의 공통부분으로서 현재 일반적으로 쓰이고 있는 π＝3.14다.
(그림1)
성서 속의 π
아르키메데스의 사고법
원
넓이 계산 법
아르키메데스는
원넓이를 계산하고 구의 부피에 관한 공식도 얻었다.
원넓이
계산 공식
그는
대발명가로 갖가지 기계를 만들었다. '아르키메데스의 원리'를 발견함으로써 순금으로 된 왕관과 가짜의 왕관을 구별해낸 이야기는 유명하다.
하지만 우리가 가장 흥미를 갖는 것은 그가 어떻게 해서 이와 같은 엄청난 과학적 수학적 사고를 할 수 있었는가 하는 점이다. 아르키메데스의 사고법을 전하는 그의 저서 '방법의 발견'은 20세기 최대의 대발견으로 일컬어진다.
1906년 콘스탄티노플 수도원의 도서실에서의 일이다. 그의 논문은 모두가 완벽했지만 어디에도 그가 어떻게 해서 그런 생각을 하게 됐는가에 대해서는 전혀 언급이 없었다. 오랫동안 전세계의 학자는 그의 업적이 위대한 만큼 그 비밀에 대해 알고 싶어 했다.
그 논문은 소수의 연구로 유명한 에라토스테네스(Eratosthenes, B.C. 275-194)에게 쓴 편지였다. 그리스어의 원문은 양피지에 쓰였는데, 그 중요성을 알지 못했던 사람이 종교적인 글을 쓰기 위해 아르키메데스의 원문을 지우고 그 위에 글을 옮긴 것이다. 종이가 없고 양피지가 매우 귀했던 때의 일이다.
그런데 유클리드나 아르키메데스의 책을 많이 편찬해온 학자 하이델베르크는 어렴풋이 남아 있던 글씨 자국을 놓치지 않았다. 실로 2천년만의 발견이었다. 그 내용에서 중요한 점은 다음 두 가지다.
첫째, 정리를 증명하기 이전에 미리 그 답을 예상한 점이다. 그것은 지금 해석이라는 이름으로 알려져 있는 수학자가 즐겨 쓰는 방법이다. 가령 0.9, 0.99, 0.999,… 0.99…9라는 수열은 미리 0에 수렴해야 한다고 전제하고 그 이유를 설명하는 법이다.
둘째, 미적분의 발명에 이어지는 착출법(搾出法)에 대한 것이다. 당시 아직 극한 개념이 없었기 때문에 쓰여진 방법인데, 그 내용은 다음과 같다.
"이 방법에 의한 고찰은 실제 증명은 아니므로, 후에 기하학적으로 증명해야 한다. 하지만 미리 이 방법에 의한 문제의 풀이를 짐작함으로써 매우 용이하게 그 정리를 증명할 수 있다. 앞으로 후세의 사람들 중에서 내가 미처 생각하지 못했던 중요한 정리들을 이 방법으로 증명할 수 있게 될 것이다"
가령 아래 그림에서 현AB와, 포물선APB에 둘러 싸인 부분의 넓이를 구할 때 △ APB의 넓이를 구하고 다음에 호 AP와 현 AP, 그리고 호 BP와 현 BP로 둘러싸인 면적의 넓이를 차례로 구하는 식이다.
하지만 우리가 가장 흥미를 갖는 것은 그가 어떻게 해서 이와 같은 엄청난 과학적 수학적 사고를 할 수 있었는가 하는 점이다. 아르키메데스의 사고법을 전하는 그의 저서 '방법의 발견'은 20세기 최대의 대발견으로 일컬어진다.
1906년 콘스탄티노플 수도원의 도서실에서의 일이다. 그의 논문은 모두가 완벽했지만 어디에도 그가 어떻게 해서 그런 생각을 하게 됐는가에 대해서는 전혀 언급이 없었다. 오랫동안 전세계의 학자는 그의 업적이 위대한 만큼 그 비밀에 대해 알고 싶어 했다.
