각진 친구들의 모임 다각형

‘다각형’맛 통조림이 나왔어요! 네모, 세모, 다이아몬드, 사다리까지 다양한 맛이 들어 있어 골라 먹는 재미가 있습니다. 달콤새콤한 ‘각’맛 소스와 함께 먹으면 더욱 맛있답니다. 그럼 다각형 맛 통조림을 열어 볼까요?

초등학교 2학년 과정에서 평면도형을 처음 배웁니다. 3, 4학년 때는 각과 여러 가지 삼각형에 대해 학습합니다. 중학교 1학년이 되면 삼각형의 합동조건과 도형을 작도하는 방법, 평면도형의 성질에 대해 배웁니다. 2학년 과정은 1학년 과정의 심화학습으로 삼각형과 사각형의 성질, 도형의 닮음에 대해 공부합니다. 3학년 때는 직각삼각형의 대각선의 길이를 구할 수 있는 피타고라스의 정리를 배웁니다. 고등학교 과정에서는 좌표에 옮겨진 도형을 학습합니다.

어떤 평면도형을 가장 먼저 만나야 하니?

기하학은 도형의 길이나 넓이, 각도 등을 측정하거나 그 성질을 연구하는 학문입니다. 한자어로 幾何(기하)는 명나라의 서광계가 만든 단어로 중국의 옛 수학 책에서 “얼마인가?”를 뜻합니다.

주위를 한번 둘러보세요. 선과 면으로 둘러싸여 있는 것을 알 수 있을 겁니다. 선이 그려진 벽지와 도로, 직사각형 면을 가진 건물이 보이지요? 초·중·고등학교 수학교육과정 기하 영역에서는 이와 같은 도형과 공간의 구조에 대해 공부합니다. 이를 공부하면 여러 가지 현상이나 문제를 해석하고 풀 수 있는 능력이 길러집니다. 즉 수학적 사고력을 키우는 데 도움이 됩니다.

그러면 지금부터 기하 영역 중 평면도형에 대한 탐험을 시작해 보겠습니다. 평면도형을 학교에서 어떻게 만나게 되는지, 왜 만나는지, 이러한 평면도형이 어디에 활용되는지 그 시작은 어디인지를 알아봐요.

만남1_모양 말하기와 이름 짓기
 

초등학교 수학 교과서 2-가 34쪽

초등학교 2학년이 되면 아는 내용을 바탕으로 수학적 특징을 찾는 활동을 합니다. 그리고 네모, 세모, 다이아몬드, 사다리 모양이라고 알았던 대상에 수학 이름을 붙입니다.

예를 들면 자신이 알고 있는 네모난 모양을 떠올리며 놀이터에서 네모 모양을 찾습니다. 그리고 공통점을 찾습니다. 결국 4개의 선으로 둘러싸인 도형이 네모 모양이라는 것을 알게 됩니다. 학생들은 선생님의 도움을 받아 발견한 수학적 특징을 만족하는 도형을 사각형이라고 이름 붙입니다.

이로써 수학으로 세상을 바라보는 방법을 하나 배운겁니다.

만남2_직각이 있는 평면도형 알기
 

초등학교 수학교과서 3-가 36쪽

초등학교 3학년 과정에서는 모양과 이름만을 알고 있던 평면도형을 각을 이용해 특징을 찾고 직각삼각형과 직사각형, 정사각형으로 구분하고 분류합니다.

학생들은 생활 곳곳에서 모난 부분을 찾습니다. 그리고 그것이 각임을 배웁니다. 각의 구성 요소와 각을 읽는 방법, 각의 종류에 대해서 배웁니다.

색종이를 접어 여러 가지 다각형을 만들어 보면서 삼각형과 직각삼각형의 차이, 사각형과 직사각형의 차이를 알게 됩니다. 단순히 도형의 모양에 대해서만 알고 있었던 학생들이 직각이라는 특징을 이용해 모양을 분류하기 시작한 것입니다.

만남3_평면도형의 작도
 

중학교 1학년 비유와 상징 205쪽

중학교 1학년이 되면 눈금 없는 자와 컴퍼스만을 사용해 도형을 그리는 작도를 만납니다. 평행선과 수직이 등분선, 주어진 각과 같은 크기의 각, 삼각형을 작도하는 방법을 배웁니다.

