나무그늘도 수학 실력

여행을 잠시 멈추고 나무그늘에 앉아 보세요. 고개를 들면 무성한 나뭇잎이 모자이크처럼 햇볕을 가리고 있는 것이 보이지요. 시원한 나무그늘에도 식물의 놀라운 수학솜씨가 담겨 있답니다.


잎만 봐도 능력자

하늘에서 내려다보면 식물이 자라는 모양을 쉽게 볼 수 있어요. 저기 어린 대나무를 보세요. 어린 대나무는 줄기를 1바퀴 도는 동안 2개의 잎이 나요. 오리나무는 1바퀴에 3개, 벚나무는 2바퀴 동안 5개의 잎이 나지요. 잎 하나를 기준으로 두고 세면 잘 보인답니다.

이같은 원리를 처음 발견한 사람은 레오나르도 다 빈치였어요. 과학자이자 화가인 다빈치는 뛰어난 관찰력으로 쉽게 지나치던 식물에서 원리를 찾아 냈죠. 훌륭한 사람은 아무리 작은 것도 그냥 지나치는 법이 없나 봐요.
 

어린 대나무는 잎이 줄기를 타고 올라가듯 잎이 양쪽에 번갈아가며 난다.

수학이 증명한 최고의 모양

식물에 있는 피보나치 수열을 확인하기 위해 꼭 하늘에서 내려다봐야 하는 건 아니에요. 눈높이로 자라는 해바라기 속에도 있거든요. 해바라기는 꽃 안쪽에 씨앗이 가득 박혀 있어요. 씨앗은 한가운데서 시작해 각각 시계방향과 시계반대방향으로 나선 모양을 그리지요. 시계방향의 나선은 총 34줄, 반시계방향의 나선은 55줄이랍니다. 솔방울도 위에서 보면 8개와 13개의 나선을 확인할 수 있어요. 계속 보고 있으면 눈도 뱅글뱅글 돌지 모르니 조심하세요. 파인애플의 껍질 모양도 마찬가지랍니다.

식물이 왜 이런 피보나치 수열의 나선을 갖는지는 오랜 수수께끼였어요. 미국 콜로라도대학교 수학과 패트릭 쉬프만 교수는 수수께끼를 풀기 위해 선인장의 나선 모양을 수학 모델로 만들었어요. 그 결과, 현재 선인장의 모양이 수학적으로 가장 안정한 상태라는 것을 알 수 있었습니다. 이 모든 걸 이미 알고 있던 식물은 진정한 수학 천재인가 봐요.


잎의 각도는 황금비
 

잎의 각도는 황금비

잎이 나는 순서를 따져 보면 잎과 잎 사이의 각도를 계산할 수 있어요. 벚나무의 잎은 2바퀴 동안 5개의 잎이 나므로 (2바퀴×360°)÷5개 = 144° 즉, 두 잎 사이의 각도가 144°가 나오죠. 아래 표처럼 식물의 두 잎 사이의 각도는 180°에서 120°로 작아졌다가 144°로 다시 커지고, 또 135°로 작아졌다가 138.5°로 커지는 과정을 반복해요. 결국 137.5°에 가까워지죠. 137.5°를 360°로 나누면 0.382가 되는데 황금비의 또 다른 형태랍니다.


잎의 개수는 피보나치 수열

잎의 개수에도 규칙이 있어요. 표에 나오는 분자와 분모의 수를 순서대로 나열하면 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, … 이 되거든요. 앞서 민들레 잎에서 보았던 피보나치 수열의 완벽한 형태죠. 잎은 이러한 각도와 규칙으로 날 때 위에 있는 잎이 아래 잎을 가리지 않고 햇빛을 최대한 받을 수 있습니다. 그 덕분에 나무그늘에는 햇볕이 거의 들지 않아 여러분이 편하게 쉬어갈 수 있답니다.
 

잎의 개수는 피보나치 수열

선인장 나선의 비밀
 

선인장 나선의 비밀

선인장에는 세 가지 종류의 나선이 함께 있어요. 쉬프만 교수는 선인장이 자라는 방향과 힘을 계산해 컴퓨터로 재현했더니 실제 선인장의 나선 모양과 거의 비슷한 모델을 만들 수 있었습니다. 나선이 만나는 부분에는 선인장이 볼록하게 올라오고 가시가 생긴다는 사실도 알아 냈어요.

수학동아