수학의 재미 2009 AMC 10A /Problem 5 문제해설

2009 AMC 10A /Problem 5 문제

수 111,111,111 을 제곱 할때 각 자리수의 합이 얼마일까?

Problem

What is the sum of the digits of the square of 111,111,111 ?

Solution 1

111,111,111 * 111,111,111 = 12345678987654321

각자리값을 다 더하면 81

 E가 답이군요

(설마 9자리수 곱하기 9 자리수 하신건 아니겠죠

만약 일일이 다 곱하셨다면 의지의 사나이?)

Solution 2 

1 * 1 = 1

11 * 11= 121

111 * 111 = 12321

1111 * 1111= 1234321

pattern 이 있지요, 발견하셨나요 ?

만약 X 가 111...111 n 자리수(n<10)이라면 

 X^2 (X제곱)의 각자리수의 합은?

1+2+3+4+5...n+(n-1)+(n-2)...+1

=(1+2+3+4+5...n)+(1+2+3+4+5...n-1)

=n(n+1)/2 + (n-1)n/2

=n(n+1+n-1)/2

=2n^2/2

=n^2

n 제곱?

Aha!

111111111 이 9자릿수이니 자릿수의 합은 9^2=81

E가 답이군요

Solution 3

111의 제곱은  

111(100+10+1) = 11100+1110+111 = 12321

111111111의 제곱은

111111111(100000000+10000000...10+ 1)

=11111111100000000 +1111111110000000 + 111111111

=12345678987654321

각 자리수의 합은 81(E)

.

어떠셨나요? 

규칙을 찾아서 계산해 보니 더 복잡한 문제도 풀수있는 힘이 생기리라 여겨 지시나요.

중요한것은 아무리 복잡해도 큰종이와 연필만 있으면 계산할수 있지만 복잡한 산수 단계에

지나지 않고 아! 물론 틀리지 않고 정확히 계산할수있는 능력도 있어야되고 중요합니다.

논리적인 수학차원에서는 다른이야기 입니다.

특수한 사례들을 모아 일반적인 패턴이나  규칙을 찿아 내는게 우리가 수학에서 배우고자 하는

것이 겠지요.

또 다르게 위의 문제를 해결할수있는 방법이 있다면 

댓글이나

010-3549-5206 으로 연락해주세요

감사합니다.