난제의 비밀을 찾아서 수의 세계는 넓고 난제는 많다

소수와 관련된 난제를 풀 수 있다면 수의 비밀을 완전히 알아 냈다고 할 수 있을까? 아쉽지만 소수를 빼고도 수의 세계는 넓고 그만큼 밝혀지지 않은 성질은 많다. 수와 관련된 난제는 전문 수학자가 아닌 일반인도 충분히 이해할 수 있는 문제가 많다. 어떤 문제는 아주 당연해 보여서 수학자가 왜 이런 것도 증명을 못하는지 궁금하기도 할 정도다. 하지만 문제를 이해하는 것과 증명하는 것은 완전히 다른 일이다. 소수에 관련된 난제에서 봤듯이 단순한 문제에 수많은 수학자가 쩔쩔맸던 이유다.

일정한 수 범위에서 어떤 특성을 알아 내는 것은 어렵지 않다. 하지만 수는 무한히 뻗어 나가는 성질이 있다. 그래서 그 특성이 모든 수에 적용되는지는 알아 내기는 매우 어렵다. 이것은 끝없이 넓은 수의 세계를 탐험하는 수학자가 마주쳐야만 하는 숙명일지도 모른다.


완전수_완전한 수의 비밀

완전수는 자기 자신을 뺀 양의 약수를 더했을 때 자기 자신이 되는 양의 정수를 말한다. 예를들어, 6을 제외한 양의 약수 1, 2, 3을 더하면 6이 되므로 6은 완전수다. 고대 그리스의 수학자인 유클리드는 메르센 소수 하나에 완전수 하나가 대응된다는 사실을 알아 냈다. 메르센소수가 무한한지는 아직 밝혀지지 않았기 때문에 완전수가 무한한지도 아직 알 수 없다. 홀수인 완전수가 있는지 없는지 또한 아직 해결되지 않은 문제다.
 

소수를 연구했던 유클리드

택시수_Taxicab(5, 2, n)을 찾아라

마방진_마법의 사각형은 몇 개나 있을까?

마방진은 가로, 세로 각각 n개의 칸으로 이뤄진 정사각형으로 가로, 세로, 대각선 어느 줄의 합을 구해도 모두 같은 배열을 말한다. 마방진은 아주 오래 전부터 다양한 종류가 있었다. 하지만 가로와 세로가 5칸이 넘는 마방진의 개수가 몇 개 있는지는 수수께끼다. 과연 마방진도 무한히 만들 수 있을까?


마방진을 만들어 보자!
 

마방진을 만들어 보자!^한 변에 3, 5, 7, …개의 칸이 있는 홀수차 마방진은 방법만 익히면 아무리 칸 수가 많아도 쉽게 만들 수 있다. 먼저 3×3 마방진을 만들어 보자.

★홀수차 마방진 만드는 규칙!

1. 윗줄 가운데 칸에 1을 쓴다.
2. 오른쪽 위 대각선 방향으로 움직이며 차례로 숫자를 쓴다.
3. 칸을 벗어났을 때는 반대쪽으로 이동해 쓴다.
4. 이동할 칸에 먼저 숫자가 있을 때는 아래 칸으로 이동해 쓴다.
5. 모서리에 막혔을 때는 아래 칸으로 이동해 쓴다.

★규칙에 따라 5×5, 7×7, … 마방진도 만들어 보자!

수학동아