기준은 수학이 필요해 !

수학으로 생각하기

기준은 수학이 필요해 !

체육 시간에 기준과 가까이 있으면 몸이 편하다. 체조 대형으로 벌릴때도 조금만 움직이면 된다. 수학은 생활 곳곳에서 기준의 역할을 담당하고 있다. 수학과 가까이 있으면 생활의 원리가 간편해진다.


기준과 친해지기_수학을 알면 기준과 쉽게 친해질 수 있다.


“그리니치, 기준~!”

영국으로 이민 간 친구에게서 전화가 왔다. 자주 통화를 하면서도 매번 첫 번째 질문은 “거기 지금 몇 시냐?”다. 우리나라는 영국보다 9시간이 빠르니까, 우리나라가 오후 3시라면 영국은 오전 6시인 셈이다. 그럼에도 시차 계산은 언제나 헷갈린다. 이런 복잡한 시차는 어떻게 정해진 걸까?

국제천문연맹은 1925년 1월 1일부터 통일된 세계시를 쓰기로 결정했다. 영국 런던의 그리니치천문대의 시각을 기준으로 삼은 것이다. 원래는 그리치니에서 태양이 가장 높은 점에 오는 시각을 평균한 ‘그리니치평균천문시’가 기준이었다. 하지만 정오에 날짜를 바뀌게 할 수 없었기에 12시간을 앞당겨 계산한 ‘그리니치평균시’를 세계시의 기준으로 삼았다.

그럼 왜 영국의 그리니치천문대가 기준이 됐을까? 1675년에 세워진 그리니치천문대는 지구와 다른 별의 위치를 꾸준히 관측해 왔다. 또한 당시 세계의 바다를 제패한 영국은 지구의 남북점과 천문대의 하늘을 가로지르는 ‘자오선’을 기준으로 항해용 지도를 많이 만들었다. 그 뒤 대륙을 지나는 여객선, 열차 등이 개발되면서 세계 지도상의 위치를 표시하는 기준이 필요했다. 1884년 미국 워싱턴에서 열린 만국지도회의에서는 영국의 그리니치천문대의 자오선을 0도로 하는 ‘경도’를 마련했다. 경도는 지구상의 좌우 위치를 360°로 회전하며 표시한 것으로 0°의 오른쪽을 동경, 왼쪽을 서경이라 부른다. 우리나라의 가운데 지점은 동경 127.5도를 지난다.
 

 

영국 왕립그리니치천문대에 있는 시각과 경도의 기준선. 빨간 선을 기준으로 동경과 서경이 나뉜다. 건물이 북쪽을 향해 있어 사진에서는 오른쪽이 서쪽, 왼쪽이 동쪽으로 표시돼 있다.

똑똑한 각도 360°
 

각도를 통해 건물이나 나무의 높이를 재는 기계로 측고계라 부른다.

어버이날을 맞아 손수 만든 카네이션과 함께 굳은 각오를 담은 편지를 썼다. “앞으로 180도 달라진 모습을 보여 드리겠습니다.”

어떤 상황이나 사람이 확 바뀌는 경우를 “180도 달라졌다”고 쓴다. 수학적으로 180°는 한 바퀴의 절반을 돈 것으로 앞뒤 또는 위아래가 바뀐 모습이 나타나기 때문이다. 이처럼 회전과 관련된 표현을 할 때 각도를 쓴다. 한 바퀴를 어떻게 정의하느냐가 곧 각도의 기준이 되는 셈이다. 현재 한 바퀴의 각도는 360°로 나타낸다. 한 바퀴를 100°로 할 수도 있었을 텐데 왜 360°가 됐을까? 그 이유는 고대 바빌로니아 사람의 방법을 지금도 그대로 쓰고 있기 때문이다.

바빌로니아 사람들은 태양이 1년 동안 지구를 한 바퀴 도는 길인 ‘황도’를 꾸준히 관찰했다. 당시 바빌로니아에서는 1년을 12달 360일로 나눈 달력을 쓰고 있었다. 그래서 태양이 황도를 따라 하루 동안 움직인 거리가 1°, 한 바퀴는 360°가 됐다.

