나는 3.5차원에 산다
평면나라에는
점, 선분, 세모, 네모, 오각형 등 많은 사람들이 어울려 살아가고 있다. 이들 중 점은 조금 모자란 편이라 면을 인식하지 못한다. 그래서
세모나 네모, 오각형 모두를 통틀어 점들의 무리로 생각한다(1차원의 눈으로 바라본 2차원). 점은 종종 길을 가다 세모나 네모에 부딪쳐 상처를
입기도 한다.
어느 날 점돌이가 길을 가다 놀라운 광경을 목격했다. 어떤 점 하나가 갑자기 사라지더니 그 근방에 꼬마동그라미가 나타났다가 순간 어른동그라미로 변했다. 곧이어 할아버지동그라미로 변신했다가 다시 어른동그라미로, 꼬마동그라미로 연이어 변하더니 점이 되는 게 아닌가. 너무 놀라 눈을 비벼 다시 보았더니 그 점은 온데간데 없이 사라져버렸다. 점돌이는 마을사람들에게 그날 겪은 일을 알렸다 “우리 평면세상에 놀라운 일이 벌어지고 있어요. UFO를 봤어요. 외계인이 나타났단 말이에요”.
마을사람들은 점돌이의 말을 무시하고 “쯧쯧, 좀 모자라더니 정신이 이상해졌군” 하며 수군댔다. 아무도 점돌이의 말을 믿어주지 않자 점돌이는 늘 손자처럼 돌봐주는 동그라미 할아버지를 찾아가 자기의 말을 믿어달라며 내일 그곳에 같이 가자고 부탁했다. 다음날 동그라미 할아버지는 점돌이가 목격했던 장면을 목격했고, 다른 마을에서도 같은 경험을 했다는 세모, 네모들이 나타나기 시작했다. 심지어 3차원의 세계를 다녀왔다는 사람들이 나타났다. 그곳에서 어떤 힘엔가 끌려 다니다 다시 돌아왔다는 것이었다.
세모들은 “드디어 우리를 만드신 신이 재림하시는 것이니 만반의 준비를 해야한다”고 주장했다. 평면나라 사람들은 세상의 종말이 온 것이라며 술렁였다. 세기말적 종말론에 대한 대안을 제시하기 위해 과학자들이 연구를 시작했다. 1차원에서 2차원을 보는 방법과 같은 방법으로 3차원을 알아내려는 시도를 시작한 것이다. 우리가 4차원의 세계를 궁금해하는 것처럼 말이다. 드디어 3차원이란 세계를 조금씩 알아내게 됐고 3차원을 파악하기 위해 이제까지는 상상도 하지 못했던 ‘높이’라는 새로운 개념이 필요하다는 사실을 알게 됐다.
여전히 많은 것들을 알아내진 못했지만 2차원의 평면나라에서 일어나는 신비한 일들이 3차원의 세상에서는 자연스러운 것이라는 것도 알게 됐다. 점돌이가 봤다는 것도 실은 ‘구’가 평면나라를 지나가며 벌어진 일이었던 것이다.
어느 날 점돌이가 길을 가다 놀라운 광경을 목격했다. 어떤 점 하나가 갑자기 사라지더니 그 근방에 꼬마동그라미가 나타났다가 순간 어른동그라미로 변했다. 곧이어 할아버지동그라미로 변신했다가 다시 어른동그라미로, 꼬마동그라미로 연이어 변하더니 점이 되는 게 아닌가. 너무 놀라 눈을 비벼 다시 보았더니 그 점은 온데간데 없이 사라져버렸다. 점돌이는 마을사람들에게 그날 겪은 일을 알렸다 “우리 평면세상에 놀라운 일이 벌어지고 있어요. UFO를 봤어요. 외계인이 나타났단 말이에요”.
마을사람들은 점돌이의 말을 무시하고 “쯧쯧, 좀 모자라더니 정신이 이상해졌군” 하며 수군댔다. 아무도 점돌이의 말을 믿어주지 않자 점돌이는 늘 손자처럼 돌봐주는 동그라미 할아버지를 찾아가 자기의 말을 믿어달라며 내일 그곳에 같이 가자고 부탁했다. 다음날 동그라미 할아버지는 점돌이가 목격했던 장면을 목격했고, 다른 마을에서도 같은 경험을 했다는 세모, 네모들이 나타나기 시작했다. 심지어 3차원의 세계를 다녀왔다는 사람들이 나타났다. 그곳에서 어떤 힘엔가 끌려 다니다 다시 돌아왔다는 것이었다.
