파푸스(pappus)중선정리, 2등분선, 수선 및 삼각형의 오심에 대한 정리

 평면도형의 기본성질

  ① 중선

  ㉠ 파푸스(pappus)의 정리(중선정리):

pf) 를 x축, M을 원점으로 하는 좌표축을 건설하여 증명

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  ㉡ 중선 성질의 확장: △ABD:△ACD=m:n

pf) 면적에서 높이가 일정하므로 면적의 비는 밑변의 길이의 비

ex) △ABC에서 변 BC, CA, AB의 중점을 각각 D,E,F라 하면,

pf) △ABC에서 점 E는 변 CA의 중점이므로 중선 정리에 의해

점 F는 변 AB의 중점이므로

점 D는 변 BC의 중점이므로

위의 세 식을 더하여 2로 나누면 주어진 식이 참임을 알 수 있다.

ex) 평행사변형 ABCD에서 일 때, 은?

sol) 평행사변형 ABCD를 하나 더 붙여서 △BDB'을 고려하면 는 중선으로 중선정리를 활용하자. 여기서 으로

② 각의 이등분선과 비례

△ABC에서 가 각 A의 내각 또는 외각의 이등분선이면

pf) ㉠ △ABP, △ACP에서 각각 사인정리를 사용하면

, , R, R'은 △ABP, △ACP의 외접원의 반지름

에서

∴

 ㉡ △ABP, △ACP에서 각각 사인정리를 사용하여 정리하면 됨.

, △QAP는 이등변 삼각형이므로

※ 대응변의 길이가 같다고 두 삼각형이 닮음인 것은 아니다.

 ㉢ ㉠에 대한 다른 증명

pf) 의 연장선 위에 가 되게 점 E를 잡으면 △CAE는 이등변삼각형으로 두 밑각의 크기가 같으므로

∠CAE=∠CEA이고 ∠ADB=∠EDC는 맞꼭지각으로 같으므로 △DAB~△DEC이므로 대응변의 길이의 비로부터

③ (내심정리, 방심정리)

  ㉠ 삼각형의 세 내각의 이등분선은 한 점(내심)에서 만난다.

  ㉡ 한 내각과 나머지 두 각의 외각의 각 이등분선은 한 점(방심)에서 만난다.(방심은 3개 있다.)

pf) ㉠-ⓐ ∠B, ∠C의 이등분선의 교점을 라 하고, 에서 세 변에 수선 을 내리면 이므로, . 또 이므로 . ∴ . 따라서 (직각삼각형의 합동)이므로 .

(를 중심, 를 반경으로 하는 원은 △ABC의 변에 A', B', C'에서 접하며 이 원을 △ABC의 내접원이라 한다.)

㉠-ⓑ 사교(斜交)좌표를 고려

㉮:   (기울기<0)

㉯:

㉰:   (기울기<0)

여기서 인 모두가 0은 아닌 λ들인 1, ,-1이 존재하므로 세 각의 이등분선은 한 점에서 만난다.

 ㉡ ∠B, ∠C의 외각의 이등분선의 교점을 이라 하고, 에서 세 변에 수선 을 내리면, 이 ∠A의 이등분선임을 ㉠-ⓐ와 마찬가지로 증명 가능. (중심이 이고 반경이 인 원을 ∠A에 대한 방접원이라 한다. 따라서 방접원은 3개 존재한다.)

ex)

∵) 이라 두면,

ex)  내심: 내각의 이등분선의 교점

pf) 면적

로부터

이며 이므로 성립

④ 수선에 대한 정리

  ㉠ 수심정리: 삼각형의 각 정점에서 대변에 내린 수선은 한 점(수심)에서 만난다.

  ㉡

pf) ㉠-ⓐ A, B, C에서 대변에 평행선을 그어서 △A''B''C''를 만들면, 사각형 ABCB'', ACBC''이 평행사변형이 되며

. 따라서, A는 의 중점이다. 마찬가지로, B, C는 각각 의 중점이므로 △ABC의 세 개의 수선 AA',BB', CC'는 △A''B''C''의 변의 수직이등분선이 되고, 따라서 △A''B''C''의 외심 H에서 만난다.

㉠-ⓑ AC의 방정식: , BE의 기울기: , BE의 방정식: , AD의 방정식.

따라서 이므로 세 수선은 한 점에서 만난다.

  ㉡ 으로부터

⑤ 외심: 수직이등분선의 교점

  ㉠ 외심정리: 삼각형의 각 변의 중점에서 이것에 세운 수선은 한 점(외심)에서 만난다.

  ㉡ 일 때, ∠BOC=2∠A, 이다.

 (단,R은 외접원의 반지름)

pf) ㉠ △ABC의 변 AB, AC의 중점 C', B'에서 세운 수선의 교점을 O라 하고, O에서 변 BC에 수선 OA'를 내린다. O는 의 수직이등분상의 점이므로 . 마찬가지로 .  ∴ . 따라서, 이등변삼각형의 성질에 의하여 는 의 수직이등분선이 된다. ( 이므로 O를 중심으로 하고 를 반경으로 하는 원은 B, C를 지난다. 이 원을 △ABC의 외접원이라고 한다.

 ㉡ 현(호) BC의 중심각은 원주각의 2배이며, 원주각 ∠BAC=∠BPC이고 지름에 대한 원주각은 90。이므로

에서 (사인정리)

 ⑥ 무게중심: 세 중선의 교점

  ㉠ 중심정리: 삼각형의 세 개의 중선은 한 점(중심)에서 만나고 또 각 중선은 서로 다른 중선을 2:1로 내분한다.

  즉, 이고 △GBC=△GCA=△GAB

pf) ⓐ 좌표축을 이용한 증명

를 x축, L을 원점으로 하는 좌표축을 건설하여 을 증명. 또, 6개의 삼각형의 면적에서 각각 두 개의 삼각형의 면적은 같으므로 이들을 p, q, r이라 두면,

p+2r=p+2q, 2p+q=q+2r에서 p=q=r이므로

△GBC=△GCA=△GAB

 ⓑ 의 중점을 N, M이라 하고 의 교점을 G라 하자. 에 의하여 △GMN~△GBC이고, 이므로  즉, 중선 은 서로 다른 것을 1:2로 내분한다. 마찬가지로 도 서로 다른 것을 1:2로 내분하므로 도 G를 지난다.

 ⓒ 벡터를 이용한 증명

⑦ △ABC의 무게중심 G,

 평면상의 임의의 점을 P라 할 때,

이다.

pf) 증명은 좌표축을 건설 후 증명

ex) △ABC에서 은 점 P가 이 삼각형의 무게중심일 때 최소값을 가진다.