360은 유독 약수가 많은 수다. 한 자리 숫자 중에서 7을 제외하면 1, 2, 3, 4, 5, 6, 8, 9 등 모든 수가 360의 약수다. 덕분에 케이크를 나눠먹을 때 필요한 각도를 쉽게 계산할 수 있다. 4명이면 90°, 6명이면 60°, 8명이어도 45°로 딱 떨어진다. 만약 원의 각도가 100°도였다면 각도 계산이 여간 복잡한 게 아니다. 3등분이나 6등분을 하려면 소수점 이하가 끝도 없다.

각도의 기준이 하늘을 관측하는 데서 시작한 만큼 별을 관측할 때면 각도기 없이 각도를 잴 수 있는 방법이 있다. 팔을 앞으로 쭉 편 상태에서 한 뼘은 20°, 엄지손가락은 2°에 가깝다. 만약 오늘 밤 달의 고도가 궁금하다면 팔을 펴서 엄지손가락 끝을 지평선에 맞춘 다음, 손바닥을 달까지 펼쳐 보자. 한 뼘 반 위치에 달이 있다면 달의 고도는 약 30°다.
 

팔을 펴고 엄지손가락 끝을 지평선에 맞춘 채 한 뼘 위치에 별이 있다면 그 별의 고도는 약 20˚다.

위치 계산 단숨에

지구상의 특정 위치를 나타낼 때는 각도와 같은 단위를 쓴다. 지구가 둥글기 때문에 표면의 위치를 각도로 표현하면 편리하다. 예를 들어 독도의 위치는 동경 131도 52분 20초, 북위 37도 14분 21초로 나타낼 수 있다. 이와 같이 위치나 각도는 시간처럼 60진법을 쓴다. 1도를 60분으로, 1분을 60초로 나누는 것이다.

하지만 10진법을 쓰는 요즘 60진법은 계산이 복잡해지는 단점이 있다. 같은 위도 위를 나는 비행기가 서쪽에서 동쪽으로 움직이는 상황을 생각해 보자. 그리스 아테네는 *위도가 북위 37.5도로 우리나라 인천과 비슷하다. 아테네국제공항에서 출발한 비행기가 인천국제공항까지 날아오려면 얼마나 움직여야 할까? 아테네국제공항의 경도는 동경 23도 43분 57초, 인천국제공항은 동경 126도 27분 10초다.
 

각도와 같은 단위인 도, 분, 초를 쓰면 지구상의 어떤 위치도 표시할 수 있다.

비행기가 움직이는 거리는 두 값을 뺀 것과 같다. 이때 각 자리를 맞춰 같은 자리끼리 계산해야 한다. 먼저 분과 초의 자리를 보면 작은 수에서 큰 수를 뺄 수 없으므로 126도 27분 10초 = 125도 87분 10초 = 125도 86분 70초로 바꾸는 과정이 필요하다.

126도 27분 10초 - 23도 43분 57초
= 125도 86분 70초 - 23도 43분 57초
= 102도 43분 13초
 

60진법 뺄셈법

60진법 뺄셈법에 익숙하다면 오른쪽과 같이 쉽게 풀 수도 있다. 60진법의 계산을 계산기에 입력해서 풀려면 오히려 복잡하다. 계산기는 10진법 기준으로 만들어 졌기 때문에 분과 초를 모두 도로 바꿔야 한다. 그러면 126.4528과 23.7325가 나오는데 둘을 뺀 다음, 다시 분과 초로 환산해야 하는 불편함이 있다. 요즘 비행기나 배에서는 위성항법장치(GPS)로 위치를 파악하고, 바로 컴퓨터로 계산하는 방법을 쓴다.


기준용어가 술술~_아리송한 기준용어, 원리를 알면 풀린다.