세모들은 “드디어 우리를 만드신 신이 재림하시는 것이니 만반의 준비를 해야한다”고 주장했다. 평면나라 사람들은 세상의 종말이 온 것이라며 술렁였다. 세기말적 종말론에 대한 대안을 제시하기 위해 과학자들이 연구를 시작했다. 1차원에서 2차원을 보는 방법과 같은 방법으로 3차원을 알아내려는 시도를 시작한 것이다. 우리가 4차원의 세계를 궁금해하는 것처럼 말이다. 드디어 3차원이란 세계를 조금씩 알아내게 됐고 3차원을 파악하기 위해 이제까지는 상상도 하지 못했던 ‘높이’라는 새로운 개념이 필요하다는 사실을 알게 됐다.
여전히 많은 것들을 알아내진 못했지만 2차원의 평면나라에서 일어나는 신비한 일들이 3차원의 세상에서는 자연스러운 것이라는 것도 알게 됐다. 점돌이가 봤다는 것도 실은 ‘구’가 평면나라를 지나가며 벌어진 일이었던 것이다.
울고
있는 여인^피카소(Pablo Picasso, 1881~1973)의 1937년 작품.
도전 4차원
X파일이나 컬트영화 등에서는 우리의 과학으로 설명불가능한 불가사의들을 얘기한다. 인간들은 끊임없이 4차원의 세계에 대해 의구심을 갖고 신비주의적 관점으로 바라본다. 인간의 상상력을 동원해 만들어낼 수 있는 것들 이상의 일들이 벌어지는 곳. 4차원의 세계는 어떤 곳일까. 우리는 4차원의 세계로 갈 수 있을까.
이런 궁금증들은 어쩌면 평면나라 사람들이 겪었던 일과 같을지도 모른다. 4차원의 일부로 4차원 공간 안에 존재해 있지만 단지 우리가 ‘4차원의 눈’으로 우리 자신을 인식하지 못하고 4차원 전체를 간파하지 못하는 것이다. 평면에는 무수히 많은 선들을 그을 수 있고 직선에는 무수히 많은 점들을 찍어낼 수 있는 것처럼 4차원의 세계가 존재한다면 우리가 살고 있는 공간은 무수히 많은 3차원의 세계 중 하나일 뿐이다.
0차원은 점, 1차원은 직선, 2차원은 평면을, 3차원은 입체를 나타낸다. 우리가 살고 있는 공간은 3차원에 해당한다. 흔히들 이 ‘공간’에 ‘시간’의 차원을 더해 4차원의 세상을 얘기하곤 한다.
3차원과 4차원과의 관계는 2차원과 3차원의 관계와 같을 것이다. 2차원에 높이의 개념을 추가해 3차원을 얻듯이 3차원에 제4의 개념을 추가해서 4차원을 얻을 수 있다. 3차원의 세계에 비선형의 다른 축 하나가 있으면 4차원의 표현이 가능하다. 분명 네번째 차원은 무한의 개념을 갖고 있어야 한다. 시간을 이 네번째 차원이라고 말하기엔 역부족이다. ‘높이’와 같이 획기적인 개념에 대한 가능성은 무궁무진하다.
20세기초 상대론과 양자론이 대두되고 4차원 시공체의 개념이 일대 인식의 전환을 가져온 것과 맞물려 4차원을 그려내려는 시도가 예술에 영향을 끼쳤다. 피카소를 대두로 하는 입체파의 작품들은 과학의 발전이 가져온 반향을 실감케 한다. 입체파는 두개의 전제에 근거를 두었다. 하나는 자연적 형태를 기하학적으로 단순화시키거나 세련되게 할 수 있다는 것이고 두번째 전제는 4차원 시공체가 어떤 형태로든지 회화에서 인정돼야 하며 대상의 모든 면을 동시에 볼 수 있게 해야한다는 것이었다.
입체파의 사물을 동시에 다양한 각도에서 보여주려는 시도는 ‘4차원 시공체’라는 새로운 개념에 대한 관심에서 나왔다. 사물을 분석, 분해해서 그 각 단면을 재구성하는 작업을 했는데 자연의 여러 형태를 기본적인 기하학적 형상(원추, 원통, 구 등)으로 환원, 사물의 존재성을 2차원으로 재구성하고자 했다. 사물을 그대로 모사하는 것이 아니라 동작의 연속적인 포착을 통해 물체를 표현하려 했다. 즉 순간의 2차원 단면을 그려내 하나의 시공체를 나타내고자 했다. 이들의 그림에는 속도감과 역동적인 움직임, 그리고 흐르는 ‘시간’이 담겨있다.
4차원 다양체를 2차원에 그려내려는 시도들은 1970년대부터 본격적으로 시작됐고 컴퓨터 에니메이션의 발달을 가져오기도 했다.
X파일이나 컬트영화 등에서는 우리의 과학으로 설명불가능한 불가사의들을 얘기한다. 인간들은 끊임없이 4차원의 세계에 대해 의구심을 갖고 신비주의적 관점으로 바라본다. 인간의 상상력을 동원해 만들어낼 수 있는 것들 이상의 일들이 벌어지는 곳. 4차원의 세계는 어떤 곳일까. 우리는 4차원의 세계로 갈 수 있을까.
