산술-기하 평균 부등식(算術幾何平均不等式: arithmetic-geometric mean inequality)

수학에서, 산술-기하 평균 부등식(算術幾何平均不等式, 영어: arithmetic-geometric mean inequality)은 산술 평균과 기하 평균 사이에 성립하는 부등식이다. 이에 따르면, 임의의 음수가 아닌 실수들에 대하여, 그 산술 평균은 그 기하 평균보다 크거나 같으며, 정확히 모든 실수들이 같은 경우에만 두 평균이 같다.
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정의[편집]

음이 아닌 실수들 <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle x_{1},x_{2},\ldots ,x_{n}\geq 0}"><semantics><annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle x_{1},x_{2},\ldots ,x_{n}\geq 0}</annotation></semantics></math>이 주어졌다고 하자. 산술-기하 평균 부등식에 따르면, 다음이 성립한다.

<math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle {\frac {x_{1}+x_{2}+\cdots +x_{n}}{n}}\geq {\sqrt[{n}]{x_{1}x_{2}\cdots x_{n}}}}"><semantics><annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle {\frac {x_{1}+x_{2}+\cdots +x_{n}}{n}}\geq {\sqrt[{n}]{x_{1}x_{2}\cdots x_{n}}}}</annotation></semantics></math> 특히, 등호가 성립할 필요 충분 조건은, 모든 실수들이 같다는 것이다. 즉,

<math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle {\frac {x_{1}+x_{2}+\cdots +x_{n}}{n}}={\sqrt[{n}]{x_{1}x_{2}\cdots x_{n}}}\iff x_{1}=x_{2}=\cdots =x_{n}}"><semantics><annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle {\frac {x_{1}+x_{2}+\cdots +x_{n}}{n}}={\sqrt[{n}]{x_{1}x_{2}\cdots x_{n}}}\iff x_{1}=x_{2}=\cdots =x_{n}}</annotation></semantics></math>

증명[편집]

귀납적 증명[편집]

음이 아닌 실수 <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle x_{1},x_{2},\cdots ,x_{n}\geq 0}"><semantics><annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle x_{1},x_{2},\cdots ,x_{n}\geq 0}</annotation></semantics></math> 및 그 산술 평균

<math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle x={\frac {x_{1}+x_{2}+\cdots +x_{n}}{n}}}"><semantics><annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle x={\frac {x_{1}+x_{2}+\cdots +x_{n}}{n}}}</annotation></semantics></math>

가 주어졌다고 하자. 그렇다면, 산술-기하 평균 부등식은 다음과 같이 쓸 수 있다.

<math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle x^{n}\geq x_{1}x_{2}\cdots x_{n}}"><semantics><annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle x^{n}\geq x_{1}x_{2}\cdots x_{n}}</annotation></semantics></math>

<math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle x^{n}=x_{1}x_{2}\cdots x_{n}\iff x_{1}=x_{2}=\cdots =x_{n}}"><semantics><annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle x^{n}=x_{1}x_{2}\cdots x_{n}\iff x_{1}=x_{2}=\cdots =x_{n}}</annotation></semantics></math>

이를 수학적 귀납법으로 증명할 수 있다.

우선, <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle n=1}"><semantics><annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle n=1}</annotation></semantics></math>인 경우 이는 자명하게 성립한다.

그 다음, <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle n}"><semantics><annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle n}</annotation></semantics></math>에 대하여 성립한다는 가정 아래, <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle n+1}"><semantics><annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle n+1}</annotation></semantics></math>에 대한 산술-기하 평균 부등식

<math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle x^{n+1}\geq x_{1}x_{2}\cdots x_{n+1}}"><semantics><annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle x^{n+1}\geq x_{1}x_{2}\cdots x_{n+1}}</annotation></semantics></math>

가중 산술 평균과 가중 기하 평균 사이에도 비슷한 부등식이 성립한다. n개의 음수가 아닌 실수들 x₁, x₂, …, x_n과 그에 대응하는 가중치 α₁, α₂, …, α_n가 있을 때, 가중치의 합 <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle \alpha =\alpha _{1}+\alpha _{2}+\cdots +\alpha _{n}}"><semantics><annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \alpha =\alpha _{1}+\alpha _{2}+\cdots +\alpha _{n}}</annotation></semantics></math>이라 하면 다음이 성립한다.

