사각형이 만드는 세계

아르키매스 박사의 수학 실험실

사각형이 만드는 세계

수학실험실 2번째 시간에는 위아래 좌우가 모두 평행인 선분으로 이루어진 사각형에 대해 공부할 거예요. 2차원 정사각형, 3차원 정육면체, 4차원 입방체까지 각진 친구들의 이모저모를 실험을 통해서 알아봐요. 실험에 앞서 아르키매스 박사님이 정육면체와 관련된 재미있는 이야기를 해 주신대요. 귀를 쫑긋 하고 들어 보세요.


속이 꽉 찬 정육면체

그리스의 한 마을에 전염병이 돌아 많은 사람들이 고통을 겪다 죽어갔다. 사제는 신전에 찾아가 신께 기도를 드렸다. 그러자 신의 음성이 들렸다.

“부피가 2인 정육면체 모양의 돌을 만들어 오거라. 그러면 네게 신약을 주리라.”

사제는 철학자, 과학자, 수학자들과 함께 머리를 맞대고 고민했다.

철학자 : 한 모서리의 길이가 1m인 정육면체의 부피는 가로, 세로, 높이가 각각 1m이므로 1m×1m×1m=1㎥이지요. 모서리의 길이를 2배로 늘이면 2m×2m×2m=8㎥가 되고요. 즉, 부피가 2인 정육면체의 한 모서리를 구하려면 반의 반으로 줄이면 됩니다.

석공 : 그럼 한 모서리의 길이를 얼마로 해야 하는 겁니까?

철학자 : 글쎄…. 그게….



석공 : 그런데 ∛2(세제곱근 2)는 약 얼마입니까?

과학자 : 그것은 무리수라서 딱 떨어지는 수가 아닙니다. 대신 근삿값인 1.26m를 사용해야 합니다.
석공 알겠습니다.

석공이 만든 정육면체 모양의 돌을 사제가 신전에 바치자 신의 음성이 들렸다.

“정확한 모양은 신의 세계에만 존재한다. 근사적으로 가깝게 구했으므로 그 정신을 높이 사 신약의 일부를 주노라.”

사제는 신약의 일부로 마을의 질병을 고칠 수 있었다.

정육면체

고대 그리스 사람들도 정육면체에 대해 알고 있었어요. 정육면체는 속이 차 있는 정사각형 6개로 이루어진 도형이에요. 즉 면이 6개인 도형이지요. 반대로 속이 비어 있는 사각형, 막대로 만든 정사각형기둥은 정육면체 구조물이라고 해요.


아하! 생각이 쑥쑥! 차원을 넓혀 만든 모형
 

4차원 입방체의 모습. 수학동아 홈페이지 게시판에서 4차원 입방체가 움직이는 그림을 볼 수 있어요.

서로 평행하고 직교하는 선분으로만 이루어진 정사각형과 정육면체. 정사각형은 2차원, 정육면체는 3차원 공간에서 만들어진 도형이다. 그러면 4차원 공간에서는 어떤 도형이 만들어질까? 정육면체 8개가 붙은 모양인 이 도형은 정사각형과 정육면체처럼 하나의 도형으로 결정되는 것이 아니라 만드는 방법에 따라 다양하게 그려진다. 이 도형을 4차원 입방체라고 부른다. 4차원 입방체처럼 n차원까지 확장한 도형을 초입방체라고 한다.
 

4차원 입방체

3차원인 정육면체의 전개도가 2차원에서 그려지듯 4차원 입방체의 전개도는 3차원에서 그려진다. 전개도를 보면 4차원 입방체가 정육면체 8개로 만들어졌다는 것을 확실히 알 수 있다.

예술가들은 종종 차원을 주제로 자신의 예술세계를 보여 준다. 살바도르 달리는 ‘십자가에 못 박힌 예수’라는 작품에 4차원 입방체의 전개도를 그려 넣었다. 숭고하고 차원 높은 예수의 희생을 4차원 입방체를 통해 표현한 것이다.


◎미션◎ 두 가지 실험 중 하나를 골라 재미있는 수학 이야기를 만들어 보세요.

예문
미술시간에 종이접기를 했어요. 저는 한 시간 내내 종이와 씨름한 끝에 4조각 난 사과 2개를 만들었어요. 수업이 끝나고 집에 가려는데 8조각의 사과를 들고갈 방법이 없었어요. 작품을 넣어갈 가방이나 봉지가 없었거든요. 그때 수학선생님께서 4조각의 사과로 장구 모양을, 나머지 4조각으로 병풍 모양을 만드셨어요. 그리고 장구와 병풍을 합쳐 정육면체를 만드셨죠. 정말 신기했어요. 덕분에 전 작품을 안전하게 가지고 갈 수 있었어요.

수학동아