이런 궁금증들은 어쩌면 평면나라 사람들이 겪었던 일과 같을지도 모른다. 4차원의 일부로 4차원 공간 안에 존재해 있지만 단지 우리가 ‘4차원의 눈’으로 우리 자신을 인식하지 못하고 4차원 전체를 간파하지 못하는 것이다. 평면에는 무수히 많은 선들을 그을 수 있고 직선에는 무수히 많은 점들을 찍어낼 수 있는 것처럼 4차원의 세계가 존재한다면 우리가 살고 있는 공간은 무수히 많은 3차원의 세계 중 하나일 뿐이다.
0차원은 점, 1차원은 직선, 2차원은 평면을, 3차원은 입체를 나타낸다. 우리가 살고 있는 공간은 3차원에 해당한다. 흔히들 이 ‘공간’에 ‘시간’의 차원을 더해 4차원의 세상을 얘기하곤 한다.
3차원과 4차원과의 관계는 2차원과 3차원의 관계와 같을 것이다. 2차원에 높이의 개념을 추가해 3차원을 얻듯이 3차원에 제4의 개념을 추가해서 4차원을 얻을 수 있다. 3차원의 세계에 비선형의 다른 축 하나가 있으면 4차원의 표현이 가능하다. 분명 네번째 차원은 무한의 개념을 갖고 있어야 한다. 시간을 이 네번째 차원이라고 말하기엔 역부족이다. ‘높이’와 같이 획기적인 개념에 대한 가능성은 무궁무진하다.
20세기초 상대론과 양자론이 대두되고 4차원 시공체의 개념이 일대 인식의 전환을 가져온 것과 맞물려 4차원을 그려내려는 시도가 예술에 영향을 끼쳤다. 피카소를 대두로 하는 입체파의 작품들은 과학의 발전이 가져온 반향을 실감케 한다. 입체파는 두개의 전제에 근거를 두었다. 하나는 자연적 형태를 기하학적으로 단순화시키거나 세련되게 할 수 있다는 것이고 두번째 전제는 4차원 시공체가 어떤 형태로든지 회화에서 인정돼야 하며 대상의 모든 면을 동시에 볼 수 있게 해야한다는 것이었다.
입체파의 사물을 동시에 다양한 각도에서 보여주려는 시도는 ‘4차원 시공체’라는 새로운 개념에 대한 관심에서 나왔다. 사물을 분석, 분해해서 그 각 단면을 재구성하는 작업을 했는데 자연의 여러 형태를 기본적인 기하학적 형상(원추, 원통, 구 등)으로 환원, 사물의 존재성을 2차원으로 재구성하고자 했다. 사물을 그대로 모사하는 것이 아니라 동작의 연속적인 포착을 통해 물체를 표현하려 했다. 즉 순간의 2차원 단면을 그려내 하나의 시공체를 나타내고자 했다. 이들의 그림에는 속도감과 역동적인 움직임, 그리고 흐르는 ‘시간’이 담겨있다.
4차원 다양체를 2차원에 그려내려는 시도들은 1970년대부터 본격적으로 시작됐고 컴퓨터 에니메이션의 발달을 가져오기도 했다.
3차원체가
평면을 통과하는 모습들
초공간 이야기
우주가 10차원이라는 설이 과학자들에게 널리 받아들여지고 있다. 미치오 가쿠의 초공간이론에 따르면 빅뱅 이전의 우주는 10차원이었고 이후 우주가 4차원과 6차원의 세계로 나뉘어지는 대격변을 겪게 됐다고 한다. 우리가 살고있는 4차원의 세계는 폭발적으로 팽창하는 과정을 겪고 나머지 6차원의 우주는 극한적 크기로 응축될 때까지 축소한다는 것이다. 4차원의 우주가 폭발적으로 팽창하는 데 필요한 에너지는 10차원의 우주가 붕괴되는 과정에서 나온다고 한다. 이 이론에 따르면 우리 우주는 그 크기를 측정하기 어려운 아주 작은 쌍둥이 우주형제를 가지고 있다. 만일 이 이론이 사실이라면 우주는 4차원 시공체의 차원보다 더 차원이 높으며 무한개의 평행한 우주가 존재한다.
우주 종말 시나리오 중 하나로 우주가 다시 수축, 우주 탄생의 시초로 돌아간다는 가설이 있다. 이는 2차원에서 바라본 3차원체인 구가 점이었다가 원으로 크기가 계속 늘어나다가 다시 줄어들어 수축해버리는 것과 같지 않을까 하는 재미있는 상상을 하게끔 한다. 3차원의 입장에서 바라봤을 때는 우주가 붕괴하는 파멸을 뜻할 수도 있지만 더 높은 차원에서는 단지 우주의 이동현상에 지나지 않을 수도 있다. 우주의 시초가 존재한다는 설은 우주가 팽창한다는 전제하에서만 성립한다.