배는 노트로 달린다

뉴스에서 올 여름부터 제주도 가는 뱃길이 빨라진다고 한다. 전라남도 장흥에서 제주도까지 1시간 반 만에 갈 수 있는 여객선이 운항을 시작한다는 것이다. 지금까지 배를 타고 제주도를 가려면 적어도 서너 시간이 걸렸다. 하지만 40노트의 속도를 자랑하는 여객선을 들여오면서 비행기와도 경쟁할 수 있게 됐다. 40노트면 어느 정도의 속도일까? 자동차처럼 시속으로 써도 될 텐데 굳이 노트라는 용어를 쓰는 이유는 뭘까?

1노트는 1시간에 1해리를 가는 속도로 시속 1.852km에 해당한다. 1해리는 1.852km로 위도의 1도를 60등분한 거리의 평균값이다. 지구가 완전히 둥글지 않고 가로가 조금 길기 때문에 생기는 거리의 차이를 평균낸 것이다. 배가 가는 항로를 표시한 지도는 km보다 ‘해리’라는 거리를 많이 쓴다. 배의 속도를 노트로 쓰는 것도 해리로 표시된 지도를 이용하는 데 편리하기 때문이다.

노트는 원래 영어로 ‘매듭’이라는 뜻이다. 16세기경 배의 속도를 잴 때는 모래시계를 뒤집어 놓고 배꼬리에서 14.4m마다 매듭을 지은 끈을 나무토막에 묶어 흘려보냈다. 당시 모래가 다 떨어지는 시간이 28초였는데 그 동안 풀려나간 끈의 매듭수로 배의 속도를 측정한 것이다. 28초 동안 정확하게 매듭 하나만큼의 끈이 흘려나갔다면 속도는 1노트다. 이것을 시속으로 계산하면 다음과 같다. 현재 쓰고 있는 노트의 속도와 매우 비슷하다는 사실을 알 수 있다.

현재 유조선은 보통 15노트, 컨테이너선은 25노트의 속도로 운항한다. 지금까지 가장 빠른 배는 1976년 소련이 개발한 물에 떠서 달리는 위그선으로 약 300노트에 달했다.

과거 유럽에서는 14.4m마다 매듭이 지어진 끈을 풀어 배의 속도를 쟀다.

시력에 마이너스 있다? 없다!

친구가 어제 수영장에서 마주쳤으면서도 왜 아는 체 안 했냐고 따진다. 안경을 벗어서 앞이 잘 보이지 않았을 뿐인데말이다. 그러자 친구는 “시력이 마이너스 (-)냐?”고 묻는다. 시력표의 맨 윗줄에 0.1이 있으므로 그보다 더 나쁘면 마이너스라고 생각하는 것이다. 하지만 시력에는 마이너스가 없다. 안경을 맞출 때 쓰는 마이너스값과 혼동한 셈이다.

물체에서 반사된 빛은 눈을 통과하면서 굴절돼 한 점에 모인다. 이 점을 초점이라고 하고 눈에서 초점까지의 거리를 초점거리라고 한다. 정상 시력에서는 눈 뒤의 망막에 초점이 정확하게 맞는다. 근시인 사람은 초점거리가 짧아 초점이 망막 앞에 맺힌다. 그래서 오목렌즈를 써서 초점을 뒤로 밀어준다. 반대로 초점거리가 긴 원시는 볼록렌즈를 써서 초점을 앞으로 당긴다.
 

 

오목렌즈의 근시교정 원리^근시는초점이 망막 앞에 맺힌다. 오목렌즈를 끼면 초점이 뒤로 밀려 망막에 정확하게 맞는다.

기준을 바꾸려면?_기준을 바꿀 땐 수학과 상의하세요.

섭씨와 화씨의 크로스

최근 영어 회화에 푹 빠진 송버터 씨는 미국 뉴스를 듣다가 깜짝 놀랐다. 에스키모인이 사는 북극 지역의 5월 초 온도가 35도를 넘었다는 것이다. 지구 온난화의 영향으로 고온 현상이 나타났다고 한다. 아무리 온난화가 심각하다지만 북극이 35도를 넘다니! 버터 씨의 영어 실력이 부족한 건 아닐까? 아니면 미국 뉴스회사가 실수를 한 것일까?

