수학을 공부하면 생각하는 방법을 배우고 생각하는 힘을 길러 사고의 폭을 넓혀주는가?
논리적인 수학이 다른 공부할때도 도움이 될까?
정말 그런가?
KMO 한국수학경시대회를 준비하는 학생들의 필독서인 KMO 금메달 수학 p51 59번 문제를 예로 들어서 수학 공부하는방법, 더나아가 공부하는 방법 등을 찾아보고자 합니다.
문제 :
어떤 책의 페이지에 1 부터 n까지 쓰여 있다. 이 책은 12장(Chapter) 으로 나누어져 있으며 각 장에 쓰인 숫자의 개수는 같다. n의 최솟값을 구하여라.
일단 밑에 설명한 풀이를 보지말고 자기나름데로 문제를 해석하여 풀어보세요.
문제를 정확히 이해하고 푼다면 10분도 안걸려 답이 나올 것입니다.
물론 초등학교때 성대경시나 KMC본선 나가 상받을 정도로 실력이 KMO 수준문제를 풀
학생이라면 말입니다.
그러나 문제를 잘못 해석하거나, 자기 나름데로 생각하여 완전히 출제의도와 무관하게
다른문제로 만들고는 아무리해도 안풀리고 심지어 답지를 보면 오히려 더 혼동되어 몇시간을 허비하고도 결국 못풀고 포기하는 경우가 많습니다.
이럴때 유능한 선생이 필요하겠군요, 왜냐하면 결국 한문제를 못풀고 다른문제로 넘어가면 되는데 혹시 한문제가 두문제가 되고 점점 스스로 못푸는 문제가 늘어 나면서 결국 포기하게 된다는 경험을 해본 좋지않은 경험이 있으실 겁니다, 누구나.
또 혹은 오랜시간이 걸려 이 문제를 스스로 해결 했을때 느낄수 있는 기쁨이란 공부해 본자들만이 아는 큰 즐거움 이겠지요.
그런데 한문제가 전환점 TURNING POINT 가 될수도 있어요.
작은것부터 큰것까지..
문제해설:
다시 말씀 드리지만 스스로 해결할 능력이나 방법이 있으면 문제해설은 되도록 보지말고
일단 풀어보시거나 아이들에게 풀릴 의도라면 몇일 그냥두세요.
하지마라 해도 머리속에는 문제가 겨울밤에 바람에 날리는 창의 그림자 나뭇가지 처럼 ,자꾸만 눈앞의 그림자처럼 아른거릴 테니까요.
위의 경우를 제외하고 다시 문제를 살펴볼까요?
어떤 책의 페이지에 1 부터 n까지 쓰여 있다. 이 책은 12장(Chapter) 으로 나누어져 있으며 각 장에 쓰인 숫자의 개수는 같다. n의 최솟값을 구하여라.
어떤 책의 페이지에 1 부터 n까지 쓰여 있다.
어떤 책인데?
수학책 철학책 문학 예술 시집...
한 페이지에 n까지 쓰여있다는 말인지, 아니면 책이 모두 n페이지란 말인지.
한 페이지 안에 무었이 쓰여있어서 n 이 되었는지 알수가 없어요.
각 장에 쓰인 숫자의 개수는 같다.
장은 한페이지를 말하는지 아니면 (Chapter)를 말하는 장인지.
숫자의 개수는 같다,
무슨숫자 책페이지 안의 숫자
수학책인가?
각 장에 쓰인 숫자의 개수는 같다.
이게 도대체 무슨말인가.
문제가 책과 관련있으니 책이 뭔가 부터 볼까요?
보통 책은 100페이지도 안되는 짧은 책부터 미국 수학책
처럼 1000페이지가 넘는 책도 있지요.
책마다 페이지수가 다르지만 공통적으로 같은게 닮은게 있어요.
책은 모두 1페이지부터 9페이지 까지는 한숫자,10페이지부터 99페이지 까지는
두개 숫자로, 100페이지부터 999페이지 까지는 3숫자,1000페이지 이상은 4자,5자,6..
미국책이나 독일책이나 똑같습니다.
또한 주제에 따라 몇개의 여러장 Chapter 으로 나누어져 있는 책도 있지요.
그러나 책은 페이지 장 Chapter 이런게 중요한게 아니라 본론 내용이 절대적으로 훨씬더 중요하죠.
