체바의 정리 KMO 기하학 기초정리

체바의 정리의 도해. O 점이 삼각형 내부에 있는 경우.

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체바의 정리의 도해. O 점이 삼각형 외부에 있는 경우.

체바의 정리(Ceva's theorem)는 조반니 체바의 이름이 붙은 기하학 정리이다. 삼각형 ABC가 있고 점 D, E, F가 각각 변 BC, CA, AB 또는 그 연장선 위에 있을 때, 직선 AD, BE, CF가 한 점 O에서 만나면

<math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle {\frac {AF}{FB}}\cdot {\frac {BD}{DC}}\cdot {\frac {CE}{EA}}=1}"><semantics><annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle {\frac {AF}{FB}}\cdot {\frac {BD}{DC}}\cdot {\frac {CE}{EA}}=1}</annotation></semantics></math>

이다. 세 개의 분수 꼴은 부호를 고려한 값인데, 예를 들어 AF/FB는 A에서 F로의 방향과 F에서 B로의 방향이 같은지에 따라 양과 음을 띤다. (선분의 분점 참고) 이들을 각각 (A, B, F), (B, C, D), (C, A, E)로 두어 위의 식을 다음과 같이 표현하는 경우도 있다.

<math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle (A,B,F)\cdot (B,C,D)\cdot (C,A,E)=1}"><semantics><annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle (A,B,F)\cdot (B,C,D)\cdot (C,A,E)=1}</annotation></semantics></math>

체바의 정리의 역 또한 참이다. 즉 삼각형 ABC 세 변 (또는 그 연장선) 위의 점 D, E, F가

<math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle {\frac {AF}{FB}}\cdot {\frac {BD}{DC}}\cdot {\frac {CE}{EA}}=1}"><semantics><annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle {\frac {AF}{FB}}\cdot {\frac {BD}{DC}}\cdot {\frac {CE}{EA}}=1}</annotation></semantics></math>

을 만족하면, AD, BE, CF는 공점선이다. 이는 체바의 정리의 일부로 간주되기도 한다.^[1]

1678년에 조반니 체바가 증명하였다. 그러나 11세기에 이미 아랍 수학자 유숩 알무타만 이븐 후드에 의해 발견되었다.^[2]

체바의 정리와 메넬라오스의 정리는 서로 쌍대이다.

종합 기하학

삼각형 AOC와 BOC의 면적의 비를 생각하자. 같은 변 OC를 공유하므로, 면적의 비는 높이의 비, 곧 AF와 FB의 길이의 비이다. 이는 두 삼각형의 높이선과 AF, FB가 이루는 직각삼각형의 닮음을 이용한 것이다. 즉,

<math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle {\frac {|AF|}{|FB|}}={\frac {|S_{\triangle AOC}|}{|S_{\triangle BOC}|}}}"><semantics><annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle {\frac {|AF|}{|FB|}}={\frac {|S_{\triangle AOC}|}{|S_{\triangle BOC}|}}}</annotation></semantics></math>

나머지 두 관계도 비슷하게 얻어진다.

<math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle {\frac {|BD|}{|DC|}}={\frac {|S_{\triangle BOA}|}{|S_{\triangle COA}|}}}"><semantics><annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle {\frac {|BD|}{|DC|}}={\frac {|S_{\triangle BOA}|}{|S_{\triangle COA}|}}}</annotation></semantics></math>

<math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle {\frac {|CE|}{|EA|}}={\frac {|S_{\triangle COB}|}{|S_{\triangle AOB}|}}}"><semantics><annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle {\frac {|CE|}{|EA|}}={\frac {|S_{\triangle COB}|}{|S_{\triangle AOB}|}}}</annotation></semantics></math>

세 식을 곱하면

<math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle \left|{\frac {AF}{FB}}\cdot {\frac {BD}{DC}}\cdot {\frac {CE}{EA}}\right|=1}"><semantics><annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \left|{\frac {AF}{FB}}\cdot {\frac {BD}{DC}}\cdot {\frac {CE}{EA}}\right|=1}</annotation></semantics></math>

또한 분수꼴들의 부호는 셋 모두 양이거나 두 개만 음이다. 각각 점 O가 삼각형 내부와 외부에 있는 경우이다. 따라서

<math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle {\frac {AF}{FB}}\cdot {\frac {BD}{DC}}\cdot {\frac {CE}{EA}}=1}"><semantics><annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle {\frac {AF}{FB}}\cdot {\frac {BD}{DC}}\cdot {\frac {CE}{EA}}=1}</annotation></semantics></math>

해석 기하학[편집]

AF→ = λAB→, BD→ = μBC→, CE→ = νCA→라 가정하자. AD, BE, CF가 공점선일 필요충분조건이 λ/1 - λ μ/1 - μ ν/1 - ν = 1임을 증명하면 된다. CF→는 다음과 같이 나타내어진다.

<math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle {\overrightarrow {CF}}=(1-\lambda ){\overrightarrow {CA}}+\lambda {\overrightarrow {CB}}}"><semantics><annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle {\overrightarrow {CF}}=(1-\lambda ){\overrightarrow {CA}}+\lambda {\overrightarrow {CB}}}</annotation></semantics></math>

이를 다시 각각 CE→와 CB→, CA→와 CD→의 결합으로 바꿔 쓰면 다음과 같다.

<math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle {\overrightarrow {CF}}={\frac {1-\lambda }{\nu }}{\overrightarrow {CE}}+\lambda {\overrightarrow {CB}}}"><semantics><annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle {\overrightarrow {CF}}={\frac {1-\lambda }{\nu }}{\overrightarrow {CE}}+\lambda {\overrightarrow {CB}}}</annotation></semantics></math>

<math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle {\overrightarrow {CF}}=(1-\lambda ){\overrightarrow {CA}}+{\frac {\lambda }{1-\mu }}{\overrightarrow {CD}}}"><semantics><annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle {\overrightarrow {CF}}=(1-\lambda ){\overrightarrow {CA}}+{\frac {\lambda }{1-\mu }}{\overrightarrow {CD}}}</annotation></semantics></math>

AD, BE, CF가 한 점 O에서 만난다는 건, 다음 두 조건이 성립함과 동치이다.

• (0이 아닌) 실수 x가 존재하여 다음을 만족한다.

  <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle {\overrightarrow {CO}}=x{\overrightarrow {CF}}}"><semantics><annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle {\overrightarrow {CO}}=x{\overrightarrow {CF}}}</annotation></semantics></math>

• CO→를 CE→와 CB→, CA→와 CD→로 분해했을 때의 계수의 합은 1이다.

즉 다음의 식과 동등하다.

<math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle \left({\frac {1-\lambda }{\nu }}+\lambda \right)x=\left(1-\lambda +{\frac {\lambda }{1-\mu }}\right)x=1,\ x\neq 0}"><semantics><annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \left({\frac {1-\lambda }{\nu }}+\lambda \right)x=\left(1-\lambda +{\frac {\lambda }{1-\mu }}\right)x=1,\ x\neq 0}</annotation></semantics></math>

따라서 1 - λ/ν + λ = 1 - λ + λ/1 - μ , 즉 λ/1 - λ μ/1 - μ ν/1 - ν = 1은 AD, BE, CF가 한 점에서 만나는 것의 필요충분조건이다.

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