이번에는 위아래 끝이 없는 원추연결체가 평면을 통과하는 것을 상상해보자. 우리의 관점에서는 시작점을 잡을 수 없고 이 연결체의 단면은 무한히 팽창과 축소를 번갈아 한다. 우리 우주를 이 연결체에 비유해 3차원에서 바라보면 우주가 팽창과 수축을 반복한다는 이상한 상상도 해 볼 수 있지 않을까.
닫힌 우주, 열린 우주, 편평한 우주와 관련해서는 다음과 같은 상상도 가능하다. 정사면체를 평면에 통과시키면 삼각형이 그 크기를 점점 줄여 점이 되고 정사면체를 뒤집어 통과시키면 점이었던 모양이 점점 커져 삼각형의 크기가 커진다. 삼각기둥이 평면에 수직으로 통과하면 그 평면에서는 항상 삼각형으로 인식된다. 이를 놓고 볼 때 관점에 따라서는 이 세 우주가 같은 체의 일부일 수 있다는 상상도 해봄직하다. 위의 재미있는 상상들이 혹시 맞아 떨어진다면 어떤 일이 벌어질까? 한단계 높은 차원에서 벌어지는 일도 단절적이고 갑작스럽게 느껴지는데 차원이 훨씬 높은 공간에서 벌어지는 일은 기상천외할 것이다(하지만 장님 코끼리 더듬기식의 근시안에서 벗어난다면 아직 해결되지 않은 문제가 풀릴 수도 있을 것이다).
우주가 10차원이라는 설이 과학자들에게 널리 받아들여지고 있다. 미치오 가쿠의 초공간이론에 따르면 빅뱅 이전의 우주는 10차원이었고 이후 우주가 4차원과 6차원의 세계로 나뉘어지는 대격변을 겪게 됐다고 한다. 우리가 살고있는 4차원의 세계는 폭발적으로 팽창하는 과정을 겪고 나머지 6차원의 우주는 극한적 크기로 응축될 때까지 축소한다는 것이다. 4차원의 우주가 폭발적으로 팽창하는 데 필요한 에너지는 10차원의 우주가 붕괴되는 과정에서 나온다고 한다. 이 이론에 따르면 우리 우주는 그 크기를 측정하기 어려운 아주 작은 쌍둥이 우주형제를 가지고 있다. 만일 이 이론이 사실이라면 우주는 4차원 시공체의 차원보다 더 차원이 높으며 무한개의 평행한 우주가 존재한다.
우주 종말 시나리오 중 하나로 우주가 다시 수축, 우주 탄생의 시초로 돌아간다는 가설이 있다. 이는 2차원에서 바라본 3차원체인 구가 점이었다가 원으로 크기가 계속 늘어나다가 다시 줄어들어 수축해버리는 것과 같지 않을까 하는 재미있는 상상을 하게끔 한다. 3차원의 입장에서 바라봤을 때는 우주가 붕괴하는 파멸을 뜻할 수도 있지만 더 높은 차원에서는 단지 우주의 이동현상에 지나지 않을 수도 있다. 우주의 시초가 존재한다는 설은 우주가 팽창한다는 전제하에서만 성립한다.
이번에는 위아래 끝이 없는 원추연결체가 평면을 통과하는 것을 상상해보자. 우리의 관점에서는 시작점을 잡을 수 없고 이 연결체의 단면은 무한히 팽창과 축소를 번갈아 한다. 우리 우주를 이 연결체에 비유해 3차원에서 바라보면 우주가 팽창과 수축을 반복한다는 이상한 상상도 해 볼 수 있지 않을까.
닫힌 우주, 열린 우주, 편평한 우주와 관련해서는 다음과 같은 상상도 가능하다. 정사면체를 평면에 통과시키면 삼각형이 그 크기를 점점 줄여 점이 되고 정사면체를 뒤집어 통과시키면 점이었던 모양이 점점 커져 삼각형의 크기가 커진다. 삼각기둥이 평면에 수직으로 통과하면 그 평면에서는 항상 삼각형으로 인식된다. 이를 놓고 볼 때 관점에 따라서는 이 세 우주가 같은 체의 일부일 수 있다는 상상도 해봄직하다. 위의 재미있는 상상들이 혹시 맞아 떨어진다면 어떤 일이 벌어질까? 한단계 높은 차원에서 벌어지는 일도 단절적이고 갑작스럽게 느껴지는데 차원이 훨씬 높은 공간에서 벌어지는 일은 기상천외할 것이다(하지만 장님 코끼리 더듬기식의 근시안에서 벗어난다면 아직 해결되지 않은 문제가 풀릴 수도 있을 것이다).
