수학계의 에베레스트' 세계 7대 수학 난제, 풀면 상금이…

영화 '뷰티풀 마인드'의 실존 인물 수학자 존 내쉬는 리만 가설 증명을 위해 몰두했으나 실패했다. / 사진=영화 '뷰티풀 마인드' 스틸컷

세계 7대 수학 난제란 2000년 미국 클레이수학연구소에서 선정한 수학계의 7가지 중요 미해결 문제로, 밀레니엄 문제라고도 한다.

7대 수학 난제는 △리만 가설 △P 대 NP 문제 △양-밀스 이론과 질량 간극 가설 △푸앵카레 추측 △내비어-스톡스 방정식 △버치와 스위너톤-다이어 추측 △호지 추측이다.

'리만 가설'은 1900년 독일 수학자 힐베리트가 제시한 중요 수학 문제 20가지 중 유일하게 미해결로 남아있는 문제다. 1859년 독일 수학자 리만에 의해 처음 제기했다. 리만은 3, 5, 7 등 1과 자신으로만 나눌 수 있는 수인 소수(Prime Number)의 등장 패턴이 일정하다는 가설을 제시했다.

'P 대 NP 문제'는 '알고 보면 쉬운 문제(NP)가 답을 알기 전에도 쉬운 문제(P)인지 증명하라'는 문제다. 여기서 P는 '1 더하기 1' 처럼 풀기 쉬운 문제를 의미한다. NP는 풀기는 어렵지만 답을 알고 있을 경우 정답 여부 확인이 쉬운 문제다. 예를 들면, '곱이 4717인 두 소수를 구하라'는 문제는 풀기는 어렵다. 하지만 53과 89라는 두 소수를 미리 제시하고 '53 곱하기 89가 4717인가?'라고 묻는다면 확인하기 쉬울 것이다.

'양-밀스 이론과 질량 간극 가설'은 양자물리학에서 나온 양-밀스 이론과 질량 간극가설을 수학적으로 입증하라는 문제다. 양-밀스 이론은 양성자를 구성하는 쿼크와 글루온이 질량이 없다고 설명한다. 그런데 이 둘이 모여 만들어진 양성자는 질량이 있는 모순이 생긴다. 이 질량의 간극을 수학적으로 증명하라는 것이다.

푸앵카레 추측/ 사진=EBS '지식채널e' 영상 캡처

'푸앵카레 추측'은 3차원의 두 물체가 특정 성질을 공유하면 두 물체는 같은 것인지 증명하라는 문제다. 1904년 푸앵카레는 자신의 논문에서 '단일 연결인 3차원 다양체는 구와 같은 것인가"라는 문제를 제기했다. 예를 들면 접시나 수저처럼 구멍이 없는 물체를 찰흙처럼 뭉친다면 구가 될 수 있는 지를 수학적으로 증명하는 문제다.

'내비어-스톡스 방정식'은 비행기 날개 위로 흐르는 공기 같은 기체 흐름과 배 옆으로 흐르는 물 같은 유체 흐름을 기술하는 편미분 방정식의 해를 구하라는 문제다.

'버치와 스위너톤-다이어 추측'은 타원곡선을 유리수로 정의하는 방정식이 유한개의 유리수 해를 가지는지 무한개를 가지는지를 알 수 있는 간단한 방법을 구하라는 문제다.

'호지 추측'은 어떤 대상체도 모두 기하학 조각의 조합이라는 사실을 증명하라는 문제다.

이 문제들에 대한 해법을 전문 학술지에 게재하면 2년간 검증과정 끝에 결함이 발견되지 않는 경우 문제 당 상금 100만 달러(한화 약 10억2120만원)를 받을 수 있다. 공모기간은 무제한이다.

현재 확실하게 증명된 것은 '푸앵카레 추측'이 유일하다. 2002 러시아의 천재 수학자 그레고리 페렐만이 이 문제를 증명했고, 2006년 참으로 인정됐다. 페렐만은 이 공로로 수학계 노벨상인 '필즈상'에 선정됐으나 수상을 거부, 클레이연구소의 상금도 거절했다.
머니투데이