책을 페이지 숫자나 몇 챕터 로 이루어졌는지 궁금해서 사는 사람은 지구상에서 몇명 없을 테니까요.
마찬가지로 수학문제에 보들레르 시도 나올리가 거의 없고 경우의수 문제가 아닌 다음에야 삼국지 내용이 뭐하러 나올까요.
책의 본질을 문제의 본질을 말하는겁니다.
문제를 풀려면 문제가 무었인지가 중요하고 답을 찾는건 그다음 문제라는거지요.
문제가 뭔지도 모르는데 답이 나올까요?
설사 답이 나오더라도 과연 맞는답일까요.
끝까지 맞다고 우긴다고 정답이 되나요?
상담 오시는 학부형이나 학생들 에게 제가 물어봅니다.
하루는 몇시간인지?
대부분 다 맟추십니다.
동지를 기점으로 낮이 점점 길어져 양(陽)을 상징하는 붉은 팥죽이
음(陰)의 기운을 물리친다고 믿고 팥죽해서 아니면 사서 드셨을 겁니다 .
여하튼 요즈음 밤보다 낮이 2시간이 길어졌습니다.밤은 몇시간이고 낮은
몇시간 일까요?
대부분 10시간 14시간 이라고 대답합니다.
하루가 24시간이니 합이 맞다고 말합니다.
답도 맞았다고 끝까지 의기양양하게 우기거나 우기십니다.
10시간 14시간 차이가 얼마냐고 물으면 4시간이라고 또 다 맞추십니다.
문제가 심각하다고 느끼고 다시 푸는눈치도 보이고 여하튼 심각합니다.
2시간 차이니까 반으로 나눠 1시간은 12시간에 더하고 1시간은 12시간서 빼서
13시간 11시간 이되면 더해서 24시간이고 빼서 2시간이니 낮은 13시간 밤은 11시간
이라고 말할수 있겠군요.
아니면 처음부터 2시간은 주머니 속에 넣어두었다가 24시간에서 2시간을 뺀 22시간을 둘로
나누어 11시간 11시간으로 하고 한쪽만 2시간을 꺼내서 11시간에 더해주면 13시간 11시간이 되어 정확한 답이 나오는군요.
아니면 작데기 두개 즉 길이가 다른 길고 짧은 선을 그리고 두선의 길이
차이를 2로하고 똑같은 긴 두선의 합이 22니까 각각 11이고
짧은선은 그대로 11, 긴선은 11더하기 2하면 13
말로 설명하면 금방 쉬운데 글로는 어렵군요.
아무리 우겨봐도 어쩔수가 없어요.틀린건 틀린거니까.
누구든 틀릴수 있다는걸, 아주쉽게도 오류를 범하고 틀릴수도 있다는걸,
간단하게 예를들어 증명 할수가 있지요.
우리의 문제로 돌아가 문제가 뭐 였지요?
"어떤 책의 페이지에 1 부터 n까지 쓰여 있다. 이 책은 12장(Chapter) 으로 나누어져 있으며 각 장에 쓰인 숫자의 개수는 같다. n의 최솟값을 구하여라."
이제 제대로 된 학생처럼 풀어 볼까요?
그래도 문제가 잘 이해가 안되니 문제를 쉽게 이해 할수있게 바꾸어 볼까요?
"어떤 책의 쪽수는 모두 n 페이지다. 이 책은 모두 12개의 장(Chapter) 으로 구성되어 있으며, 각 장(Chapter)에 쓰인 숫자의 개수는 같다
n의 최솟값을 구하여라."
자 이제 책 page에만 주목하시고 책내용은 모두 잊어 버리세요.
문제분석:
책이 모두 9 페이지 라면 각 장이 1 페이지라도 9장밖에 안되고 책은 모두 12개의 장(Chapter) 으로 구성되어 있다는 문제에 어긋나니,
일단 책이 10페이지 이상이란 말이군요. 대부분의 책이 그렇지만.
Chapter one 만 생각해보면 1페이지부터 9페이지 까지 한자리 숫자 니까 합이 9.
10페이지 부터 99페이지 까지 두자리수 90개.
Chapter one 1장이 두자리수로 끝날지 100이상 세자리수로 끝날지 모르지만
일단 두자리수로 끝난다고 가정하고 풀어 보겠습니다.