<math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle {\frac {\alpha _{1}x_{1}+\alpha _{2}x_{2}+\cdots +\alpha _{n}x_{n}}{\alpha }}\geq {\sqrt[{\alpha }]{x_{1}^{\alpha _{1}}x_{2}^{\alpha _{2}}\cdots x_{n}^{\alpha _{n}}}}}"><semantics><annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle {\frac {\alpha _{1}x_{1}+\alpha _{2}x_{2}+\cdots +\alpha _{n}x_{n}}{\alpha }}\geq {\sqrt[{\alpha }]{x_{1}^{\alpha _{1}}x_{2}^{\alpha _{2}}\cdots x_{n}^{\alpha _{n}}}}}</annotation></semantics></math>

마찬가지로 이 부등식은 모든 x_k들이 같을 때 등식이 된다.

가중 산술-기하 평균 부등식의 증명[편집]

<math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle \alpha _{k}=0(k=0,1,\cdots ,n)}"><semantics><annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \alpha _{k}=0(k=0,1,\cdots ,n)}</annotation></semantics></math> 를 가중치로 갖는 <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle x_{k}}"><semantics><annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle x_{k}}</annotation></semantics></math>은 전체 식에 영향을 주지 않으므로 배제하고 생각하면, 증명에서 다루는 모든 <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle \alpha _{k}}"><semantics><annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \alpha _{k}}</annotation></semantics></math>는 양수라고 가정할 수 있다.

<math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle f(x)=lnx}"><semantics><annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle f(x)=lnx}</annotation></semantics></math>에서 젠센 부등식을 이용하면 쉽게 증명할 수 있다.

<math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle x>0}"><semantics><annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle x>0}</annotation></semantics></math>일때 <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle f(x)=lnx}"><semantics><annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle f(x)=lnx}</annotation></semantics></math>는 오목함수, 즉 위로 볼록한 함수이므로

<math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle {\begin{aligned}\ln {\Bigl (}{\frac {\alpha _{1}x_{1}+\cdots +\alpha _{n}x_{n}}{\alpha }}{\Bigr )}&>{\frac {\alpha _{1}}{\alpha }}\ln x_{1}+\cdots +{\frac {\alpha _{n}}{\alpha }}\ln x_{n}\\&=\ln {\sqrt[{\alpha }]{x_{1}^{\alpha _{1}}x_{2}^{\alpha _{2}}\cdots x_{n}^{\alpha _{n}}}}.\end{aligned}}}"><semantics><annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle {\begin{aligned}\ln {\Bigl (}{\frac {\alpha _{1}x_{1}+\cdots +\alpha _{n}x_{n}}{\alpha }}{\Bigr )}&>{\frac {\alpha _{1}}{\alpha }}\ln x_{1}+\cdots +{\frac {\alpha _{n}}{\alpha }}\ln x_{n}\\&=\ln {\sqrt[{\alpha }]{x_{1}^{\alpha _{1}}x_{2}^{\alpha _{2}}\cdots x_{n}^{\alpha _{n}}}}.\end{aligned}}}</annotation></semantics></math>

이다. <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle f(x)=lnx}"><semantics><annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle f(x)=lnx}</annotation></semantics></math>는 단조증가함수이므로

<math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle {\frac {\alpha _{1}x_{1}+\alpha _{2}x_{2}+\cdots +\alpha _{n}x_{n}}{\alpha }}\geq {\sqrt[{\alpha }]{x_{1}^{\alpha _{1}}x_{2}^{\alpha _{2}}\cdots x_{n}^{\alpha _{n}}}}}"><semantics><annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle {\frac {\alpha _{1}x_{1}+\alpha _{2}x_{2}+\cdots +\alpha _{n}x_{n}}{\alpha }}\geq {\sqrt[{\alpha }]{x_{1}^{\alpha _{1}}x_{2}^{\alpha _{2}}\cdots x_{n}^{\alpha _{n}}}}}</annotation></semantics></math>

가 성립함이 증명된다.

