정육면체의 180˚ 변신 장미 큐브 만들기

 

아밀리 : 우와~, 정말 예쁘다! 5월이 장미의 계절인 이유를 이제 알겠어요. 그런데 선배, 그거 알아요? 정육면체를 장미로 변신시킬 수 있다는 것!
폴 : 정말? 정육면체와 장미의 조합이라 상상이 안 가는데…. 나 그 방법 좀 알려 줘~!
앤드류 : 그럼 난 장미와 관련된 수학을 알아볼게.

매혹적인 곡선, 장미

꽃의 여왕, 장미의 계절이 돌아왔다. 장미는 매혹적인 붉은 빛깔과 향기로 3000년이 넘는 세월 동안 사람들의 눈과 코를 즐겁게 하고 있다. 세기의 미녀 클레오파트라도 장미향에 매료되어 장미 목욕을 하고 장미 향수를 쓴 것으로 유명하다. 우리나라에서도 삼국시대부터 장미를 가꾸며 아름다운 여인을 장미에 비유하기도 했다. 이처럼 오랫동안 많은 사람들에게 사랑받아온 장미는 수학에서도 아름다움의 대명사로 불리고 있다.

수학에서 장미는 꽃잎 모양의 곡선을 일컫는다. 18세기 이탈리아의 수학자 귀도 그란디는 곡선과 관련해 다양한 연구를 하던 중, r(θ)=asin(nθ) 또는 r(θ)=acos(nθ)를 그래프로 나타내면 꽃잎 모양의 곡선이 그려진다는 것을 알아냈다. 그는 아름다운 곡선을 그려내는 이 방정식을 장미의 이름을 따서 '장미 방정식'이라고 정의하고, 그 곡선을 '장미'라고 불렀다.

장미 방정식은 몇 가지 특징을 가지고 있다. 먼저 n이 홀수면 n개의 꽃잎이, 짝수면 2n개의 꽃잎이 그려진다. 결국 4n+2개의 꽃잎을 가진 장미는 그릴 수 없다. n이 정수가 아닐 때에는 여러 개의 꽃잎이 겹쳐서 나타나고, a의 값에 따라 꽃잎의 길이가 길어지거나 짧아진다.

수학에서 장미는 한 점을 기준으로 생긴 원의 합을 뜻하기도 한다. 각각의 꽃잎은 한군데서 모두 만나는데, 이곳을 점으로 하고 꽃잎을 원으로 가정한 것이다. 여기서 원은 위상공간에서 정의한 것이기 때문에, 우리가 알고 있는 유클리드 공간에서 정의된 것과는 생김새가 다르다. 장미에 관한 이 정의는 방정식을 연구하는 대수학과, 추상공간에서 도형의 성질을 연구하는 위상수학에서 중요한 역할을 하고 있다.

한편 야생 장미의 잎차례는 피보나치 수를 따른다. 식물의 90%는 나선형 잎차례인데, 야생 장미는 줄기를 3바퀴 도는 동안 잎이 8장 생기는 3/8나선형 잎차례다. 이때 3과 8은 0과 1로 시작하여 앞의 두 수를 더한 값이 다음 수가 되는 피보나치 수다.

수학동아