첫 번째 장에 쓰인 두 자리 정수의 페이지 개수를 s 이라 하면
Chapter one 첫 번째 장에 쓰인 숫자의 개수는 9 + 2 s 이군요.
문제에서 각 장(Chapter)에 쓰인 숫자의 개수는 같다라고 했으니까 모두 홀수 이군요.
두번째 장에 쓰인 숫자의 개수는 2(90-s) + 3 t
여기서 t 는 두번째 장에 쓰인 세자리 정수의 개수이고, 두자리 정수인 페이지 90개중
첫 번째 장에 쓰인 두 자리 정수의 페이지 개수 s를 뺀 페이지수가 90-s 이다.
여기서 2(90-s) + 3 t 는 t가 홀수 이면 짝수 에 홀수를 더하니 홀수가 되어 두번째 장은
세자리수를 포함해야 된다는 결론이 나오는군요.
각 장(Chapter)에 쓰인 숫자의 개수는 같으니 9 + 2 s = 2(90-s) + 3 t 라는 식이
성립하고 풀면 4 s =171 + 3 t 라는 식으로 간단히 정리되지요.
4 s =171 + 3 t 식을 풀어봅시다.
t 가 0, 1, 2 를 대입하면 왼쪽에 4의 배수가 되지 않으니 해가 될수 없어요.
t 가 3이면 171 + 9 = 180
180/4 =45로 해가 될수 있어요.
s 가 최소인 가능한 해는 s = 45, t = 3 이다.
제 1 장은 9 + 45 =54 page
9 + 2 s=9+2*45 = 99 개 숫자로 구성 되어 있군요.
제 2 장은 2(90-s) + 3 t = 2(90-45) + 3*3= 99
첫 번째 장은 1 페이지 부터 54 page 까지 99개 숫자
두 번째 장은 55 페이지 부터 102 page 까지 48 페이지 이고, 쓰인 숫자의 갯수는
챕터 1과 같이 99개이다.
세 번째 장(Chapter) 은 세자리수로 103 page 부터135 페이지 까지 33 페이지
33*3=99개 숫자
네 번째 장(Chapter) 부터 마지막 장인 12장 까지는 모두 33 페이지 씩으로
9*33= 297개 숫자
Chapter one 1장이 두자리수로 끝날지 100이상 세자리수로 끝날지 모르지만
일단 두자리수로 끝난다고 가정하고 풀어 보았는데, 첫 번째 장이 두자리수로 끝난다고 가정하고 푼게 맞았으니 다음으로 넘어가 답을 구하게 되었습니다.
모두 합치면 54 + 48 +10*33= 432 페이지
드디어 우리가 찾든 답이 나왔군요
432 / 12=36 평균적으로 각 장(Chapter) 마다 36페이지
1 장은 1~9 10~54까지 54페이지 9+45*2 = 99개 숫자.
2 장은 55~102 page 모두 48 page 2*45 +3*3= 99개 숫자.
3장은 103~135 page까지 33 page 33*3= 99 개 숫자.
4장부터 12 장 까지는 33 page 세자리수 로서 모두 똑같이 99 개 숫자씩.
모두 합쳐서 이 책은 432 page 이고 문제의 모든 조건을 만족하니 정답이군요.
오랜 시간이 걸려 풀었지만 문제가 뭔지를 정확히 알고 있다면
몇분만에 풀리는 문제입니다.
문제가 안풀리면 처음으로 돌아가 문제가 무언지 다시 살펴보는게 꼭 필요합니다.
수학을 공부하면 생각하는 방법을 배우고 생각하는 힘이 길러져 사고의 폭을 넓혀주고,
, 문제를 바꾸어 보아 쉽게 풀리게 되면 확인해보고 왜 내가 틀렸을까?
또 다른 방법은 없을까? 아! 이렇게 하면 되겠구나!
왜 내가 이생각을 못햇지! 이렇게 반성도하고 하는 과정을 통해 사고의 폭과 넓이가 확장되고 비판적 사고 사물을 있는 그대로 보는 눈 안목이 길러지는 겁니다.
손가락으로 하늘을 가르키면 하늘은 안보고 손가락 끝을 봅니다.
손가락전에 먼저 하늘 보고있는 아이들 보고싶습니다.
