몰리의 삼등분 정리 Morley's Trisection Theorem

몰리의 삼등분선 정리는 삼각형에 관한 기하학 정리이다. 1899년에 미국의 수학자 프랭크 몰리가 증명하였다.
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​삼각형 ABC의 세 각을 각각 삼등분한 선들이 서로 이웃한 것끼리 만나는 점을 각각 P, Q, R이라 하면 삼각형 PQR은 정삼각형이다.
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임의의 삼각형에 대해 각 내각의 삼등분선을 긋는다. 각변에 가까운 선끼리의 교점을 P, Q, R이라 하면, 삼각형 PQR은 정삼각형이 된다. 이 정삼각형을 몰리의 삼각형이라고 한다. 내각의 삼등분선 외에 외각의 삼등분선으로도 이와 같이 정삼각형을 만들 수 있다.

증명

몰리의 정리를 증명하는 방법은 여러 가지가 있지만, 대부분 간단하지는 않다. 그 방법들은 주로, 최초로 정삼각형을 정의하고 그 정삼각형의 꼭짓점이 삼등분선의 교점 위에 있다는 것을 보이는 것이다.

예시

아래는 삼각함수를 이용한 증명이다.

a, b, c를 아래와 같이 정의한다.

• <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle {\widehat {BAC}}=3\times a}"><semantics><annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle {\widehat {BAC}}=3\times a}</annotation></semantics></math>
• <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle {\widehat {ABC}}=3\times b}"><semantics><annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle {\widehat {ABC}}=3\times b}</annotation></semantics></math>
• <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle {\widehat {ACB}}=3\times c}"><semantics><annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle {\widehat {ACB}}=3\times c}</annotation></semantics></math>

<math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle {\widehat {BAC}}+{\widehat {ABC}}+{\widehat {ACB}}=180^{\circ }}"><semantics><annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle {\widehat {BAC}}+{\widehat {ABC}}+{\widehat {ACB}}=180^{\circ }}</annotation></semantics></math>

이므로

a + b + c = 60

계산을 간단하게 하기 위해서 외접원의 반지름을 1이라 하면, 세 변의 길이는

• AB = 2 sin(3c)
• BC = 2 sin(3a)
• AC = 2 sin(3b)

이 된다.

삼각형 BPC 에사인 법칙을 적용하면,

<math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle {\frac {BP}{\sin(c)}}={\frac {BC}{\sin(180-b-c)}}={\frac {2\sin(3a)}{\sin(b+c)}}={\frac {2\sin(3a)}{\sin(60-a)}}}"><semantics><annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle {\frac {BP}{\sin(c)}}={\frac {BC}{\sin(180-b-c)}}={\frac {2\sin(3a)}{\sin(b+c)}}={\frac {2\sin(3a)}{\sin(60-a)}}}</annotation></semantics></math>

<math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle BP={\frac {2\sin(3a)\sin(c)}{\sin(60-a)}}}"><semantics><annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle BP={\frac {2\sin(3a)\sin(c)}{\sin(60-a)}}}</annotation></semantics></math>

sin(3a)를 아래와 같이 변형한다.

<math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle {\begin{aligned}\sin(3a)&=3\sin(a)-4\sin ^{3}(a)\\&=4\sin(a)\left(\left({\frac {\sqrt {3}}{2}}\right)^{2}-\sin ^{2}(a)\right)\\&=4\sin(a)(\sin ^{2}(60)-\sin ^{2}(a))\\&=4\sin(a)(\sin(60)+\sin(a))(\sin(60)-\sin(a))\\&=4\sin(a)\times 2\sin \left({\frac {60+a}{2}}\right)\cos \left({\frac {60-a}{2}}\right)\times 2\sin \left({\frac {60-a}{2}}\right)\cos \left({\frac {60+a}{2}}\right)\\&=4\sin(a)\sin(60+a)\sin(60-a)\end{aligned}}}"><semantics><annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle {\begin{aligned}\sin(3a)&=3\sin(a)-4\sin ^{3}(a)\\&=4\sin(a)\left(\left({\frac {\sqrt {3}}{2}}\right)^{2}-\sin ^{2}(a)\right)\\&=4\sin(a)(\sin ^{2}(60)-\sin ^{2}(a))\\&=4\sin(a)(\sin(60)+\sin(a))(\sin(60)-\sin(a))\\&=4\sin(a)\times 2\sin \left({\frac {60+a}{2}}\right)\cos \left({\frac {60-a}{2}}\right)\times 2\sin \left({\frac {60-a}{2}}\right)\cos \left({\frac {60+a}{2}}\right)\\&=4\sin(a)\sin(60+a)\sin(60-a)\end{aligned}}}</annotation></semantics></math>

이 식을 위의 BP 식에 대입하면

BP = 8 sin(a) sin(c) sin(60+a)

이 된다. 같은 방법으로

BR = 8 sin(a) sin(c) sin(60+c)

삼각형 BPR에 코사인 법칙을 적용하면

PR² = BP² + BR² - 2BPBRcos(b)

이 식에 위에서 얻은 BP, BR 의 값을 대입하면

PR² = 64 sin²(a) sin²(c) (sin²(60+a) + sin²(60+c) - 2 sin(60+a) sin(60+c) cos(b))

여기서 (60+a)+(60+c)+b=120+(a+b+c)=180이 된다. 3개의 각이 (60+a), (60+c), b인 삼각형에 사인 법칙과 코사인 법칙을 적용하면,

sin²(b) = sin²(60+a) + sin²(60+c) - 2 sin(60+a) sin(60+c) cos(b)

따라서,

PR = 8sin(a)sin(b)sin(c)

같은 방법으로

PQ = 8sin(b)sin(a)sin(c)

QR = 8sin(a)sin(c)sin(b)

결론적으로

PR = PQ = QR

이 되어, 세 변의 길이가 같다는 것을 알 수 있다.

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