2019 AMC 12A #16 문제
가로 세로 3개씩 9칸에 숫자 1,2,3...9 를 무작위로 넣는다.
각 사각형 마다 1부터 9까지 중복되지 않게 한숫자씩만 넣는다.
각 행과 열의 숫자들의 합이 홀수가 될 확률은 얼마일까?
Problem
The numbers 
are randomly placed into the 
squares of a 
grid. Each square gets one number, and each of the numbers is used once. What is the probability that the sum of the numbers in each row and each column is odd?
are randomly placed into the squares of a grid. Each square gets one number, and each of the numbers is used once. What is the probability that the sum of the numbers in each row and each column is odd?
Solution 1
홀수의 합이 나올려면 (ㅈ,ㅈ,ㅎ) (ㅎ,ㅎ,ㅎ) 만 가능하다
각 행과 열의 3숫자가 모두 홀수거나 한수만 짝수일 경우이다.
홀수 + 홀수 + 홀수 = 홀수
홀수 + 짝수 + 짝수 = 홀수
1,3,5,7,9의 5개 홀수와 2,4,6,8 짝수를 9칸에 임의로 넣는데 일단 홀수부터 넣어봅시다.
상하좌우로 3개씩 더한 숫자의 합이 홀수가 나와야 한다는 규칙에 따라 행이나 열 3칸 모두 홀수 이거나, 1칸만 홀수 이고 나머지 두칸은 짝수를 넣으면 세수의 합이 홀수가 나온다.
예를들면
(1)
4,3,8
9,5,1
2,7,6
(2)
5,1,9
3,8,4
7,6,2
등으로 상하 좌우 3개씩 합이 홀수 이다.
(1)의 경우 (3,5,7), (9,5,1) 은 홀수로만 구성되어있고 나머지 행과열은
(4,9,2), (2,7,6) 처럼 짝수2개 홀수 한개로 합이 홀수인 경우이다.
(2)의 경우도 마찬가지로 (5,1,9), (5,3,7)은 홀수로만 구성되어있고
나머지 행과열은 (9,4,2), (7,6,2)처럼 짝수2개 홀수 한개로 합이 홀수인 경우이다.
9개 숫자중 5개 홀수만 9칸중 5칸에 넣어보자.
1,2,3
4,5,6
7,8,9
넣는 방법은 1을 중심으로 오른쪽 2,3
아래로 4,7 식으로 홀수를 배치할수있다.
2를 중심으로 홀수를 넣으면 좌우로 1,3
아래로 5,8 이렇게 5개 홀수를 조건에 맞게 넣을수가 있다.
9를 중심으로 넣으면 위로 3,6
왼쪽으로 7,8 자리에 홀수를 넣으면된다.
즉
맨처음 홀수를 넣을 자리가 1부터 9 까지 9 자리가있고,
홀수가 5개 있으니 5! 즉 5*4*3*2*1 가지가 있다.
홀수 5개를 5칸에 배치하고 나머지 4칸에 짝수를 배치하면 되는데
이경우 4! 즉 4*3*2*1 가지 경우가있다.
종합하면 9칸에 9개숫자 넣는 경우의수 는 모두 9! 즉 (9*8*7*6*5*4*3*2*1 )개가 있다.
처음 홀수를 넣는자리 9개
홀수 5개를 넣는방법이 5!,
짝수 4개를 넣는 방법이 4!
답은 5!*4!*9/9!=1/14 (B)
너무 복잡한가요?
왜 소설을 쓰느냐고 물으니
시(詩, poetry)를 쓸수 있는 능력이 부족하여 길게 쓴다는 변명으로 일단 마무리 하겠습니다.
말로 설명하면 쉬운데 글로 쓸려니 어렵군요.
예를들면
(1)
4,3,8
9,5,1
2,7,6
(2)
5,1,9
3,8,4
7,6,2
등으로 상하 좌우 3개씩 합이 홀수 이다.
(1)의 경우 (3,5,7), (9,5,1) 은 홀수로만 구성되어있고 나머지 행과열은
(4,9,2), (2,7,6) 처럼 짝수2개 홀수 한개로 합이 홀수인 경우이다.
(2)의 경우도 마찬가지로 (5,1,9), (5,3,7)은 홀수로만 구성되어있고
나머지 행과열은 (9,4,2), (7,6,2)처럼 짝수2개 홀수 한개로 합이 홀수인 경우이다.
9개 숫자중 5개 홀수만 9칸중 5칸에 넣어보자.
1,2,3
4,5,6
7,8,9
넣는 방법은 1을 중심으로 오른쪽 2,3
아래로 4,7 식으로 홀수를 배치할수있다.
2를 중심으로 홀수를 넣으면 좌우로 1,3
아래로 5,8 이렇게 5개 홀수를 조건에 맞게 넣을수가 있다.
9를 중심으로 넣으면 위로 3,6
왼쪽으로 7,8 자리에 홀수를 넣으면된다.
즉
맨처음 홀수를 넣을 자리가 1부터 9 까지 9 자리가있고,
홀수가 5개 있으니 5! 즉 5*4*3*2*1 가지가 있다.
홀수 5개를 5칸에 배치하고 나머지 4칸에 짝수를 배치하면 되는데
이경우 4! 즉 4*3*2*1 가지 경우가있다.
종합하면 9칸에 9개숫자 넣는 경우의수 는 모두 9! 즉 (9*8*7*6*5*4*3*2*1 )개가 있다.
처음 홀수를 넣는자리 9개
홀수 5개를 넣는방법이 5!,
짝수 4개를 넣는 방법이 4!
답은 5!*4!*9/9!=1/14 (B)
너무 복잡한가요?
왜 소설을 쓰느냐고 물으니
시(詩, poetry)를 쓸수 있는 능력이 부족하여 길게 쓴다는 변명으로 일단 마무리 하겠습니다.
말로 설명하면 쉬운데 글로 쓸려니 어렵군요.
Solution 2
비둘기집 원리에 의해 적어도 한행( row )에는 2개나 그이상의 홀수가 있어야 되지요.
그래서 홀수의 합이 나올려면 홀수가 3개 필요하군요. 열 ( column )도 마찬가지 이겠지요.
홀수로만 채울 한행과 한열만 선택하면 되겠군요.
좌우로 3줄 상하로 3줄
3 곱하기 3 =9 가지 경우가 있네요.
답은
![\[\frac{9}{\binom{9}{4}}=\boxed{\textbf{(B) }\frac{1}{14}}\]](https://latex.artofproblemsolving.com/b/0/2/b02fd305ab2b24c4b7780359c414686a3db9602a.png)
문제가 각행과 열에 있는 세수의 합이 홀수라는 조건밖에 없는데
왜 각행과 열의 세수의 합이 같다고 생각하고 문제를 풀까요?
KMO상 받은 애들도 문제를 제대로 읽지않고 자기 나름데로 문제를 해석해서
오류를 범할때가 많이 있군요.
제가 학생들에게 자주 하는말
답이뭔지 찾지말고 문제가 뭔지 먼저 생각하라!
궁금하거나 의문나는게 있으면 연락 해 주세요
010-3549-5206
친절히 답변 해 드리겠습니다.
감사합니다.
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