제곱-산술-기하-조화 평균 부등식[편집]

산술-기하 평균 부등식에 제곱 평균과 조화 평균에 대한 결론을 추가할 수 있다. 음이 아닌 실수 <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle x_{1},x_{2},\dots ,x_{n}\geq 0}"><semantics><annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle x_{1},x_{2},\dots ,x_{n}\geq 0}</annotation></semantics></math>에 대하여, 다음이 성립한다.

<math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle {\frac {n}{{\frac {1}{x_{1}}}+{\frac {1}{x_{2}}}+\cdots +{\frac {1}{x_{n}}}}}\leq {\sqrt[{n}]{x_{1}x_{2}\cdots x_{n}}}\leq {\frac {x_{1}+x_{2}+\cdots +x_{n}}{n}}\leq {\sqrt {\frac {x_{1}^{2}+x_{2}^{2}+\cdots x_{n}^{2}}{n}}}}"><semantics><annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle {\frac {n}{{\frac {1}{x_{1}}}+{\frac {1}{x_{2}}}+\cdots +{\frac {1}{x_{n}}}}}\leq {\sqrt[{n}]{x_{1}x_{2}\cdots x_{n}}}\leq {\frac {x_{1}+x_{2}+\cdots +x_{n}}{n}}\leq {\sqrt {\frac {x_{1}^{2}+x_{2}^{2}+\cdots x_{n}^{2}}{n}}}}</annotation></semantics></math>

특히, 각각의 부등호가 등호가 될 성립할 필요 충분 조건은, 모든 실수들이 같다는 것이다. 즉,

<math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle" {\frac {n}{{\frac {1}{x_{1}}}+{\frac {1}{x_{2}}}+\cdots +{\frac {1}{x_{n}}}}}><{\sqrt[{n}]{x_{1}x_{2}\cdots x_{n}}}<{\frac {x_{1}+x_{2}+\cdots +x_{n}}{n}}<{\sqrt {\frac {x_{1}^{2}+x_{2}^{2}+\cdots x_{n}^{2}}{n}}}\qquad (\lnot x_{1}=x_{2}=\cdots =x_{n})}"><semantics><annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle {\frac {n}{{\frac {1}{x_{1}}}+{\frac {1}{x_{2}}}+\cdots +{\frac {1}{x_{n}}}}}<{\sqrt[{n}]{x_{1}x_{2}\cdots x_{n}}}<{\frac {x_{1}+x_{2}+\cdots +x_{n}}{n}}<{\sqrt {\frac {x_{1}^{2}+x_{2}^{2}+\cdots x_{n}^{2}}{n}}}\qquad (\lnot x_{1}=x_{2}=\cdots =x_{n})}</annotation></semantics></math>

<math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle {\frac {n}{{\frac {1}{x_{1}}}+{\frac {1}{x_{2}}}+\cdots +{\frac {1}{x_{n}}}}}={\sqrt[{n}]{x_{1}x_{2}\cdots x_{n}}}={\frac {x_{1}+x_{2}+\cdots +x_{n}}{n}}={\sqrt {\frac {x_{1}^{2}+x_{2}^{2}+\cdots x_{n}^{2}}{n}}}\qquad (x_{1}=x_{2}=\cdots =x_{n})}"><semantics><annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle {\frac {n}{{\frac {1}{x_{1}}}+{\frac {1}{x_{2}}}+\cdots +{\frac {1}{x_{n}}}}}={\sqrt[{n}]{x_{1}x_{2}\cdots x_{n}}}={\frac {x_{1}+x_{2}+\cdots +x_{n}}{n}}={\sqrt {\frac {x_{1}^{2}+x_{2}^{2}+\cdots x_{n}^{2}}{n}}}\qquad (x_{1}=x_{2}=\cdots =x_{n})}</annotation></semantics></math>

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​Wikipedia