그 논문은 소수의 연구로 유명한 에라토스테네스(Eratosthenes, B.C. 275-194)에게 쓴 편지였다. 그리스어의 원문은 양피지에 쓰였는데, 그 중요성을 알지 못했던 사람이 종교적인 글을 쓰기 위해 아르키메데스의 원문을 지우고 그 위에 글을 옮긴 것이다. 종이가 없고 양피지가 매우 귀했던 때의 일이다.
그런데 유클리드나 아르키메데스의 책을 많이 편찬해온 학자 하이델베르크는 어렴풋이 남아 있던 글씨 자국을 놓치지 않았다. 실로 2천년만의 발견이었다. 그 내용에서 중요한 점은 다음 두 가지다.
첫째, 정리를 증명하기 이전에 미리 그 답을 예상한 점이다. 그것은 지금 해석이라는 이름으로 알려져 있는 수학자가 즐겨 쓰는 방법이다. 가령 0.9, 0.99, 0.999,… 0.99…9라는 수열은 미리 0에 수렴해야 한다고 전제하고 그 이유를 설명하는 법이다.
둘째, 미적분의 발명에 이어지는 착출법(搾出法)에 대한 것이다. 당시 아직 극한 개념이 없었기 때문에 쓰여진 방법인데, 그 내용은 다음과 같다.
"이 방법에 의한 고찰은 실제 증명은 아니므로, 후에 기하학적으로 증명해야 한다. 하지만 미리 이 방법에 의한 문제의 풀이를 짐작함으로써 매우 용이하게 그 정리를 증명할 수 있다. 앞으로 후세의 사람들 중에서 내가 미처 생각하지 못했던 중요한 정리들을 이 방법으로 증명할 수 있게 될 것이다"
가령 아래 그림에서 현AB와, 포물선APB에 둘러 싸인 부분의 넓이를 구할 때 △ APB의 넓이를 구하고 다음에 호 AP와 현 AP, 그리고 호 BP와 현 BP로 둘러싸인 면적의 넓이를 차례로 구하는 식이다.
(그림2)
외접 및 내접도형
특히
이 방법에 관해서 우리가 흥미를 갖는 이유는 아르키메데스의 π의 계산법도 이와 같은 것이었기 때문이다.
아르키메데스는 이 방법으로 정다각형을 원에 내접, 외접시키면서 π의 값을 구했다(그림2). 변의 수를 늘리며 더욱 더 정밀한 값을 얻은 것이다(표1).
아르키메데스는 이 방법으로 정다각형을 원에 내접, 외접시키면서 π의 값을 구했다(그림2). 변의 수를 늘리며 더욱 더 정밀한 값을 얻은 것이다(표1).
(표1)
아르키메데스의 원넓이 계산법
π의 근사값을 구하는 법
가장 간단한 원과 직사각형의 관계를 구하는 것으로 다음과 같은 방법이 있다. 원을 (그림3)과 같이 부채꼴로 절단한다. 그것을 배열하는 데 절단한 부분의 부채꼴 개수를 늘리면 점점 평행사변형처럼 된다. 직관적으로 원이 직사각형에 접근해 감을 알 수 있다.
과연 원이 직사각형이 될 수 있을까. 직사각형에서 같은 넓이를 갖는 정사각형을 쉽게 구할 수 있으므로 원적문제가 해결됐다고 속단하기 쉽다. 그러나 엄격히 말해 여기서 가로는 직선이 아니다.
하지만 직관적으로 원넓이를 이해시키는데 좋은 방법이 있다. 이때 세로가 반지름 r, 가로가 원둘레의 반인 πr이므로 그것을 곱하면 직사각각형의 넓이는 π${r}^{2}이며 이는 원넓이와 일치한다. 이때 반지름이 1이면 가로의 길이는 3.1415926535…임에 틀림 없다.
가장 간단한 원과 직사각형의 관계를 구하는 것으로 다음과 같은 방법이 있다. 원을 (그림3)과 같이 부채꼴로 절단한다. 그것을 배열하는 데 절단한 부분의 부채꼴 개수를 늘리면 점점 평행사변형처럼 된다. 직관적으로 원이 직사각형에 접근해 감을 알 수 있다.