작도를 이용하면 도형의 성질을 더 쉽게 이해할 수 있습니다. 특히 작도의 조건이 같은 도형은 서로 합동이라는 것을 알게 됩니다. 이로부터 삼각형의 합동도 공부할 수 있습니다.

철학자 플라톤은 직선으로 둘러싸인 평면도형은 모두 삼각형으로 나눌 수 있기 때문에 삼각형을 가장 기본이 되는 평면도형이라고 했습니다. 작도를 직접 해 보면 이 말이 이해가 됩니다.

만남4_평면도형의 성질과 기호 사용
 

중학교 2학년 지학사 197쪽

중학교 2학년이 되면 삼각형과 사각형이라는 수학 용어의 정의를 정확하게 이해하고 사용해야 합니다. 도형의 성질에 대한 증명을 이해해야 하기 때문입니다. 두 대각선의 길이가 같다는 직사각형의 성질을 수학적으로 확인하기 위해서는 두 대각선이 만드는 두 직각삼각형이 합동임을 보여야 하고, 중학교 과정에서는 이런 증명을 이해하는 것을 학습목표로 삼습니다. 따라서 초등학교에서 배운 수학 용어의 정의를 이용해 조건을 하나하나 따져가며 살펴봐야 증명을 이해할 수 있습니다.

증명을 이해하는 과정은 각 도형 간의 포함관계를 이해하는 데 도움이 됩니다. 직사각형과 마름모의 모두 마주 보는 변이 평행하다는 사실을 증명함으로써 직사각형과 마름모가 평행사변형임을 알게 됩니다. 즉 직사각형과 마름모가 평행사변형에 포함되는 것도 알게 됩니다. 이런 도형 간의 관계 파악은 도형의 성질을 공부하는 데 있어 기본입니다.

증명을 간단하고 명확하게 표현하기 위해서 지금까지 말로만 나타냈던 도형의 성질을 기호를 이용해 간편하게 사용합니다. 대부분의 학생이 기호를 낯설고 어렵게 느끼는데, 많은 연습을 통해 기호 사용에 익숙해져야 합니다.

기호는 수학의 언어로 더 쉽고 정확하게 수학적인 내용을 전달할 수 있습니다. 특히 더욱 발전한 수학으로 나아가기 위해서는 기호를 꼭 써야 합니다.

왜 평면도형을 알아야 하는 거지?

우리 주변의 모든 대상에는 위치, 모양, 크기, 빛깔, 무게 등이 있습니다. 그러나 기하학에서는 그 대상의 위치와 모양, 크기만을 생각합니다. 기하학의 대상은 도형으로 종이나 공책, 칠판과 같은 평면 위에 있는 도형을 평면도형, 공간에 있는 도형을 공간도형이라고 합니다.

평면도형으로서의 면은 입체의 경계로 위치, 모양, 넓이는 있지만 두께는 없습니다. 선은 면의 경계로, 즉 두 면의 공통부분입니다. 위치, 모양, 길이는 있지만 폭과 크기는 없습니다. 점은 선의 끝을 나타내는 도형으로 위치만 있고 크기는 없습니다. 평면도형에 관한 복잡한 개념은 초등학교 때부터 차근차근 만나게 됩니다. 그렇다면 이렇게 어렵고 복잡한 평면도형의 개념을 우리가 알아야 하는 이유는 무엇일까요?

이유1_문제 해결력이 쑥쑥!
 

직사각형 책상과 칠판, 평행사변형 창문 등 교실 곳곳에는 다각형이 숨어 있다.

학생들은 교실에 있는 물체의 형태와 구조를 보며 세모, 네모와 닮은 것을 찾습니다. 그리고 학습을 통해 수학에선 이것을 삼각형, 사각형이라고 부르는 것을 알게 됩니다. 도형의 성질을 배우고 나면 자신이 처음 보는 평면도형도 자신이 아는 성질로 해석합니다. 즉 주변 사물을 수학적으로 해석합니다.

예를 들면, 천장, 창문, 도로 등을 도형과 관련지어 구체적으로 어떤 성질이 있는지 왜 그런 모양으로 만들었는지 알게됩니다. 이처럼 주변의 대상을 보고 수학적으로 생각하고 대상 간의 공통점과 차이점을 찾는행동은 사고력 발달에 중요한 역할을 합니다.

특히 이러한 과정은 도형의 관계를 파악하고 증명과 관련된 수학적 아이디어를 떠 올리는 데 도움이 됩니다. 평면도형을 이해하고 더 나아가 기하를 이해하는 것은 수학의 다른 영역뿐만 아니라 주변의 대상에 대한 문제를 해결하는 데도 중요한 역할을 합니다.