제대로 본다. 쉽지만 가장 어렵습니다.조선 백자 고려청자 앞에두고 진위 판별이 쉽나요?
피카소 모네 그림 앞에두고 위작이 아니라고 단정하기 쉽나요.
있는 그대로 제대로 보는게 중요합니다.
산은 산이고 물은 물 이다 라고 하기가 어렵습니다.
니 바보가 하는 소리가 들립니다.
성철스님께 물어보세요
문제를 제데로보고 깊이 생각하고 될때까지 풀어보고 학교오가며 생각하며 아 이렇게하면 되겠구나 이런생각 하고 다니는데 공부 못할리가 없지요.
물론 제데로된 문제를 만나야 이런 머리회전이 생깁니다.
문제 해결의 길잡이는 자기자신에게 있다는 겁니다. 선생이 이래라 저래라 시킨것만 하는 아이는 안시키면 할게없어요.
나중에크서 뭘 할까요 걱정입니다.
그렇다고 선생 다 없애버릴까요.
아닙니다. 모든 평범한 사람 한사람 모두다 소중합니다.
정말 그런가?
KMO 한국수학경시대회를 준비하는 학생들의 필독서인 KMO 금메달 수학 p51 59번 문제를 예로 들어서 수학 공부하는방법, 더나아가 공부하는 방법 등을 찾아보고자 합니다.
문제 :
어떤 책의 페이지에 1 부터 n까지 쓰여 있다. 이 책은 12장(Chapter) 으로 나누어져 있으며 각 장에 쓰인 숫자의 개수는 같다. n의 최솟값을 구하여라.
일단 밑에 설명한 풀이를 보지말고 자기나름데로 문제를 해석하여 풀어보세요.
문제를 정확히 이해하고 푼다면 10분도 안걸려 답이 나올 것입니다.
물론 초등학교때 성대경시나 KMC본선 나가 상받을 정도로 실력이 KMO 수준문제를 풀
학생이라면 말입니다.
그러나 문제를 잘못 해석하거나, 자기 나름데로 생각하여 완전히 출제의도와 무관하게
다른문제로 만들고는 아무리해도 안풀리고 심지어 답지를 보면 오히려 더 혼동되어 몇시간을 허비하고도 결국 못풀고 포기하는 경우가 많습니다.
이럴때 유능한 선생이 필요하겠군요, 왜냐하면 결국 한문제를 못풀고 다른문제로 넘어가면 되는데 혹시 한문제가 두문제가 되고 점점 스스로 못푸는 문제가 늘어 나면서 결국 포기하게 된다는 경험을 해본 좋지않은 경험이 있으실 겁니다, 누구나.
또 혹은 오랜시간이 걸려 이 문제를 스스로 해결 했을때 느낄수 있는 기쁨이란 공부해 본자들만이 아는 큰 즐거움 이겠지요.
그런데 한문제가 전환점 TURNING POINT 가 될수도 있어요.
작은것부터 큰것까지..
문제해설:
다시 말씀 드리지만 스스로 해결할 능력이나 방법이 있으면 문제해설은 되도록 보지말고
일단 풀어보시거나 아이들에게 풀릴 의도라면 몇일 그냥두세요.
하지마라 해도 머리속에는 문제가 겨울밤에 바람에 날리는 창의 그림자 나뭇가지 처럼 ,자꾸만 눈앞의 그림자처럼 아른거릴 테니까요.
위의 경우를 제외하고 다시 문제를 살펴볼까요?
어떤 책의 페이지에 1 부터 n까지 쓰여 있다. 이 책은 12장(Chapter) 으로 나누어져 있으며 각 장에 쓰인 숫자의 개수는 같다. n의 최솟값을 구하여라.
어떤 책의 페이지에 1 부터 n까지 쓰여 있다.
어떤 책인데?
수학책 철학책 문학 예술 시집...
한 페이지에 n까지 쓰여있다는 말인지, 아니면 책이 모두 n페이지란 말인지.
한 페이지 안에 무었이 쓰여있어서 n 이 되었는지 알수가 없어요.
각 장에 쓰인 숫자의 개수는 같다.
장은 한페이지를 말하는지 아니면 (Chapter)를 말하는 장인지.
숫자의 개수는 같다,
무슨숫자 책페이지 안의 숫자
수학책인가?
각 장에 쓰인 숫자의 개수는 같다.
