난제의 비밀을 찾아서 그 곳엔 항상 소수가 있다

밀레니엄 문제가 유명하긴 하지만 수학에는 그 외에도 수없이 많은 미해결 문제가 도사리고 있다. 이름만 들어도 어려운 데다가 일일이 나열하기도 지칠 정도로 많지만, 그 중 상당수의 난제는 한 가지 주제와 관련이 있다. 여러 가지 난제에 꼬리표처럼 붙어 다니는 그것의 정체는 바로…, 소수!

1과 자기 자신 이외에는 어떤 수로도 나눠지지 않는 소수는 수학의 영원한 미스터리다. 소수는 고대 그리스 수학자들도 이미 알고 있었지만, 지금도 계속해서 새로운 소수가 발견되고 있다. 지금까지 발견된 가장 큰 소수는 무려 1300만 자리수로 수천 장의 종이가 있어야 겨우 쓸 수 있다.

소수의 배열에 일정한 규칙이 있을지, 소수의 개수가 무한한지 등 소수와 얽힌 다양한 의문은 지금까지도 수학자들의 궁금증을 자아내고 있다.


쌍둥이 소수 추측_소수에도 출생의 비밀이?

소수 중에는 2만큼 차이 나는 쌍이 있다. 예를 들어, 3과 5, 5와 7, 11과 13, 17과 19 등이다. 이런 소수의 쌍을 쌍둥이 소수라고 부른다. 쌍둥이 소수도 수가 점점 커질수록 드물어진다.

쌍둥이 소수 추측은 쌍둥이 소수가 무한히 많이 있다는 가설이다.
지금까지 발견된 가장 큰 쌍둥이 소수는

메르센 소수_소수를 찾는 가장 쉬운 방법

골드바흐 추측_2보다 큰 모든 짝수는 두 소수의 합으로 나타낼 수 있다?

18세기에 활동했던 수학자 크리스티안 골드바흐는 저명한 수학자인 오일러에게 보낸 한 편지에서 어떤 수를 소수의 합으로 표현하는 문제에 대해 의논했다. 여기서 유래한 것이 ‘골드바흐의 추측’이다. 골드바흐의 추측은 2보다 큰 짝수는 모두 두 소수의 합으로 나타낼 수 있다는 가설이다.

4=2+2
6=3+3
8=3+5
10=3+7 또는 5+5
⋮

작은 짝수는 간단히 덧셈을 해 보면 두 소수의 합으로 나타낼 수 있는지 아닌지 알 수 있지만, 대단히 큰 짝수라면 어떻게 될까? 수학자들은 이미 수백, 수천 억이 넘는 짝수까지 골드바흐의 추측이 맞다는 사실을 알아 냈지만, 짝수는 무한히 많다. 그리고 그 수많은 짝수에 대해 모두 골드바흐의 추측이 성립하는지는 아직 아무도 모른다.


피보나치 소수_재미있는 수열 속에 숨은 소수는?

우리에게 익숙한 피보나치 수열은 각 항이 이전의 두 항을 더한 값으로 이뤄진다.

1 1 2 3 5 8 13 21 34 55 89 144 233 377 610 987 1597 2584 4181 6765 …

위와 같은 피보나치 수열에서 소수를 찾아보자. 정답은 다음과 같다.

2, 3, 5, 13, 89, 233, 1597

이렇게 피보나치 수열에 속한 수 중 소수를 피보나치 소수라고 한다. 피보나치 수열은 끝없이 이어지는데, 그렇다면 피보나치 소수도 무한히 많을까? 피보나치 소수는 수열의 뒤쪽으로 갈수록 희귀해진다. 지금까지는 발견된 가장 큰 피보나치 소수는 81839번째 있는 수로 17103자리의 수다.

피보나치 수열로 유명한 피보나치는 12~13세기 이탈리아의 수학자로, 원래 이름은 레오나르도 피사노 보골라다.

다함께 찾는 메르센 소수

인터넷에서 무료로 다운받을 수 있는 프로그램을 이용해 여럿이 함께 메르센 소수를 찾는 계획이 있다. 메르센 소수를 찾기 위해서는 매우 강력한 컴퓨터가 필요하다. 하지만 그런 컴퓨터는 만들기 쉽지 않으므로 그 대신 평범한 컴퓨터를 수십만 대 연결해 그런 효과를 낸다. GIMPS라고 불리는 이 계획은 1996년 386대의 컴퓨터로 시작됐으며, 지금은 세계에서 가장 뛰어난 계산 능력을 자랑하고 있다. 최근 발견된 메르센 소수는 모두 이 계획을 통해 발견됐다.

수학동아