‘말하는 수학’…토론 속에 답이 보인다

토론이란 서로의 생각을 논리적으로 말하는 가장 기본적이고 대표적인 의사소통 방법이다. 하지만 수학과 토론의 연관성을 떠올리기는 쉽지 않다. 우리는 그동안 혼자 고민하면서 문제를 해결하는 식으로 수학을 공부했기 때문이다. 

토론을 통한 수학문제 해결은 학생들에게 매우 낯선 접근 방식이다. 하지만 다양한 방식으로 문제에 접근해 해결 방법을 찾기 위해서는 토론 과정이 반드시 필요하다. 모르는 문제라도 풀이를 보지 않고 친구들과 이야기하면서 해법을 찾는 과정은 설명하는 능력을 길러준다. 또한 이 과정에서 모아진 다양한 의견들은 수학적 생각으로 연결돼 창의적 문제해결력을 키워준다. 

그렇다면 구체적인 수학 토론 활동에는 어떤 것들이 있을까? 우선 한 문제를 각자 풀어본 후에 풀이를 발표하거나, 모둠 활동을 통해 의견을 교환하는 활동을 꼽을 수 있다. 이런 활동을 통해 학생들은 자신이 문제를 올바르게 해결했다고 생각하더라도 친구의 발표를 듣고 보완할 부분을 찾을 수 있고, 자신의 풀이가 논리적으로 어긋나진 않는지 확인할 수 있다. 처음에는 학생들에게 모둠 토론 수업이 어색할 수 있기 때문에 서로 편하게 의견을 제시하고 나누는 분위기를 만드는 것이 중요하다. 

 직육면체 모양의 상자에서 최단 거리를 구하는 문제를 학생들이 모둠별 토론을 통해 해결한 과정이다. 



[문제] 다음 그림과 같은 직육면체 모양의 상자에서 개미가 점 D를 출발하여 점 F에 이르는 최단 거리를 구하라. 





 

[문제] 다음 그림과 같은 직육면체 모양의 상자에서 개미가 점 D를 출발하여 점 F에 이르는 최단 거리를 구하라.





학생 A: 그야 당연히 점 B까지 온 후에 점 F로 오는 것이 가장 짧지 않을까? 그것이 일직선으로 보이잖아. 

학생 B: 그런데 눈으로 보이는 것과 실제는 다를 수 있잖아. 입체에서 보는 것보다 면을 펼쳐서 평면에서 일직선이 되도록 경로를 잡아야 할 것 같아. 펼쳐서 관찰해보면, 모서리 AB를 지나서 점 F에 도착하는 것이 더 짧음을 알 수 있지. 







 

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학생 C: 그런데 이런 일직선 경로가 또 있어. 모서리 AE를 지나서 점 F에 도착하는 방법 말이야. 

학생 B: 그렇구나. 그러면, 일직선 경로를 두 개 알았는데, 어떤 경로가 더 짧을까? 아까 내가 한 방법과 같이 그림에서 길고 짧음을 비교하기는 어려울 것 같아. 

학생 A: 그럼, 우리가 배운 피타고라스 정리를 이용해 직접 계산을 해보자. 모서리 AB를 지날 때는 이고, 모서리 AE를 지날 때는 이네. 모서리 AE를 지날 때가 최단 거리구나! 



토론을 통해 학생 B는 학생 A의 잘못된 생각을 지적했고, 학생 C는 두 사람의 생각에 또다른 해결 방법을 더함으로써 올바른 답을 찾을 수 있는 방향을 찾았다. 







 


수학 토론의 또다른 장점은 자신의 의견을 표현하면서 스스로 생각을 정리할 수 있다는 것이다. ‘어떤 것을 가장 확실하게 아는 방법은 그것을 다른 사람에게 가르쳐보는 것’이란 말이 있다. 자신의 해결 방법을 다른 사람에게 설명할 때 기존에 알고 있던 지식이 더 명확해지고 구체화돼 구조적으로 잘 정리된다. 자신이 아는 것을 다른 사람에게 이해하기 쉽게 설명하려 노력하는 과정은 기본 개념과 응용 개념을 구별할 수 있는 힘을 길러주고, 다른 해결 방법을 계속 고민하게 한다. 마지막으로 꼽을 수 있는 수학 토론의 장점은 토론을 통해 논리적 말하기 연습을 할 수 있다는 것이다. 누군가를 설득하려면 논리적으로 설명하고, 적절한 예시를 들 수 있어야 하는데, 수학 교육 과정에서의 토론은 이런 능력을 기르는 데 안성맞춤이다. 








다음 문제를 여러 가지 방법으로 해결하고 친구들과 각자의 방법을 비교해보자. 



도박사의 문제 

17세기 프랑스에 한 유명한 도박사가 있었다. 그는 감각으로만 도박을 하지 않고, 수학적인 분석을 함으로써 도박에서 많은 이익을 보고 있었다. 어느 날, 그 도박사는 도박을 하던 도중 곤란한 상황이 생겨 수학자인 파스칼에게 서신을 보내어 조언을 구했다. 

 



여러분이 파스칼이라면 이 문제를 어떻게 해결할지 생각해보자. 









 한겨레