이게 도대체 무슨말인가.
문제가 책과 관련있으니 책이 뭔가 부터 볼까요?
보통 책은 100페이지도 안되는 짧은 책부터 미국 수학책
처럼 1000페이지가 넘는 책도 있지요.
책마다 페이지수가 다르지만 공통적으로 같은게 닮은게 있어요.
책은 모두 1페이지부터 9페이지 까지는 한숫자,10페이지부터 99페이지 까지는
두개 숫자로, 100페이지부터 999페이지 까지는 3숫자,1000페이지 이상은 4자,5자,6..
미국책이나 독일책이나 똑같습니다.
또한 주제에 따라 몇개의 여러장 Chapter 으로 나누어져 있는 책도 있지요.
그러나 책은 페이지 장 Chapter 이런게 중요한게 아니라 본론 내용이 절대적으로 훨씬더 중요하죠.
책을 페이지 숫자나 몇 챕터 로 이루어졌는지 궁금해서 사는 사람은 지구상에서 몇명 없을 테니까요.
마찬가지로 수학문제에 보들레르 시도 나올리가 거의 없고 경우의수 문제가 아닌 다음에야 삼국지 내용이 뭐하러 나올까요.
책의 본질을 문제의 본질을 말하는겁니다.
문제를 풀려면 문제가 무었인지가 중요하고 답을 찾는건 그다음 문제라는거지요.
문제가 뭔지도 모르는데 답이 나올까요?
설사 답이 나오더라도 과연 맞는답일까요.
끝까지 맞다고 우긴다고 정답이 되나요?
상담 오시는 학부형이나 학생들 에게 제가 물어봅니다.
하루는 몇시간인지?
대부분 다 맟추십니다.
동지를 기점으로 낮이 점점 길어져 양(陽)을 상징하는 붉은 팥죽이
음(陰)의 기운을 물리친다고 믿고 팥죽해서 아니면 사서 드셨을 겁니다 .
여하튼 요즈음 밤보다 낮이 2시간이 길어졌습니다.밤은 몇시간이고 낮은
몇시간 일까요?
대부분 10시간 14시간 이라고 대답합니다.
하루가 24시간이니 합이 맞다고 말합니다.
답도 맞았다고 끝까지 의기양양하게 우기거나 우기십니다.
10시간 14시간 차이가 얼마냐고 물으면 4시간이라고 또 다 맞추십니다.
문제가 심각하다고 느끼고 다시 푸는눈치도 보이고 여하튼 심각합니다.
2시간 차이니까 반으로 나눠 1시간은 12시간에 더하고 1시간은 12시간서 빼서
13시간 11시간 이되면 더해서 24시간이고 빼서 2시간이니 낮은 13시간 밤은 11시간
이라고 말할수 있겠군요.
아니면 처음부터 2시간은 주머니 속에 넣어두었다가 24시간에서 2시간을 뺀 22시간을 둘로
나누어 11시간 11시간으로 하고 한쪽만 2시간을 꺼내서 11시간에 더해주면 13시간 11시간이 되어 정확한 답이 나오는군요.
아니면 작데기 두개 즉 길이가 다른 길고 짧은 선을 그리고 두선의 길이
차이를 2로하고 똑같은 긴 두선의 합이 22니까 각각 11이고
짧은선은 그대로 11, 긴선은 11더하기 2하면 13
말로 설명하면 금방 쉬운데 글로는 어렵군요.
아무리 우겨봐도 어쩔수가 없어요.틀린건 틀린거니까.
누구든 틀릴수 있다는걸, 아주쉽게도 오류를 범하고 틀릴수도 있다는걸,
간단하게 예를들어 증명 할수가 있지요.
우리의 문제로 돌아가 문제가 뭐 였지요?
"어떤 책의 페이지에 1 부터 n까지 쓰여 있다. 이 책은 12장(Chapter) 으로 나누어져 있으며 각 장에 쓰인 숫자의 개수는 같다. n의 최솟값을 구하여라."
이제 제대로 된 학생처럼 풀어 볼까요?
그래도 문제가 잘 이해가 안되니 문제를 쉽게 이해 할수있게 바꾸어 볼까요?
"어떤 책의 쪽수는 모두 n 페이지다. 이 책은 모두 12개의 장(Chapter) 으로 구성되어 있으며, 각 장(Chapter)에 쓰인 숫자의 개수는 같다
n의 최솟값을 구하여라."