이유2_창의력이 쑥쑥!
 

다각형은 예술 작품에서도 쉽게 찾아 볼 수 있다. 테트리스 게임을 모티브로 한 양주혜씨의 색 타일이다.

실생활이나 예술 작품에는 대부분 기하학이 이용됩니다. 예를 들면 벽지에는 합동인 도형이 일정한 간격으로 나타나고 건축물에는 평면도형, 입체도형, 각, 수선 등의 기하학적 대상이 곳곳에 나타나 있습니다. 예술가는 자신의 작품세계를 선, 비율, 다양한 각도와 형태로 표현
합니다.

예술작품과 실생활 속 대상을 보며 학생들은 실용성과 아름다움을 위해 이러한 형태로 각과 선을 표현했음을 알게 됩니다. 그 과정에서 수학적 사고와 계산도 하게 됩니다.

다시 말해 기하학적인 대상을 보고 아이디어를 얻어 수학적이고 창의적인 생각을 하게 됩니다. 따라서 도형에 대한 학습은 학생들의 미래와 현재를 설계하고 분석하기 위해 꼭 필요합니다. 실제로 미술이나 건축을 공부하는 데 도형의 형태나 성질은 꼭 알아야 할 필수요소입니다.

교과서에 숨은 의미와 그림자 찾기!

교과서를 한번 떠올려 보세요. 교과서 내용을 읽고 제시된 문제를 해결하는 것으로 공부를 끝내나요? 한 번쯤 교과서의 내용을 꼼꼼히 읽어 보면서 교과서에 들어있는 더 깊은 내용을 찾아보세요. 그럼 여러분의 사고력이 쑥쑥 자라날 거예요!

초등학교 수학 익힘책 2-가 33쪽
 

초등학교 수학 익힘책 2-가 33쪽

교과서에 제시된 장면은 놀이터입니다. 삼각형과 사각형을 찾아보세요. 그리고 친구들과 함께 삼각형으로 보이는 곳이 어디인지 서로 이야기 나눠 보세요. 이러한 활동은 우리가 삼각형, 사각형이라고 하는 평면도형의 모양을 인식하는 활동과 함께 각 도형의 특징을생각해 보는 수학적 사고의 기본입니다. 여러분도 다른 도형과 삼각형의 다른 점이 무엇인지를 생각해 보세요. 그리고 우리가 사는 세계를 도형으로 말해 보세요.

초등학교 수학 교과서 3-가 42쪽
 

초등학교 수학 교과서 3-가 42쪽

도형의 특징에 대해 분석하는 활동입니다. 사각형이 다른 도형의 모양과 어떻게 다른지 비교하면서 도형의 특징을 알수 있습니다.

사각형은 어떤 특징이 있습니까? 사각형에는 어떠한 종류의 도형이 있습니까? 정사각형과 직사각형의 차이는 무엇인가요? 각 도형의 특징을 정리하는 것에서 끝내지 말고 각 도형 사이의 같은 점과 차이점을 생각하며 공부해 보세요! 이러한 활동이 여러분의 사고를 한층 더 발전 시킵니다.

중학교 2학년 지학사 191쪽
 

중학교 2학년 지학사 191쪽

중학교 2학년이 되면 도형의 정의를 정확히 알고 도형의 성질을 논리적인 방법으로 설명할 수 있어야 합니다. 또 여러 도형 사이의 관계와 도형의 여러 가지 성질도 알고 있어야 합니다.

오른쪽 교과서는 평행사변형이 되는 조건에 관한 내용입니다. 초등학교에서 학습했던 도형의 성질과 관련이 있지요. 다시 말해 어떤 조건을 만족시켜야 평행사변형이 되는지를 알려 줍니다. 평행사변형뿐만 아니라 정사각형이나 마름모 등에서도 똑같이 생각할 수 있습니다.

여기서 중요한 것은 말로만 표현하는 것이 아니라 기호를 사용해 각 조건이나 특징을 나타낼 수 있어야 한다는 것입니다. 중학교 과정부터는 수학적인 내용을 간단히 기호로 나타냅니다. 교과서에서 제시된 “두 쌍의 대변의 길이가 각각 같은 사각형은 평행사변형이다”라는 명제를 기호로 나타내 보고 가정과 결론을 구분해 보세요.

