2019년 2월 6일 수요일

브라마굽타 공식 KMO 기하학 기초

브라마굽타 공식이란, 원에 내접하는 사각형의 네 변의 길이를 알고 있을 때 그 사각형의 면적을 구하는 공식이다.
원에 내접하는 사각형의 선분의 길이가 각각 a, b, c, d일 때, 사각형의 넓이 S는
{\displaystyle S={\sqrt {(s-a)(s-b)(s-c)(s-d)}}}
이고 여기에서 s는
{\displaystyle s={\frac {a+b+c+d}{2}}}
인 값이다.
이때, d = 0으로 생각하면 이 때는 원에 내접하는 삼각형에 대한 넓이 공식이 나오고, 이것은 헤론의 공식과 일치한다.

증명

원 O 에 사각형 ABCD가 내접한다고 하고, 각 변의 길이를 p, q, r, s라고 하자. 그러면 사각형 ABCD의 넓이 S는 삼각형 ADB과 삼각형 BCD의 넓이의 합과 같으므로,
{\displaystyle S={\frac {1}{2}}pq\sin A+{\frac {1}{2}}rs\sin C}
가 성립한다. 이 때, 사각형 ABCD가 원에 내접하므로,
{\displaystyle \angle DAB=180^{\circ }-\angle DCB}
이고, 따라서
{\displaystyle S={\frac {1}{2}}pq\sin A+{\frac {1}{2}}rs\sin A}
{\displaystyle (S)^{2}={\frac {1}{4}}\sin ^{2}A(pq+rs)^{2}}
{\displaystyle 4(S)^{2}=(1-\cos ^{2}A)(pq+rs)^{2}\,}
{\displaystyle 4(S)^{2}=(pq+rs)^{2}-cos^{2}A(pq+rs)^{2}\,}
여기에서 삼각형 ADB와 BDC에 대해 코사인 제 2 법칙을 사용하면
{\displaystyle BD^{2}=p^{2}+q^{2}-2pq\cos A=r^{2}+s^{2}-2rs\cos C\,}
그리고 cos C = -cos A를 대입하고 정리하면
{\displaystyle 2\cos A(pq+rs)=p^{2}+q^{2}-r^{2}-s^{2}\,}
따라서
{\displaystyle 4(S)^{2}=(pq+rs)^{2}-{\frac {1}{4}}(p^{2}+q^{2}-r^{2}-s^{2})^{2}}
{\displaystyle 16(S)^{2}=4(pq+rs)^{2}-(p^{2}+q^{2}-r^{2}-s^{2})^{2}\,}
{\displaystyle =((p+q)^{2}-(r-s)^{2})((r+s)^{2}-(p-q)^{2})\,}
{\displaystyle =(p+q+r-s)(p+q+s-r)(p+r+s-q)(q+r+s-p)\,}
{\displaystyle T={\frac {p+q+r+s}{2}},}로 놓으면
{\displaystyle (S)^{2}=(T-p)(T-q)(T-r)(T-s)\,}
{\displaystyle S={\sqrt {(T-p)(T-q)(T-r)(T-s)}}}
가 얻어진다.

일반화(브레치나이더공식)[편집]

원에 내접하지 않는 경우에도 비슷한 식을 얻을 수 있다.
임의의 사각형의 각 변의 길이를 a, b, c, d라고 하고, 마주보는 두 각의 합을 2로 나눈 값을 θ라고 하면
{\displaystyle S={\sqrt {(s-a)(s-b)(s-c)(s-d)-abcd\cos ^{2}\theta }}}
가 얻어진다. 이를 브레치나이더 공식(Bretschneider's formula)이라고 한다.




Wikipedia
작성자: 시간:

댓글 없음:

댓글 쓰기

피드 구독하기: 댓글 (Atom)