자 이제 책 page에만 주목하시고 책내용은 모두 잊어 버리세요.
문제분석:
책이 모두 9 페이지 라면 각 장이 1 페이지라도 9장밖에 안되고 책은 모두 12개의 장(Chapter) 으로 구성되어 있다는 문제에 어긋나니,
일단 책이 10페이지 이상이란 말이군요. 대부분의 책이 그렇지만.
Chapter one 만 생각해보면 1페이지부터 9페이지 까지 한자리 숫자 니까 합이 9.
10페이지 부터 99페이지 까지 두자리수 90개.
Chapter one 1장이 두자리수로 끝날지 100이상 세자리수로 끝날지 모르지만
일단 두자리수로 끝난다고 가정하고 풀어 보겠습니다.
첫 번째 장에 쓰인 두 자리 정수의 페이지 개수를 s 이라 하면
Chapter one 첫 번째 장에 쓰인 숫자의 개수는 9 + 2 s 이군요.
문제에서 각 장(Chapter)에 쓰인 숫자의 개수는 같다라고 했으니까 모두 홀수 이군요.
두번째 장에 쓰인 숫자의 개수는 2(90-s) + 3 t
여기서 t 는 두번째 장에 쓰인 세자리 정수의 개수이고, 두자리 정수인 페이지 90개중
첫 번째 장에 쓰인 두 자리 정수의 페이지 개수 s를 뺀 페이지수가 90-s 이다.
여기서 2(90-s) + 3 t 는 t가 홀수 이면 짝수 에 홀수를 더하니 홀수가 되어 두번째 장은
세자리수를 포함해야 된다는 결론이 나오는군요.
각 장(Chapter)에 쓰인 숫자의 개수는 같으니 9 + 2 s = 2(90-s) + 3 t 라는 식이
성립하고 풀면 4 s =171 + 3 t 라는 식으로 간단히 정리되지요.
4 s =171 + 3 t 식을 풀어봅시다.
t 가 0, 1, 2 를 대입하면 왼쪽에 4의 배수가 되지 않으니 해가 될수 없어요.
t 가 3이면 171 + 9 = 180
180/4 =45로 해가 될수 있어요.
s 가 최소인 가능한 해는 s = 45, t = 3 이다.
제 1 장은 9 + 45 =54 page
9 + 2 s=9+2*45 = 99 개 숫자로 구성 되어 있군요.
제 2 장은 2(90-s) + 3 t = 2(90-45) + 3*3= 99
첫 번째 장은 1 페이지 부터 54 page 까지 99개 숫자
두 번째 장은 55 페이지 부터 102 page 까지 48 페이지 이고, 쓰인 숫자의 갯수는
챕터 1과 같이 99개이다.
세 번째 장(Chapter) 은 세자리수로 103 page 부터135 페이지 까지 33 페이지
33*3=99개 숫자
네 번째 장(Chapter) 부터 마지막 장인 12장 까지는 모두 33 페이지 씩으로
9*33= 297개 숫자
Chapter one 1장이 두자리수로 끝날지 100이상 세자리수로 끝날지 모르지만
일단 두자리수로 끝난다고 가정하고 풀어 보았는데, 첫 번째 장이 두자리수로 끝난다고 가정하고 푼게 맞았으니 다음으로 넘어가 답을 구하게 되었습니다.
모두 합치면 54 + 48 +10*33= 432 페이지
드디어 우리가 찾든 답이 나왔군요
432 / 12=36 평균적으로 각 장(Chapter) 마다 36페이지
1 장은 1~9 10~54까지 54페이지 9+45*2 = 99개 숫자.
2 장은 55~102 page 모두 48 page 2*45 +3*3= 99개 숫자.
3장은 103~135 page까지 33 page 33*3= 99 개 숫자.
4장부터 12 장 까지는 33 page 세자리수 로서 모두 똑같이 99 개 숫자씩.
모두 합쳐서 이 책은 432 page 이고 문제의 모든 조건을 만족하니 정답이군요.
오랜 시간이 걸려 풀었지만 문제가 뭔지를 정확히 알고 있다면
몇분만에 풀리는 문제입니다.
