녹원학원 수학과학영재교육 010-3549-5206 : 삼각수(三角數, triangular number)

2019년 2월 28일 목요일

삼각수(三角數, triangular number)

삼각수(三角數, triangular number), 또는 "삼각형 수" 는 일정한 물건으로 삼각형 모양을 만들어 늘어 놓았을 때, 그 삼각형을 만들기 위해 사용된 물건의 총 수가 되는 수를 말한다.

예를 들어 아래와 같이 네 줄에 걸쳐 삼각형을 만들었을 때 늘어놓은 물건의 총 수는 10개가 되며, 10은 삼각수의 하나가 된다.

n번째 삼각수 N은 1부터 n까지의 자연수를 모두 합한 것이고, 여기서 삼각수의 정의로 인하여 n은 반드시 자연수여야 한다. 삼각수의 수열은 1, 3, 6, 10, 15, 21, 28, 36, 45, 55, 66, 78, 91, 105, 120... 과 같고,

n

번째의 삼각수

N

은

N={\frac {n(n+1)}{2}}

으로 나타낼 수 있다. 모든 자연수는 최대 3개의 삼각수의 합으로 표현할 수 있다는 정리가 있으며, 이는 카를 프리드리히 가우스가 1796년 (가우스의 일기에 따르면 7월 10일)에 증명하였다. 이 정리는 모든 자연수는 최대

n

개의

n

각수의 합으로 표현할 수 있다는 페르마의 다각수정리의 한 경우이다.

삼각수의 제곱

$n$ 번째 삼각수의 제곱은 1의 세제곱부터 $n$ 의 세제곱까지의 합과 같다.

사면체수

삼각수의 개념을 공간으로 확장하여, 물체를 사면체를 이루도록 공간에 배치했을 때의 물체의 총 수를 사면체수(四面體數, tertiary number)라고 한다.

제

n

사면체수는 제1 삼각수에서부터 제

n

삼각수까지의 합이고, 그 값

N

은 다시

N={\frac {n(n+1)(n+2)}{6}}

으로 쓸 수 있다.

사면체수를 1항부터 써보면 다음과 같다.

1, 4, 10, 20, 35, 56, 84, 120, 165, 220, 286, 364, 455, 560, 680, 816, 969, 1140, ...

나아가 한번 일반화시키면, 삼각수에서 사면체수를 알아낸 것과 마찬가지로 사면체수의 합으로 4차원 공간에서의 삼각수인 5포체수를 정의할 수 있다. 일반 차원의 공간(여기에서는

r

차원)까지 개념의 확장을 실시했을 때, 제

n

번째의 그 수

T_{r}(n)

은

T_{r}(n)=\prod _{k=1}^{r}\left(1+{\frac {n-1}{k}}\right)={\frac {n(n+1)\cdots (n+r-1)}{r!}}=(-1)^{r-1}{-n \choose r}

이다.

가우스의 계산법]

카를 프리드리히 가우스에 관련된 일화에 의하면, 가우스는 1부터 100까지의 자연수를 모두 더하라는 문제를 듣고(1부터 100까지의 자연수를 모두 더하라는 것은 100번째 삼각수를 구하라는 것과 같다.), 1+100, 2+99 등으로 1~100 사이의 두 수를 더하면 101이 되도록 수를 짝짓고, 합이 101이도록 짝지어진 수들의 갯수가 50쌍이라는 것을 알아낸 뒤 101×50을 계산하여 답이 5050임을 구하였다. 즉, 수식으로 쓰면 (100+1)×(100/2)가 되고, 여기서 100을 n으로 치환하면 n번째 삼각수의 값을 나타내는 식이 도출된다.

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