Problem

트라비스는 악명높은 세 쌍둥이 톰슨네 집에서 테드 ,토드 ,터드 를 돌보는 알바이트를 하고있다.

아이들이 숫자놀이를 좋아한다는걸 알고 숫자세기 게임을 생각했다.
수가 크지면 크질수록 더더욱 좋아하는 아이들이니 하루종일 놀수있는 그런 문제를 고안 하였다.

테드가 1 토드가 2 ,3 터드가 4 ,5 ,6 다시 테드가 7 ,8 ,9 ,10 이런식으로 순서대로 10000이 될때 까지 앞사람보다 하나더 많은 숫자를 부르는 재미있는 게임이다.

테드 가 2019번째 로 부른 숫자는 얼마인가?

한동안 요녀석들 조용하겠지!

Travis has to babysit the terrible Thompson triplets. Knowing that they love big numbers, Travis devises a counting game for them. First Tadd will say the number $1$ , then Todd must say the next two numbers ( $2$ and $3$ ), then Tucker must say the next three numbers ( $4$ , $5$ , $6$ ), then Tadd must say the next four numbers ( $7$ , $8$ , $9$ , $10$ ), and the process continues to rotate through the three children in order, each saying one more number than the previous child did, until the number $10,000$ is reached. What is the $2019$ th number said by Tadd?

$\textbf{(A)}\ 5743 \qquad\textbf{(B)}\ 5885 \qquad\textbf{(C)}\ 5979 \qquad\textbf{(D)}\ 6001 \qquad\textbf{(E)}\ 6011$

Solution 1

테드 ,토드 ,터드가 할 숫자세기 게임은 1개 두개 3개 , 4개 5개 6개, ...이렇게 10000이 될때까지 돌아가며 숫자를 부르며 노는 게임이다.

애들끼리 놀도록 내버려두고 수의 규칙을 생각해 보았다.

The first six triangular numbers

삼각수는 정삼각형으로 배열된 숫자의 갯수를 더해보면 나온다.

n 번째 삼각수는 삼각형 한변에 n개의 점으로 구성되어있다.

또한 1부터 n 까지 를 더한 합이다.

T6 정삼각형은 6번째 삼각수이다. 세변에 6개씩 , 1부터 6까지합 21이다.

삼각수를 나열해보면 다음과 같다.

0, 1, 3, 6, 10, 15, 21, 28, 36, 45, 55, 66, 78, 91, 105, 120, 136, 153, 171, 190, 210, 231, 253, 276, 300, 325, 351, 378, 406, 435, 465, 496, 528, 561, 595, 630, 666...

1, 3, 6,

10, 15, 21,

28, 36, 45,

55, 66, 78,

91, 105, 120, 136, 153, 171, 190, 210, 231, 253, 276, 300 325, 351, 378, 406, 435, 465, 496, 528, 561, 595, 630, 666...

테드 ,토드 ,터드가 부른 숫자에 규칙이 있음을 알았다.

삼각수를 대입해보니 각라운드 마지막으로 부른 즉 토드의 끝수가 삼각수로 끝남을 알게되었다. 6 ,21 , 45, 78...

각라운드 마지막숫자는 3n 번째 삼각수야.

아! 나는 천재 베이비시터야!

$\begin{tabular}{||c c c c||} \hline Round & Tadd & Todd & Tucker \\ [0.5ex] \hline\hline 1 & 1 & 2-3 & 4-6 \\ \hline 2 & 7-10 & 11-15 & 16-21 \\ \hline 3 & 22-28 & 29-36 & 37-45 \\ \hline 4 & 46-55 & 56-66 & 67-78 \\ [1ex] \hline \end{tabular}$

Tadd: $1, 4, 7, 10, 13 \cdots$

Todd: $2, 5, 8, 11, 14 \cdots$

Tucker: $3, 6, 9, 12, 15 \cdots$

테드가 라운드 1에서 1개, 라운드2에서 4개, 라운드3에서 7개,
일반적으로 나타내면 3n-2개의 숫자를 말하게 되는군요.

n 라운드가 끝나면 지금까지 테드가 부른 숫자는
모두 1 + 4+ 7 + ...(3n-2) = n(3n-1)/2 개

n(3n-1)/2

여기서 가우스 계산을 알아볼까요?
1+2+3+4+5
5+4+3+2+1

6+6+6+6+6 =6*5
한줄만 더하면 되는데 두줄 더했으니 2로 나누면
6 곱하기 5 나누기2 는 15

1부터 5까지 더하면 15
가우스(Gauss) 계산을 하면 아무리 큰수의 합도 쉽게 알수있군요.
이게 바로 수학의 힘이죠.

n(3n-1)/2 > 2019
n=37 이면 부등식 왼쪽이 2035가 나오고
n=36 이면 왼쪽 값이 1926이 나온다.

테드가 36라운드에서 1926개 숫자를 말했다는걸 말해주고,
2019-1926=93이니
37번째 라운드 93번째수가 바로 우리가 찾고있는 바로 그수 이군요.

n번째 라운드의 제일 마지막수는 3n번째 삼각수이니
n=36 즉 36*3=108 번째 삼각수는 5886
답은 5886+93=5979 (C) 가 답이군요.

108 번째 삼각수가 얼마냐고요?
5886인데 어떻게 찾을까요?

n

번째의 삼각수

N

은

N={\frac {n(n+1)}{2}}

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감사합니다.

녹원학원 수학과학영재교육 010-3549-5206

2019년 2월 28일 목요일

수학의 재미 2019 AMC 10A Problem 23 삼각수

문제:2019 AMC 10A Problems/Problem 23 삼각수

Problem

트라비스는 악명높은 세 쌍둥이 톰슨네 집에서 테드 ,토드 ,터드 를 돌보는 알바이트를 하고있다.

Solution 1

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