녹원학원 수학과학영재교육 010-3549-5206 : 외접원과 외심의 성질

2019년 2월 21일 목요일

외접원(外接圓)이란, 어떤 2차원 다각형에 대해, 그 다각형의 꼭짓점들을 원주 위에 가지고 있는 원을 뜻한다. 그 원의 중심은 외심이라고 한다.

일반적으로 모든 삼각형과 정다각형들에는 외접원이 존재하지만, 모든 다각형에 외접원이 존재하는 것은 아니다. 정다각형의 경우 외심은 정다각형의 중심과 같다.

삼각형의 외접원]

모든 삼각형에는 외심이 항상 존재하고, 그 점은 각 변의 수직이등분선의 교점이다. 그리고 삼각형의 각 꼭짓점에서 외심까지의 길이는 외접원의 반지름과 일치하므로 같다.

삼각형의 각 변의 수직이등분선의 교점은 외접원의 중심에서 만난다.

이것을 증명하려면, 어떠한 변의 수직이등분선은 하나밖에 존재하지 않는다는 것을 이용하여, 두 수직이등분선의 교점에서 나머지 한 변에 내린 수선이 그 변을 이등분한다는 것을 보이면 된다.

삼각형의 세 변의 길이와 세 각의 크기를 각각

a,b,c,A,B,C

라 하고, 외접원의 반지름 길이를

R

이라 할 때,

{\frac {a}{\sin {A}}}={\frac {b}{\sin {B}}}={\frac {c}{\sin {C}}}=2R

이 성립한다.

삼각형의 세 변의 길이를

a,b,c

라 하고, 외접원의 반지름 길이를

R

이라 할 때, 삼각형의 넓이

S

는

S={\frac {abc}{4R}}

이 성립한다.

증명은 다음과 같다.

 $S={\frac {1}{2}}ab\sin {C}$ (삼각형의 넓이)
 $\sin {C}={\frac {c}{2R}}$ (사인 법칙)
따라서,
 $S={\frac {abc}{4R}}$

삼각형

ABC

와 그 외접원 위의 점

D,BC

위의 점

E

에 대해, 다음 세 조건 중 하나를 만족하면

AB*AC=AD*AE

이다.

외접원과 내접원의 반지름 R,r에 대해 내심과 외심 사이 거리는

{\sqrt {R^{2}-2Rr}}

이다.

외접원과 내접원의 반지름 R,r에 대해 R은 2r보다 같거나 크다.

사각형의 외접원

사각형 ABCD에 원이 외접하려면 다음 조건 중 하나를 만족하여야 한다.

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