문제가 안풀리면 처음으로 돌아가 문제가 무언지 다시 살펴보는게 꼭 필요합니다.
수학을 공부하면 생각하는 방법을 배우고 생각하는 힘이 길러져 사고의 폭을 넓혀주고,
논리적인 수학이 다른 공부할때도 도움이 될까? 수학문제를 풀며 글자 하나하나 새겨가면서 차근차근 문제해결 방법을 찾는 과정을 반복 하다보면 깊이있게 생각하고 여러 다른 관점에서 문제를 볼수있는 수학적 직관이나 통찰력을 익힐수있는 가장좋은 방법들이 숨어있다는걸 알게된다.
‘봉산개도 우수가교(逢山開道 遇水架橋)’는 어려움을 극복하려는 불굴의 의지를 표현할 때 흔히 인용된다. 산을 만나면 길을 열고, 물을 만나면 다리를 놓으며 앞으로 나아간다는 말로어려운 문제를 붙들고 해결 될때까지 도전해보고 결국 방법을 찾아가는 과정에서 수학적 방법을 터득하고 이를 응용하고 발전시켜 또 다른 공부할때 큰 도움이 된다는 교훈으로서 새로운 문제를 대할때마다 필요한 자세라 할것입니다 .
궁즉변(窮則變), 변즉통(變則通), 통즉구(通則久)
어려움에 처하면 즉 문제가 안풀리면 문제를 다시 한번 읽어보고 그래도 모르겠거든 알때까지 읽어보고, 그래도 안되면 문제를 해결 할수있는 방법을 찾아서 조건등을 변화시켜보고 , 문제를 바꾸어 보아 쉽게 풀리게 되면 확인해보고 왜 내가 틀렸을까?
또 다른 방법은 없을까? 아! 이렇게 하면 되겠구나!
왜 내가 이생각을 못햇지! 이렇게 반성도하고 하는 과정을 통해 사고의 폭과 넓이가 확장되고 비판적 사고 사물을 있는 그대로 보는 눈 안목이 길러지는 겁니다.
손가락으로 하늘을 가르키면 하늘은 안보고 손가락 끝을 봅니다.
손가락전에 먼저 하늘 보고있는 아이들 보고싶습니다.
제대로 본다. 쉽지만 가장 어렵습니다.조선 백자 고려청자 앞에두고 진위 판별이 쉽나요?
피카소 모네 그림 앞에두고 위작이 아니라고 단정하기 쉽나요.
있는 그대로 제대로 보는게 중요합니다.
산은 산이고 물은 물 이다 라고 하기가 어렵습니다.
니 바보가 하는 소리가 들립니다.
성철스님께 물어보세요
문제를 제데로보고 깊이 생각하고 될때까지 풀어보고 학교오가며 생각하며 아 이렇게하면 되겠구나 이런생각 하고 다니는데 공부 못할리가 없지요.
물론 제데로된 문제를 만나야 이런 머리회전이 생깁니다.
문제 해결의 길잡이는 자기자신에게 있다는 겁니다. 선생이 이래라 저래라 시킨것만 하는 아이는 안시키면 할게없어요.
나중에크서 뭘 할까요 걱정입니다.
그렇다고 선생 다 없애버릴까요.
아닙니다. 모든 평범한 사람 한사람 모두다 소중합니다.
천리마를 알아보는 백락 이라는 스승을 왜 ?
가장 좋은 선생은 자기자신이란 말입니다.
이세상은 머리좋은 소수의 노력에 의해서 많이 크게 완전히 변합니다.
영재 수재 천재들이 열심히 노력하라는 말로 이해하시면 됩니다.
궁지에 몰리면 변하고 변해서 막힌것없이 확 뚤리면 앞만보고 나가면 됩니다.수학이나 모든 공부방법이 이와 똑같습니다.해보고 안되면 다르게 풀어보고 그래도 안되면 물어보고 그렇게 풀면 되겠지요.
이런 모든 과정을 통해서 한단계 한단계 차곡차곡 앞으로 나아가면 큰 인물이 될 인재가 자라는걸 지켜보는 즐거움이 또한 크지겠지요.
도대체 무슨말하는지 모르겟다는 분들 위해
일단 두꺼운 책 한권 펼쳐놓고 넘겨보세요.