기호 사용이 어렵더라도 익숙해질 때까지 연습을 많이 해야 합니다. 수학에서 기호 사용은 증명을 이해하고 더 나아가 직접 증명을 할 수 있는 밑거름이 되기 때문입니다.

역사, 그리고 실생활 속의 도형

기하학을 뜻하는 그리스어 γεωμετρiα는 ‘땅’(γεω)과 ‘측량’(μετρiα)을 뜻하는 단어가 합쳐진 것으로 기하학의 출발이 토지 측량이었음을 보여줍니다. 실제로 기하학을 뜻하는 영어단어 geometry는 ‘땅의 측정’을 의미합니다. 이처럼 학문으로서의 존재도 처음에는 우리의 생활 속에서, 우리의 필요에 의해서 탄생했습니다. 우리가 사는 곳의 높은 빌딩, 아름다운 조형물, 이 모든 것이 철저한 학문적 기틀 위에 서 있는 것입니다. 이러한 기하학의 뿌리는 무엇일까요?

이집트와 바빌로니아 수학

바빌로니아 사람들은 거대한 구조물을 건설하는 데 어려움을 겪었습니다. 복잡한 수식을 이용해 정확하게 계산한 값을 이용해야 했기 때문입니다. 이들은 수학이 필요했고, 결국 열심히 연구해 티그리스 강과 유프라테스 강의 배수 설비와 홍수를 막는 설비를 만들었습니다. 덕분에 강 유역을 기름진 농경지대로 만들 수 있었습니다.

수학의 필요성은 문명의 발생지인 고대 남부-중앙아시아의 인더스 강과 갠지스강 유역에서도, 동아시아의 황하강과 양쯔강 유역에서도 나타났습니다. 문명이 생기려면 공학, 재정, 관리 등의 상당한 수학적 지식과 수의 발달이 필요했던 것입니다. 그러나 현재 우리가 아는 고대 수학은 대부분 이집트와 바빌로니아의 수학입니다. 고대 이집트 사람들은 연구 결과를 돌이나 파피루스 위에 기록했는데, 이집트의 매우 건조한 기후 때문에 보전이 쉬웠기 때문입니다. 바빌로니아 인도 점토판에 기록한 뒤 불로 구워서 오랫동안 기록을 보전했습니다.

그리스 수학
 

피타고라스가 사람들에게 수학을 가르치고 있는 모습을 묘사한 그림.

고대 그리스 수학은 에무데무스 요약을 통해 알 수 있습니다. 에무데무스는 아리스토텔레스의 제자로 플로클로스의 유클리드 주석서 제1권에 그 당시의 수학에 대해 적어 놓았습니다.

그리스 수학의 시작은 기원전 6세기에 활동한 수학자 탈레스가 활약하던 때부터입니다. 에무데무스 요약에 따르면 탈레스는 다음과 같은 기하학 정리를 증명했습니다.

➊ 원은 임의의 지름으로 이등분된다.
➋ 이등변삼각형의 두 밑각은 서로 같다.
➌ 교차하는 두 직선에 의해 형성된 두 맞꼭지각은 서로 같다.
➍ 두 삼각형에서 대응하는 두 각이 서로 같고 대응하는 한 변이 서로 같으면 두 삼각형은 합동이다.
➎ 반원에 내접하는 각은 직각이다.

수학의 역사에서 어떤 발견을 해 낸 것으로 이름이 알려진 수학자는 탈레스가 처음입니다. 지금도 많은 사람들은 탈레스를 최초의 수학자라고 부릅니다.

피타고라스도 그리스 수학에서 빼놓을 수 없는 사람입니다. 피타고라스는 기원전 572년경에 태어났으며 탈레스와 비슷한 시기에 활동했습니다. 그는 피타고라스 정리라고 불리는 직각삼각형의 세 변의 관계를 나타내는 정리를 발견했습니다. 또 피타고라스학파를 만들어 철학, 수학, 자연과학 등을 연구했습니다. 그들은 평행선의 성질을 연구했고 그것을 이용해 임의의 삼각형은 세 내각의 합이 180°라는 사실을 증명했습니다. 또한 무리수라는 개념이 없었던 당시에 정사각형의 한 변의 길이가 자연수일 때 대각선의 길이를 정확히 표현할 방법이 없다는 사실을 알아 냈습니다. 이 외에도 수학에 많은 업적을 남겼습니다.

수학동아