시어핀스키 삼각형 시어핀스키 카펫(Sierpinski carpet)

'시어핀스키 삼각형'은 1917년경 폴란드의 수학자인 와크로 시어핀스키가 고안한 것으로 코흐 곡선과 함께 가장 대표적인 프랙탈 곡선 중의 하나이다. 이 삼각형은 '시어핀스키 개스킷'이라고도 하는데, 그리는 방법은 다음과 같다. 시어핀스키 삼각형을 그리는 방법 1. 먼저 삼각형을 그린다. (이 정삼각형의 한 변의 길이가 1이라고 한다.) 2. 처음의 삼각형에서 각 변의 중점을 연결한 삼각형을 그린다. (작은 삼각형이 4개 만들어진다.) 3. 2의 4개의 삼각형 중에서 가운데 삼각형을 떼어 내고, 다른 세 개의 삼각형에서 각 변의 중점을 연결한 삼각형을 그린다. 4. 3의 과정을 계속 반복한다. <시어핀스키 삼각형> 위의 그림을 잘 살펴보면 각 단계별로 삼각형의 수는1개 → 3개 → 9개 → 27개 → 81개, …로 늘어나고, 삼각형의 한 변의 길이는 처음 삼각형의 변의 길이와 비교했을 때, 1 → → → →, …로 줄어든다. 또 위의 과정을 반복하면 할수록 처음 삼각형에서 남는 부분의 넓이(색칠된 부분)는 점점 0에 가까워진다는 사실을 할 수 있다. 이런 과정을 무한히 되풀이하여 만들어진 결과를 시어핀스키 삼각형이라고 한다. 시어핀스키 삼각형은 언뜻 보면 2차원 같지만 시어핀스키 삼각형을 만드는 과정을 무한히 되풀이하면 평면상에 점들의 집합으로 나타난다. 즉 시어핀스키 삼각형은 2차원이 아니다. 실제로 시어핀스키 삼각형에서 선분의 길이의 합은 무한히 늘어나지만, 삼각형의 넓이는 무한히 계속하면 0에 가까워진다. 따라서 시어핀스키 삼각형의 차원은 1차원보다는 크고, 2차원보다는 작다. 실제로 시어핀스키 삼각형의 차원을 프랙탈 차원으로 계산하면 1.58이 된다고 한다.

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시어핀스키 카펫(Sierpinski carpet)

시어핀스키 삼각형을 만드는 방법과 똑 같은 방법을 사각형에도 적용할 수 있는데, 이것을 '시어핀스키 카펫'이라고 한다. 시어핀스키 카펫은 사각형의 한 변을 삼등분하여 9개의 정사각형을 만들고, 그 중 가운데에 있는 사각형을 떼어 낸 후, 나머지 정사각형을 다시 삼등분하여 똑같은 과정을 계속 되풀이하여 만든다. 이 시어핀스키 카펫 역시 선분의 길이의 합은 무한히 늘어나지만, 사각형의 넓이는 무한히 계속하면 0에 가까워진다. 따라서 시어핀스키 카펫의 차원도 1차원보다는 크고, 2차원보다는 작은데, 실제로 시어핀스키 카펫의 차원을 프랙탈 차원으로 계산하면 1.8928라고 한다. <시어핀스키 카펫>

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