과연 원이 직사각형이 될 수 있을까. 직사각형에서 같은 넓이를 갖는 정사각형을 쉽게 구할 수 있으므로 원적문제가 해결됐다고 속단하기 쉽다. 그러나 엄격히 말해 여기서 가로는 직선이 아니다.
하지만 직관적으로 원넓이를 이해시키는데 좋은 방법이 있다. 이때 세로가 반지름 r, 가로가 원둘레의 반인 πr이므로 그것을 곱하면 직사각각형의 넓이는 π${r}^{2}이며 이는 원넓이와 일치한다. 이때 반지름이 1이면 가로의 길이는 3.1415926535…임에 틀림 없다.
(그림3)
π의 근사값을 구하는 간단한 방법
고대인의 원둘레 계산법
(Ⅰ)
(1) 일정한 길의 나무도막 양끝에 끈을 묶고 원을 그린다.
(2) 끈으로 원둘레를 잰다.
(3) 반지름을 원주상에 표시한다.
(4) 눈금이 6번 생기고 좀 남는다.
(5) 반지름 하나를 잰 끈의 길이를 두번 접고 나머지 부분에 맞으면 거의 맞아 들어간다(이 때 끈의 길이는 반지름의 1/4).
원둘레를 ℓ, 반지름 r, 나머지의 길이를 d로 하면,
ℓ＝6r＋d, d≒$\frac{1}{4}$r
π≒3$\frac{1}{8}$＝3.125
실제로 이 값은 고대 바빌로니아에서 이용되고 있었다.
(Ⅰ)
(1) 일정한 길의 나무도막 양끝에 끈을 묶고 원을 그린다.
(2) 끈으로 원둘레를 잰다.
(3) 반지름을 원주상에 표시한다.
(4) 눈금이 6번 생기고 좀 남는다.
(5) 반지름 하나를 잰 끈의 길이를 두번 접고 나머지 부분에 맞으면 거의 맞아 들어간다(이 때 끈의 길이는 반지름의 1/4).
원둘레를 ℓ, 반지름 r, 나머지의 길이를 d로 하면,
ℓ＝6r＋d, d≒$\frac{1}{4}$r
π≒3$\frac{1}{8}$＝3.125
실제로 이 값은 고대 바빌로니아에서 이용되고 있었다.
원둘레
계산법
(Ⅱ)
정사각형에 모눈을 긋고 내접원을 그려 원에 들어 있는 작은 정사각형의 개수를 세면 그림으로 그 값을 구할 수 있다. 이때 모눈이 적으면 적을수록 정밀한 근사값을 구할 수 있다.
정사각형에 모눈을 긋고 내접원을 그려 원에 들어 있는 작은 정사각형의 개수를 세면 그림으로 그 값을 구할 수 있다. 이때 모눈이 적으면 적을수록 정밀한 근사값을 구할 수 있다.
근사값
구하기
(Ⅲ)
정사각형에 내접하는 원을 그린 뒤 그 위에 모래를 뿌린다. 이때 정사각형 내의 모래알과 원에 들어 있는 모래알 개수의 비에서 구할 수 있다.
어떤 실험 결과 총수 7백62가운데 원 내부에 5백88개의 모래알이 있었다. 이때의 근사값은 588/762＝3.09다.
정사각형에 내접하는 원을 그린 뒤 그 위에 모래를 뿌린다. 이때 정사각형 내의 모래알과 원에 들어 있는 모래알 개수의 비에서 구할 수 있다.
어떤 실험 결과 총수 7백62가운데 원 내부에 5백88개의 모래알이 있었다. 이때의 근사값은 588/762＝3.09다.
모래알
개수로 근사값 구하기
실험으로 π를 구하는 확률적 방법
(그림4)
뷰흔의 바늘실험
바늘을
10개 정도 준비하고 큰 종이에 폭 15cm 정도(20cm 정도로 해도 좋다)의 간격으로 평행선을 긋는다. 바늘을 한 개씩 던져 평행선에
조금이라도 걸린 바늘의 개수를 세어본다. 실제로 이것을 실험한 사람은 프랑스의 수학자 뷰흔(G.L.V.Buffen 1707-1788)이었다. 이
실험을 '뷰흔의 바늘'이라고 한다(그림4).