어느
부분을 확대해 보아도 프랙탈의 특징인
프랙탈차원
0.63 차원이나 1.26 차원이 존재한다는데. 일반적으로 우리가 알고 있는 차원은 정수 차원이다. 점의 차원은 0차원, 선의 차원은 1차원, 면의 차원은 2차원이고 입체의 차원은 3차원이다. 이 차원들을 넘어서 4차원, 5차원,...등의 공간이 있다. 그런데 0.63 차원은 도대체 어떤 세계일까. 점도 아니고 선도 아닌 그 중간체는 어떤 것일까.
정수차원이 아닌 소수차원이 존재한다는 것은 정수에서 실수로, 실수에서 복소수로 수의 개념을 확장시켜간 것과 같이 자연스러운 것이다. 이 소수차원은 ‘프랙탈차원’으로 불린다. 프랙탈이론은 1970년대 들어 만들어진 개념으로 많은 수학자들과 물리학자들에 의해 연구되고 있다. 반면에 우리가 학교에서 배우는 수학의 대부분은 아주 오래된 것들로 원이나 사각형, 삼각형 등 도형에 관한 것들은 무려 2천년전인 기원전 3백년경 유클리드에 의해 만들어진 이론들이다.
근래에 들어 각광받고 있는 프랙탈이란 자기 유사성을 가지는 기하학적 구조를 뜻한다. 나뭇가지들이 일정한 비율이 되는 지점에서 두 가지로 갈라진다는 규칙하에서는 가지의 어느 부분을 선택해 확대해도 전체 나무 모양과 같은 모양을 얻을 수 있다. 이러한 성질을 ‘자기 유사성’이라고 한다. 자연에서 프랙탈 구조를 갖고 있는 예들은 무수히 많다. 허파에서 동맥이 갈라져서 실핏줄을 이루는 구조나 우리 몸 속의 기관지, 뉴런, 심장구조, 고사리, 공작의 깃털무늬, 구름과 산, 해안선의 형태, 은하 구조 등 자연과 우주에서 발견되는 많은 사물들이 프랙탈의 예에 속한다. 프랙탈이 만들어내는 형상은 실로 환상적이다.
자연에는 규칙적인 것보다는 불규칙적인 것이 대부분이다. 프랙탈은 은하계부터 미세 원자세계에 이르기까지 우주의 모습을 총체적으로 표현할 수 있는 도구로 여겨진다. 이러한 프랙탈 구조는 자연이 가지는 기본적인 속성이다. 프랙탈이론에 따르면 자연에서 흔히 발견되는 무질서한 운동도 잘 정의된 방정식으로 나타낼 수 있고 그 안에서의 질서를 찾아낼 수 있다. 자기유사성은 단순한 확대나 축소가 아니라 전체를 바라보는 새로운 ‘눈’을 제시하는 것이다.
주어진 해안선의 길이를 막대자를 가지고 잰다고 상상해 보자. 길이가 1m인 자를 이어가면서 해안선의 길이를 잰 것과 길이가 50cm인 자를 이으면서 길이를 잰 결과는 후자쪽이 더 길다. 또 길이가 25cm인 자로 재는 경우 50cm 막대자로 잴 때보다 해안선의 길이가 길게 나온다. 해안선의 길이는 재는 자의 길이가 짧아질수록 지수함수적으로 늘어난다. 자의 길이가 줄어듦에 따라 해안선의 길이는 무한대로 늘어나게 된다.
자의 축척 변화비율에 따라 해안선의 길이가 지수함수적으로 변하는 성질로부터 정량적 수치를 얻어낼 수 있다. 이 수치로 해안선의 불규칙도를 알 수 있는데 이것이 프랙탈 차원이다. 다른 자를 가지고 길이를 잴 경우 길이가 달라지는 것과는 관계없이 프랙탈 차원은 변함이 없다.
몇가지 프랙탈의 예를 살펴보기 전에 프랙탈 차원을 구하는 방법을 보자.
1차원 선분은 이등분하면 2개의 선분으로 분할되고 2차원 정사각형은 각각의 선분을 이등분하면 4개의 정사각형으로 쪼개진다. 3차원 정육면체를 각각의 선분을 이등분하면 8개의 정육면체가 생긴다. 직선, 평면, 입체를 $\frac{1}{2}$의 비율의 닮은 꼴로 나누었을 때 나뉘어지는 조각의 개수 N은 다음과 같다. 1차원일 경우 N=2=${2}^{1}$ 개, 2차원의 경우 N=4=${2}^{2}$ 개, 3차원의 경우는 N=8=${2}^{3}$개이다. 따라서 D차원의 입방체를 $\frac{1}{2}$의 비율로 나누는 경우 만들어지는 조각의 개수는 N=${2}^{D}$ 이 된다. 이를 D차원의 입방체를 비율 $\frac{1}{r}$의 닮은 꼴로 분할하는 경우로 확장시키면 다음과 같은 관계식을 얻을 수 있다. 분할 후 만들어지는 조각의 개수가 N일 때 r, D, N 세 변수의 관계는 N=${r}^{D}$ 이다. 여기서 얻어지는 D= $\frac{{log}^{N}}{{log}^{r}}$가 프랙탈 차원이다.
