데카르트 정리

데카르트 정리는 르네 데카르트의 이름을 따 명명된 정리이다. 이 정리는 각 두 원끼리 접하는 세 원의 쌍이 주어졌을 때, 이 세 원에 모두 접하는 다른 원(데카르트 원)들을 찾을 수 있게 해 준다. 이 내용은 기원전 3세기의 수학자 아폴로니우스의 저서인 《접선에서》에 들어 있다고 하지만, 이는 현대에 전하지 않는다.

공식화

만약 주어진 세 원의 반지름을 <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle a,b,c}"><semantics><annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle a,b,c}</annotation></semantics></math>라 하면, 접하는 원의 반지름을 <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle d}"><semantics><annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle d}</annotation></semantics></math>라 할 때,

• <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle ({\frac {1}{a}}+{\frac {1}{b}}+{\frac {1}{c}}+{\frac {1}{d}})^{2}=2({\frac {1}{a^{2}}}+{\frac {1}{b^{2}}}+{\frac {1}{c^{2}}}+{\frac {1}{d^{2}}})}"><semantics><annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle ({\frac {1}{a}}+{\frac {1}{b}}+{\frac {1}{c}}+{\frac {1}{d}})^{2}=2({\frac {1}{a^{2}}}+{\frac {1}{b^{2}}}+{\frac {1}{c^{2}}}+{\frac {1}{d^{2}}})}</annotation></semantics></math>

가 성립하는데 이는 <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle {\frac {1}{d}}}"><semantics><annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle {\frac {1}{d}}}</annotation></semantics></math>에 관한 이차방정식이므로, 이를 풀면 두 개의 접원의 반지름을 구할 수 있다. 이 정리의 특수한 경우로서, 만약 세 원 중 하나가 직선으로 대치되면 이것은 반지름이 무한대(즉 곡률이 0)인 원으로 볼 수 있으므로 이에 대하여,

• <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle ({\frac {1}{a}}+{\frac {1}{b}}+{\frac {1}{d}})^{2}=2({\frac {1}{a^{2}}}+{\frac {1}{b^{2}}}+{\frac {1}{d^{2}}})}"><semantics><annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle ({\frac {1}{a}}+{\frac {1}{b}}+{\frac {1}{d}})^{2}=2({\frac {1}{a^{2}}}+{\frac {1}{b^{2}}}+{\frac {1}{d^{2}}})}</annotation></semantics></math>

가 성립하며, 세 원 중 둘이 직선이라면, 마찬가지 방식으로

• <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle ({\frac {1}{a}}+{\frac {1}{d}})^{2}=2({\frac {1}{a^{2}}}+{\frac {1}{d^{2}}})}"><semantics><annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle ({\frac {1}{a}}+{\frac {1}{d}})^{2}=2({\frac {1}{a^{2}}}+{\frac {1}{d^{2}}})}</annotation></semantics></math>

가 성립된다.

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