(표2)
평행선에 걸린 바늘의 개수(10개로 시행)
(표2)를
보면 하나의 경향이 있다. 평행선의 간격을 a, 바늘의 길이를 k(단 간격은 바늘의 길이보다 길다)로 하면 바늘이 선에 맞는 확률은 다음과
같다. 실험실의 결과를 공식화하면 다음과 같은 사실을 알 수 있다.
평행선의 간격＝a, 바늘의 길이＝k일 때, 바늘이 평행선에 걸릴 확률 p는 p＝2k/πa p＝2k/a이므로 π＝2k/pa 실험 결과의 p＝0.401, a＝10, k＝6.6을 대입하면, π＝2k/pa＝2×6.6/0.410×10＝13.2/4.1＝3.2195 어림이기는 하지만 그런대로 쓸 수 있는 값이다.
내·외접 정다각형의 변수를 늘리면서 π의 값을 구하는 작업(기하학적 방법)은 지루하고 재미가 없다. 하지만 경쟁의식에 자극돼 여러 수학자가 계속 그 일을 해 왔다. 그 일람표는 (표3)과 같다.
루돌프는 기하학적 방법으로는 가장 정확한 π의 값을 계산했고, 그 후 1671년경 그레고리(Gregory, 1638-1675)가 처음으로 π의 무한급수 전개의 공식을 발견했다.
π/4＝1－1/3＋1/5－1/7＋1/9－1/11＋……
그후 뉴턴(1642-1727)은 다음과 같이 π의 무한급수 전개의 공식을 발견했다.
$\frac{π}{6}$=$\frac{1}{2}$+$\frac{1}{2·3}$×$\frac{1}{{2}^{3}}$+$\frac{1·3}{2·4·5}$×$\frac{1}{{2}^{5}}$+$\frac{1·3·5}{2·4·6·7}$×$\frac{1}{{2}^{7}}$………
또 범분수를 이용하면 다음과 같은 식이 있다.
평행선의 간격＝a, 바늘의 길이＝k일 때, 바늘이 평행선에 걸릴 확률 p는 p＝2k/πa p＝2k/a이므로 π＝2k/pa 실험 결과의 p＝0.401, a＝10, k＝6.6을 대입하면, π＝2k/pa＝2×6.6/0.410×10＝13.2/4.1＝3.2195 어림이기는 하지만 그런대로 쓸 수 있는 값이다.
내·외접 정다각형의 변수를 늘리면서 π의 값을 구하는 작업(기하학적 방법)은 지루하고 재미가 없다. 하지만 경쟁의식에 자극돼 여러 수학자가 계속 그 일을 해 왔다. 그 일람표는 (표3)과 같다.
루돌프는 기하학적 방법으로는 가장 정확한 π의 값을 계산했고, 그 후 1671년경 그레고리(Gregory, 1638-1675)가 처음으로 π의 무한급수 전개의 공식을 발견했다.
π/4＝1－1/3＋1/5－1/7＋1/9－1/11＋……
그후 뉴턴(1642-1727)은 다음과 같이 π의 무한급수 전개의 공식을 발견했다.
$\frac{π}{6}$=$\frac{1}{2}$+$\frac{1}{2·3}$×$\frac{1}{{2}^{3}}$+$\frac{1·3}{2·4·5}$×$\frac{1}{{2}^{5}}$+$\frac{1·3·5}{2·4·6·7}$×$\frac{1}{{2}^{7}}$………
또 범분수를 이용하면 다음과 같은 식이 있다.
범분수기하학적 방법에 비해 무한급수로 π를 구하는 것은 너무 쉽다. 더구나 컴퓨터를 사용하면 소수점이 억단위까지 단숨에 계산된다. 수학 진보의 이정표이던 π값의 계산은 이제 컴퓨터 성능의 정도를 나타내는 하나의 척도가 돼버린 것이다.
(표3)
기하학적 방법으로 π의 값을 구한 수학자들과학동아
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