시어핀스키 삼각형 (Sierpinski Triangle)
정삼각형이 주어져 있다. 그림과 같이 각변의 중점을 이어 정삼각형을 네등분하고 가운데 삼각형은 버린다. 칸토어 집합을 얻는 것과 같은 방법으로 나머지 세 개의 삼각형 각각에 대해 같은 작업을 한다. 이런 작업을 반복적으로 하고 난 뒤 얻어지는 도형이 시어핀스키 삼각형이다. 시어핀스키 삼각형의 차원은 r=2, N=3 이므로 D=$\frac{{log}^{3}}{{log}^{2}}$=1.58 차원이 된다. 직관적으로는 면을 갖는 2차원일 것 같지만 말이다.
위의 예들 외에도 2차원이 되는 곡선 프랙탈도 존재하는데 이는 우리의 상식적 차원과 거리가 있다. 하지만 프랙탈 차원의 도입으로 정수차원이 실수차원으로 확대되는 것이 가능해졌다. 실수가 정수의 성질을 해치지 않는 것과 같이 프랙탈 차원도 유클리드 차원의 개념을 파괴하는 것이 아니라 더 포괄적이고 일반화된 것이다. 실수를 도입함으로써 정수로는 설명하기 어려웠던 많은 문제들이 해결된 것처럼 프랙탈 차원은 우리에게 놓여진 더 많은 궁금증들을 해결하고 일반화해내는 데 중요한 역할을 할 것이다. 앞으로 프랙탈 개념의 물리적 해석이 폭넓게 연구된다면 프랙탈 이론은 급진전적으로 발전할 것이다. 자연의 변화가 프랙탈 구조를 보이고 프랙탈은 이 구조의 짜임새를 파악하는 언어이기 때문이다. 아직도 대부분의 프랙탈은 신비의 베일속에 머물러 있다.
칸토어 집합 (Cantor set)
프랙탈 차원의 쉬운 예로 칸토어 집합을 알아보자. 그림과 같이 길이가 1인 선분을 3등분해 중앙의 $\frac{1}{3}$을 잘라낸다. 남은 각각의 부분을 다시 3등분해 그 중앙의 $\frac{1}{3}$들을 잘라내는 일을 무한히 계속해서 얻어낸 집합이 칸토어 집합이다. 무한등비급수를 이용해 잘라 낸 길이의 총합을 구하면 1이므로 나머지 길이인 칸토어 집합의 길이는 0이 된다. 직관적으로 생각해도 칸토어 집합은 무수히 많은 점들의 집합체다. 칸토어 집합의 프랙탈 차원을 계산하면 r=3, N=2 이므로 D=$\frac{{log}^{2}}{{log}^{3}}$=0.6309 차원이 된다. 점과 선의 차원의 사이인 셈이다. 차원이 1보다 작은 0.63 차원이기 때문에 길이는 갖지 못한다. 길이가 0이 되는 점들의 집합체이므로 언뜻 보기엔 0차원으로 생각되는데 흥미롭게도 소수의 차원을 만들어내는 것이다. 곰곰히 생각해보면 칸토어 집합과 단순한 점들의 집합체는 서로 다를 것이라는 것은 당연하다.
코흐곡선 (Koch curve)
1904년 헬게 폰 코흐에 의해 만들어진 곡선으로 정삼각형의 각변에 아래와 같은 규칙을 무한번 적용해 얻어지는 눈송이 모양의 곡선이다.
1. 주어진 선분을 삼등분하고 가운데 선분위에 정삼각형을 그리고 밑변은 잘라낸다
2. 새로 만들어진 네 개의 선분에 대해서 각각 같은 작업을 반복한다
위의 규칙을 정삼각형의 각변에 무한번 적용해 얻어지는 코흐곡선의 프랙탈 차원을 구하면 r=3, N=4 이므로 D=$\frac{{log}^{4}}{{log}^{3}}$=1.2618 차원이 된다. 선도 아니고 평면의 차원도 아닌 이들의 중간 차원이다. 우리의 상식으로는 1차원의 선들을 연결했으므로 1차원이어야 한다. 코흐곡선의 길이의 합은 무한히 늘어나지만 일정한 면적을 갖는 원래 정삼각형의 외접원 반경안을 벗어나지는 않는다. 코흐곡선은 무한한 길이이므로 1차원 이상이고 유한한 면적을 갖기 때문에 2차원 미만인 1.26 차원이라는 것이 수긍이 간다.
