거울의 반사 법칙

사람은 하루에도 몇 번씩 거울을 본다. 특히 여자의 경우에는 더더욱 그 빈도수가 높다. 집안을 들여다봐도 현관, 화장대, 욕실 등 우리 주변에는 셀 수 없이 많은 거울들이 있다. 여름에는 거울을 소재로 하는 공포 영화도 볼만하다. 김성호 감독의 ‘거울 속으로’(2003)나 알렉산더 아자의 ‘미러(Mirror)'(2008)와 같은 영화를 보라. 물론 영화는 실체를 반사해서 보여주는 것뿐만 아니라 내부에 어떠한 힘이 살아있기는 하지만 말이다. 문학작품 속에도 거울은 자주 등장한다. 루이스 캐럴의 ‘거울나라 앨리스’는 거울의 대칭의 원리를 재미있게 이해하게 해 준다. 서정주의 ‘국화 옆에서’는 ‘인제는 돌아와 거울 앞에 선 내 누님같이 생긴 꽃이여’라는 시구를 통해 온갖 고뇌와 시련을 거쳐 도달한 생의 원숙경(圓熟境)을 묘사한다. 이해인의 ‘거울 속의 내가’라는 시는 ‘얼굴을 돌리려 들면/거울 속의 내가/나에게 말합니다.’라는 말이 있는데, 허상인 거울의 내가 나에게 말하듯 표현을 하고 있다.

요즘 뉴스에서는 햇빛과 건강과의 관계를 연구한 연구 결과를 보고하면서 최근 경제 상황으로 인해 반지하방과 고시원 등 햇빛이 잘 들지 않는 곳에 사는 사람들에 대한 통계치가 높아지고 있다고 보고한다. 이를 위한 해결책으로 최근에 반사 거울로 햇빛을 지하 공간까지 전하는 장치가 발명되어서 자연채광으로 밝음을 유지할 수 있도록 한다는 것이다. 이 장치는 태양을 따라 자동으로 움직이는 거울 시스템으로 상용화 단계에 와 있다고 한다. 

이렇게 생활과 밀접한 거울 속에는 어떤 수학적 원리가 숨어 있을까?
거울에는 빛의 반사의 법칙이 들어 있다. 거울에는 평면거울과 구면거울(오목거울 그리고 볼록거울)이 있는데, 평면거울을 중심으로 살펴보도록 하자. 반사의 법칙은 들어올 때의 각도와 반사되어 나가는 각도가 같고 동일평면상으로 진행한다는 것이다. 이는 또한 자연의 최소 작용의 원리가 들어 있어서 최소 에너지로 최단 시간에 최단 거리를 진행하는 것이다. 그림1에서 확인할 수 있는 바와 같이 반사의 원리가 숨어 있는 평면거울의 경우는 사실 전신 거울이라 할 때 우리가 생각하는 것처럼 우리 키만큼 큰 거울은 필요 없다는 것을 알게 된다. 

전신상을 확인할 수 있는 거울은 키×½이면 된다. 그리고 약간의 여유분만 있으면 거울 안에 전신이 ‘쏙’ 들어간다. 

평면거울의 경우 실상에 대한 허상의 비율인 배율은 (허상의 크기) / (실상의 크기) = 1이 된다. 이것은 또 거울부터 실상까지의 거리와 허상까지의 거리는 같다는 것을 뜻한다.

이번에는 평면거울에서의 움직임을 살펴보자. 물체가 움직일 경우는 물체의 속도와 거울 속 허상의 속도가 같다. (아래그림) 그러나 거울을 움직일 경우에는 거울 속의 상은 실체보다 2배의 속도로 움직이게 된다. 그도 그럴 것이 허상의 위치가 물체와 같은 거리에 놓여야 하므로 2배의 속도로 움직이게 되는 것이다. 

거울을 보면서 흔히 우리는 ‘좌우대칭이 된다.’라고 생각한다. 오른손을 움직이면 왼손이 움직이기 때문이다. 그러나 정확히 말하면 좌우대칭이 아니라 거울을 사이에 두고 전후 대칭이 되는 것이며, 그렇다고 거울이 항상 전후 대칭만 되는 것도 아니다. 이것은 거울이 놓인 위치에 따라 결정된다. 벽면과 같이 옆쪽에 거울을 놓았을 때는 좌우가 바뀌어 보이지만 거울을 천정에 놓으면 상하가 바뀌어 보이게 된다. 

<거울이 옆면에 있는 경우>

<거울이 천장에 있는 경우> 

2001년 일본의 미에현에 사는 기카무라 겐지(57)는 좌우가 바꾸지 않는 거울을 발명해 특허를 따냈다. 바른 모습을 비춘다는 뜻으로 정영경(正映境)이라는 이름을 붙였다고 한다. 이것은 거울 2장을 직각으로 세우고 앞면은 투명 유리를 붙여 삼각기둥 모양을 만든 다음 그 안에 물을 채워 넣은 것이다. 즉, 거울에 반사된 것을 다시 반사하면 원래의 모습이 되는 원리를 이용한 것이다. 거울이 항상 좌우가 바뀌어 보인다고 믿는 사람들에게 정영경과 같은 것은 너무나 큰 혼란을 가져올 것이다. 그러나 거울의 원리를 조금 더 따져보고, 생활의 불편함이나 문제점을 개선해서 새로운 것을 만들어 보려고 하는 자세는 꼭 필요하다고 하겠다. 

경향신문