아가일 무늬의 사각형 개수 nxn무늬 속 마름모·평행사변형을 찾아라

• 
  

겨울이다. 추위가 제법 뼛속까지 시린 느낌을 준다. 이런 계절에는 옷장 깊숙이 넣어 두었던 두껍고 따뜻한 코트나 파카를 꺼내 입게 되는데, 그 안에 스웨터를 함께 입으면 더 든든하고 포근하다. 불경기라 실내 난방 온도를 마음 놓고 올리지 못하는 요즘, 코트나 파카를 벗게 되더라도 따뜻한 스웨터를 입고 있다면 크게 걱정이 되지 않는다. 스웨터 무늬를 살펴보면 대표적으로 ‘아가일(Argyle)’ 무늬가 있다. 

겨울철에 특히 인기가 있어서 아가일 무늬가 있는 스웨터, 목도리, 양말 등이 어느 집이든 한 벌쯤은 있을 것이다. 아가일 무늬는 다이아몬드 모양(평행사변형)으로 이루어진 평면, 또는 평면에 간격이 비슷한 평행한 직선을 여러 개 긋고, 이를 선대칭 방향으로 다시 비슷한 방식으로 직선을 그어 생긴 평행사변형 평면이라고 할 수 있다. 언뜻 보기에는 간단한 다이아몬드 모양으로 이루어진 단순한 무늬 같지만, 자세히 들여다보면 볼수록 그 안에 또 다른 깊은 세계가 있다는 것을 알게 된다.

다음과 같은 질문을 해 보자. 내 아가일 무늬 스웨터에는 마름모꼴 사각형이 몇 개 있을까? 스웨터를 방바닥에 펼쳐 놓고 손으로 일일이 세어 보는 방법이 있지만, 그런 방법으로는 수학적인 재미를 느끼기 어려우므로, 다음과 같이 작은 단위의 무늬부터 점점 그 범위를 확대하면서 차근차근 세어 보도록 하자. 

위와 같이, 표를 계속 작성하다 보면 n×n무늬에서 마름모의 수는 12+22+32+…+n2이 될 것이다.

그런데, 또 가만히 아가일 무늬 스웨터를 들여다보고 있자니, 마름모꼴의 사각형만 있는 것은 아니다. 크고 작은 길쭉한 모양의 평행사변형들도 무수히 눈에 띄기 시작한다. 그렇다면, 내 아가일 무늬 스웨터에는 사각형이 도대체 모두 몇 개나 있을까? 이를 정확히 세기 위해서는 좀더 체계적인 방법이 필요하다. 즉, 1) 네 변의 길이가 모두 같은 마름모꼴의 개수를 먼저 세고, 2) 평행사변형이지만 마름모가 아닌 사각형을 차근차근 빠짐없이 세어야 한다.

먼저, 규칙을 찾기 위하여 2×2단위의 무늬에서 평행사변형의 개수를 찾아보자. 크기와 모양이 각각 다른 평행사변형을 차근차근 세어 보면 왼쪽과 같은 표를 얻을 수 있고, 평행사변형의 총 개수는 9개이다. 이와 마찬가지로 3×3 단위의 무늬에서 평행사변형의 개수를 찾아보면 총 36개가 나오게 된다. 

이를 정리하여 보면, 

1×1 무늬에서 평행사변형의 수는 1 

2×2 무늬에서 평행사변형의 수는 9=32=(1+2)2 

3×3 무늬에서 평행사변형의 수는 36=62=(1+2+3)2이다. 

이러한 사실을 바탕으로, 

4×4 단위의 무늬에서 평행사변형의 수는 (1+2+3+4)2=102=100, 5×5 단위의 무늬에서는 (1+2+3+4+5)2=152=225개의 평행사변형을 찾을 수 있다. 즉, n×n단위의 무늬에서 평행사변형의 수는 (1+2+3+…+n)2이 되어 생각보다 어마어마한 개수가 된다.

언뜻 보기에 아가일 무늬 스웨터는 단순한 다이아몬드 무늬 같았지만, 실은 수백 개의 사각형을 가지고 있는 것이다. 아가일 무늬가 언제부터 사람들에게 사랑받아왔는지는 알 수 없지만, 꽤 오랫동안 질리지 않게 입을 수 있고, 또 그것을 입었을 때 왠지 고상해 보인다면 아마도 그 이유는 기하학 무늬 속에 담긴 이러한 오묘한 수학 때문은 아닐까?

실제 아가일 무늬 옷에서 사각형의 개수를 알아내려면, 옷의 모양과 전체적인 무늬의 배치 때문에 위에서 설명한 것과는 다른 방식으로 찾아야 할 것이며 좀더 복잡할 수 있다. 그러나 하나하나 규칙을 찾고 표를 만들어가다 보면 개수를 알 수 있을 것이다. 

날씨가 추워지면 집에서 혼자 아가일 무늬 옷을 펼쳐 놓거나 또는 아가일 무늬 옷을 입은 친구와 함께 따뜻하고 아름다운 수학의 세계에 빠져보자.

경향신문