0.63 차원이나 1.26 차원이 존재한다는데. 일반적으로 우리가 알고 있는 차원은 정수 차원이다. 점의 차원은 0차원, 선의 차원은 1차원, 면의 차원은 2차원이고 입체의 차원은 3차원이다. 이 차원들을 넘어서 4차원, 5차원,...등의 공간이 있다. 그런데 0.63 차원은 도대체 어떤 세계일까. 점도 아니고 선도 아닌 그 중간체는 어떤 것일까.
정수차원이 아닌 소수차원이 존재한다는 것은 정수에서 실수로, 실수에서 복소수로 수의 개념을 확장시켜간 것과 같이 자연스러운 것이다. 이 소수차원은 ‘프랙탈차원’으로 불린다. 프랙탈이론은 1970년대 들어 만들어진 개념으로 많은 수학자들과 물리학자들에 의해 연구되고 있다. 반면에 우리가 학교에서 배우는 수학의 대부분은 아주 오래된 것들로 원이나 사각형, 삼각형 등 도형에 관한 것들은 무려 2천년전인 기원전 3백년경 유클리드에 의해 만들어진 이론들이다.
근래에 들어 각광받고 있는 프랙탈이란 자기 유사성을 가지는 기하학적 구조를 뜻한다. 나뭇가지들이 일정한 비율이 되는 지점에서 두 가지로 갈라진다는 규칙하에서는 가지의 어느 부분을 선택해 확대해도 전체 나무 모양과 같은 모양을 얻을 수 있다. 이러한 성질을 ‘자기 유사성’이라고 한다. 자연에서 프랙탈 구조를 갖고 있는 예들은 무수히 많다. 허파에서 동맥이 갈라져서 실핏줄을 이루는 구조나 우리 몸 속의 기관지, 뉴런, 심장구조, 고사리, 공작의 깃털무늬, 구름과 산, 해안선의 형태, 은하 구조 등 자연과 우주에서 발견되는 많은 사물들이 프랙탈의 예에 속한다. 프랙탈이 만들어내는 형상은 실로 환상적이다.
자연에는 규칙적인 것보다는 불규칙적인 것이 대부분이다. 프랙탈은 은하계부터 미세 원자세계에 이르기까지 우주의 모습을 총체적으로 표현할 수 있는 도구로 여겨진다. 이러한 프랙탈 구조는 자연이 가지는 기본적인 속성이다. 프랙탈이론에 따르면 자연에서 흔히 발견되는 무질서한 운동도 잘 정의된 방정식으로 나타낼 수 있고 그 안에서의 질서를 찾아낼 수 있다. 자기유사성은 단순한 확대나 축소가 아니라 전체를 바라보는 새로운 ‘눈’을 제시하는 것이다.
주어진 해안선의 길이를 막대자를 가지고 잰다고 상상해 보자. 길이가 1m인 자를 이어가면서 해안선의 길이를 잰 것과 길이가 50cm인 자를 이으면서 길이를 잰 결과는 후자쪽이 더 길다. 또 길이가 25cm인 자로 재는 경우 50cm 막대자로 잴 때보다 해안선의 길이가 길게 나온다. 해안선의 길이는 재는 자의 길이가 짧아질수록 지수함수적으로 늘어난다. 자의 길이가 줄어듦에 따라 해안선의 길이는 무한대로 늘어나게 된다.
자의 축척 변화비율에 따라 해안선의 길이가 지수함수적으로 변하는 성질로부터 정량적 수치를 얻어낼 수 있다. 이 수치로 해안선의 불규칙도를 알 수 있는데 이것이 프랙탈 차원이다. 다른 자를 가지고 길이를 잴 경우 길이가 달라지는 것과는 관계없이 프랙탈 차원은 변함이 없다.
몇가지 프랙탈의 예를 살펴보기 전에 프랙탈 차원을 구하는 방법을 보자.
1차원 선분은 이등분하면 2개의 선분으로 분할되고 2차원 정사각형은 각각의 선분을 이등분하면 4개의 정사각형으로 쪼개진다. 3차원 정육면체를 각각의 선분을 이등분하면 8개의 정육면체가 생긴다. 직선, 평면, 입체를 $\frac{1}{2}$의 비율의 닮은 꼴로 나누었을 때 나뉘어지는 조각의 개수 N은 다음과 같다. 1차원일 경우 N=2=${2}^{1}$ 개, 2차원의 경우 N=4=${2}^{2}$ 개, 3차원의 경우는 N=8=${2}^{3}$개이다. 따라서 D차원의 입방체를 $\frac{1}{2}$의 비율로 나누는 경우 만들어지는 조각의 개수는 N=${2}^{D}$ 이 된다. 이를 D차원의 입방체를 비율 $\frac{1}{r}$의 닮은 꼴로 분할하는 경우로 확장시키면 다음과 같은 관계식을 얻을 수 있다. 분할 후 만들어지는 조각의 개수가 N일 때 r, D, N 세 변수의 관계는 N=${r}^{D}$ 이다. 여기서 얻어지는 D= $\frac{{log}^{N}}{{log}^{r}}$가 프랙탈 차원이다.