표지가 있고 목차가 나옵니다 서론 본론 결론도 있고
굵고 큰 글씨로 제 1장 제2장 ...이렇게 나가고
제1장은 1 페이지 부터 54 page
제2장은 55 페이지 부터 102 페이지
제3장은 103~135
제4...
책이 이렇게 되어 있을 겁니다.
책마다 다 다를텐데 우연히 각장에 있는 페이지수가 같은 책이 두권 발견했다면 잘 살펴보세요 혹시 있다면 제가 coffee 한잔 살게요.
단 제목도같고 저자 출판사 총 페이지가 같은 두책은 거기다 껍데기 아 책표지 까지 같은건 예외 입니다.
이렇게 쓰놓고보니
이세상은 머리좋은 소수의 노력에 의해서 많이 크게 완전히 변합니다.
영재 수재 천재들이 열심히 노력하라는 말로 이해하시면 됩니다.
궁지에 몰리면 변하고 변해서 막힌것없이 확 뚤리면 앞만보고 나가면 됩니다.수학이나 모든 공부방법이 이와 똑같습니다.해보고 안되면 다르게 풀어보고 그래도 안되면 물어보고 그렇게 풀면 되겠지요.
이런 모든 과정을 통해서 한단계 한단계 차곡차곡 앞으로 나아가면 큰 인물이 될 인재가 자라는걸 지켜보는 즐거움이 또한 크지겠지요.
도대체 무슨말하는지 모르겟다는 분들 위해
일단 두꺼운 책 한권 펼쳐놓고 넘겨보세요.
표지가 있고 목차가 나옵니다 서론 본론 결론도 있고
굵고 큰 글씨로 제 1장 제2장 ...이렇게 나가고
제1장은 1 페이지 부터 54 page
제2장은 55 페이지 부터 102 페이지
제3장은 103~135
제4...
책이 이렇게 되어 있을 겁니다.
책마다 다 다를텐데 우연히 각장에 있는 페이지수가 같은 책이 두권 발견했다면 잘 살펴보세요 혹시 있다면 제가 coffee 한잔 살게요.
단 제목도같고 저자 출판사 총 페이지가 같은 두책은 거기다 껍데기 아 책표지 까지 같은건 예외 입니다.
이렇게 쓰놓고보니
coffee
라는 글자가 수학적으로도 미적으로 아주매우 아름답구나!
거의 좌우로 대칭 기하학적으로 이등변삼각형
자음세개 모음세개 ㅇㅣ......
글자를 자꾸 쳐다보면 커피속으로 빨려 들어갈것 같은 기분
책을 들고 분석을 해 보십시오?
각 페이지 마다 쓰여져있는 12345 숫자들만 신경 쓰시고 책 안의 내용은 처다보지도 마세요. 오직 페이지 숫자만 신경 쓰세요
요리책이면 어쩌나 걱정 됩니다
제가 펼쳐놓은 팡세 지은이 파스칼 출판사 민음사 총페이지 572
표지는 촛불앞에 왠 --가 앉아있고
아 책선정이 잘못되었구나
제1편 순서 40
제2편 헛됨 49
제3편 비참 72
제4편 권태와 인간의 본질적 특성 92
...
제2부
제8편 잡록 501
제8편 이란 말을 장(Chapter) 로바꾸고 다시 책 을 분석하시면 됩니다
다시 말씀 드리지만 책내용이 불어든 독일어든 한국말이든 그림이 있든 없든 우리의 미션은 오직 책 페이지에만 있다는 겁니다.
이래서 모두 수학을 싫어하는지 아닌지 연구해 봐야겠군요.
여하튼 책 페이지와 장 여기에서 장은 페이지 장을 말하는게 아니라 영어로 Chapter 장을 말합니다. 이게 국어가 어렵다는 말입니다.
한자로 영어로 설명해야 이해가 되니까요.
손에 들고 계신 책을 펼쳐 책 탐구 프로젝트를 떠나 보세요.
책 분석이 완료된후 자신감이 생기면 응용을해서 다른책도 분석하시고
모든책에 적용할 마스터키를 갖게되시면 조용히 책을 덮으신후 전략을 짜고
공격방법을 찿으세요.
문제가 생각나지 않으시면 처음으로 돌아가세요!
초봄부터 머리 복잡게 한죄 중하니
저도 조용히 ...
궁금한점있으면 010-3549-5206 연락바랍니다.
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