사실 어느 쪽도 잘못한 것이 없다. 다만 버터 씨가 온도 체계를 착각했을 뿐이다. 섭씨온도를 쓰는 우리나라와 달리 미국은 화씨온도를 쓰기 때문이다.

화씨온도는 섭씨온도보다 먼저 개발됐다. 1724년 독일의 물리학자 파렌하이트는 소금과 비슷한 염화암모늄을 섞은 얼음물이 어는 온도를 0도로, 체온을 96도로 하는 온도 체계를 만들었다. 화씨라는 명칭도 파렌하이트의 이름을 한자로 쓸 때 첫 글자가 화(華)인 데서 따온 것이다. 그 뒤 순수한 물의 어는점을 32도로, 끓는점을 212도로 두고 두 점 사이를 180등분한 눈금이 정착됐다. 이 눈금에 따르면 체온은 98.6도다.

섭씨온도는 그보다 18년 뒤인 1742년 스웨덴의 물리학자 셀시우스가 개발했다. 셀시우스의 한자 이름의 첫 글자인 섭(攝)을 따서 섭씨온도라 부른다. 처음에는 물이 어는점을 100도로, 끓는점을 0도로 하고 그 사이를 100등분한 온도 체계였다. 뜨거울수록 온도가 낮아지는 셈이었다. 하지만 셀시우스가 죽은 뒤 지금과 같이 뜨거울수록 온도가 올라가는 온도체계로 바뀌었다.

현재 대부분의 나라에서 섭씨온도를 쓰고 있지만, 미국과 같이 화씨온도를 계속 쓰는 나라도 있다. 그래서 화씨온도와 섭씨온도를 서로 바꿔서 계산하는식이 마련됐다.

앞서 송버터 씨가 착각한 화씨 35도는 위 식에 따라 섭씨 1.65도에 해당한다. 둘을 구분하기 위해 섭씨온도는 ℃, 화씨온도는 ℉라는 기호를 쓴다.

수학으로 돌아온 거인과 난쟁이

휴대전화 시장에서 스마트폰의 바람이 거세다. 다양한 스마트폰이 나오면서 경쟁도 치열하다. 각각의 제품은 나름의 장단점이 있겠지만 눈에 띄는 차이 중 하나가 저장 용량이다. 16기가, 32기가를 자랑하는 제품이 있는가 하면 256메가, 512메가에 그치는 제품도 있다. 여기서 말하는 메가나 기가의 정확한 명칭은 메가바이트와 기가바이트다. 디지털카메라의 저장 용량도 몇 년 전에는 메가 단위였던 것이 요즘에는 기가 단위로 커졌다.

기가는 메가보다 1000배가 크고, 킬로보다는 100만 배나 큰 수다. 1 뒤에 0이 9개나 붙으니 10억에 해당한다.

1기가(G) = 1000 × 1메가(M) = 1000000000

기가라는 용어는 그리스 신화에 나오는 땅의 여신 가이아가 낳은 거인 아들 ‘기가스’에서 유래했다. 최근에는 기가보다 1000배 큰 테라 단위가 컴퓨터의 저장 용량에 쓰이기도 한다.

한편 작다는 것을 나타낼 때는 나노라는 말이 자주 쓰인다. 나노는 소수점 아래로 9번째 자리에 1이 붙는 작은 수다. 나노라는 용어는 그리스 신화에 나오는 난쟁이 ‘나노스’에서 가져왔다.

나노는 마이크로보다 1000분의 1만큼 작고, 밀리보다는 100만 배나 작다. 머리카락 1가닥의 크기가 0.1밀리미터라고 하니 1나노 크기의 물질을 10만 개나 늘어놓아야 머리카락 1가닥 크기가 된다. 나노가 얼마나 작은지 가늠할 수 있는 대목이다.
 

국제 단위계에서 정한 접두어

수학동아