시어핀스키 삼각형 (Sierpinski Triangle)
정삼각형이 주어져 있다. 그림과 같이 각변의 중점을 이어 정삼각형을 네등분하고 가운데 삼각형은 버린다. 칸토어 집합을 얻는 것과 같은 방법으로 나머지 세 개의 삼각형 각각에 대해 같은 작업을 한다. 이런 작업을 반복적으로 하고 난 뒤 얻어지는 도형이 시어핀스키 삼각형이다. 시어핀스키 삼각형의 차원은 r=2, N=3 이므로 D=$\frac{{log}^{3}}{{log}^{2}}$=1.58 차원이 된다. 직관적으로는 면을 갖는 2차원일 것 같지만 말이다.
위의 예들 외에도 2차원이 되는 곡선 프랙탈도 존재하는데 이는 우리의 상식적 차원과 거리가 있다. 하지만 프랙탈 차원의 도입으로 정수차원이 실수차원으로 확대되는 것이 가능해졌다. 실수가 정수의 성질을 해치지 않는 것과 같이 프랙탈 차원도 유클리드 차원의 개념을 파괴하는 것이 아니라 더 포괄적이고 일반화된 것이다. 실수를 도입함으로써 정수로는 설명하기 어려웠던 많은 문제들이 해결된 것처럼 프랙탈 차원은 우리에게 놓여진 더 많은 궁금증들을 해결하고 일반화해내는 데 중요한 역할을 할 것이다. 앞으로 프랙탈 개념의 물리적 해석이 폭넓게 연구된다면 프랙탈 이론은 급진전적으로 발전할 것이다. 자연의 변화가 프랙탈 구조를 보이고 프랙탈은 이 구조의 짜임새를 파악하는 언어이기 때문이다. 아직도 대부분의 프랙탈은 신비의 베일속에 머물러 있다.
칸토어 집합 (Cantor set)
프랙탈 차원의 쉬운 예로 칸토어 집합을 알아보자. 그림과 같이 길이가 1인 선분을 3등분해 중앙의 $\frac{1}{3}$을 잘라낸다. 남은 각각의 부분을 다시 3등분해 그 중앙의 $\frac{1}{3}$들을 잘라내는 일을 무한히 계속해서 얻어낸 집합이 칸토어 집합이다. 무한등비급수를 이용해 잘라 낸 길이의 총합을 구하면 1이므로 나머지 길이인 칸토어 집합의 길이는 0이 된다. 직관적으로 생각해도 칸토어 집합은 무수히 많은 점들의 집합체다. 칸토어 집합의 프랙탈 차원을 계산하면 r=3, N=2 이므로 D=$\frac{{log}^{2}}{{log}^{3}}$=0.6309 차원이 된다. 점과 선의 차원의 사이인 셈이다. 차원이 1보다 작은 0.63 차원이기 때문에 길이는 갖지 못한다. 길이가 0이 되는 점들의 집합체이므로 언뜻 보기엔 0차원으로 생각되는데 흥미롭게도 소수의 차원을 만들어내는 것이다. 곰곰히 생각해보면 칸토어 집합과 단순한 점들의 집합체는 서로 다를 것이라는 것은 당연하다.
코흐곡선 (Koch curve)
1904년 헬게 폰 코흐에 의해 만들어진 곡선으로 정삼각형의 각변에 아래와 같은 규칙을 무한번 적용해 얻어지는 눈송이 모양의 곡선이다.
1. 주어진 선분을 삼등분하고 가운데 선분위에 정삼각형을 그리고 밑변은 잘라낸다
2. 새로 만들어진 네 개의 선분에 대해서 각각 같은 작업을 반복한다
위의 규칙을 정삼각형의 각변에 무한번 적용해 얻어지는 코흐곡선의 프랙탈 차원을 구하면 r=3, N=4 이므로 D=$\frac{{log}^{4}}{{log}^{3}}$=1.2618 차원이 된다. 선도 아니고 평면의 차원도 아닌 이들의 중간 차원이다. 우리의 상식으로는 1차원의 선들을 연결했으므로 1차원이어야 한다. 코흐곡선의 길이의 합은 무한히 늘어나지만 일정한 면적을 갖는 원래 정삼각형의 외접원 반경안을 벗어나지는 않는다. 코흐곡선은 무한한 길이이므로 1차원 이상이고 유한한 면적을 갖기 때문에 2차원 미만인 1.26 차원이라는 것이 수긍이 간다.
과학동아
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