뫼비우스 띠, 위상수학 돋보기로 다시 보자

다시 미술관으로 돌아온 앤츠는 모든 게 꿈만 같았어. 주위에 변한 건 하나도 없었지. 신기하게도 그 동안 시간은 멈춰 있었어. 나는 미술관을 조심스럽게 모두 둘러봤지. 또 이상한 모험을 하게 되지 않을까 걱정하면서 말야.

여행 중에 아저씨가 뫼비우스 띠에 대해 해 줬던 모든 이야기를 친구들과 나누고 싶었어. 더 수학적이고 깊이 있는 이야기라 어려울 수도 있겠지만 말야.

위상수학, 말랑한 도형 빚기

뫼비우스 아저씨는 위상학이라는 기하학의 한 분야에 대해 설명해 줬어. 기하학은 도형을 연구하는 수학의 한 분야인데, 특히 기하학의 한 분야인 위상수학은 도형을 잡아 늘이거나 줄일 때 변하지 않는 도형의 성질을 다뤄. 찰흙놀이를 한다고 상상해 봐. 찰흙으로 만든 도형은 주물러서 다른 모양의 도형으로 바꿀 수 있어. 그 때 두 도형의 점, 선, 면의 위치관계를 주목하지. 만약 이런 성질이 변하지 않으면, 즉 점은 점으로, 이어진 선은 이어진 선으로, 끊어진 선은 끊어진 선으로 다시 옮겨 진다면 처음 도형은 나중에 만들어진 도형과 연결 상태가 같다고 말해.

스위스 수학자 오일러는 7개의 다리를 건너는 흥미로운 문제로 위상수학 분야의 연구를 시작했어. 18세기 초 독일에는 쾨니히스베르크라는 도시가 있었는데 그 중심에 프레겔 강이 흘렀지. 오일러는 ‘강에 놓인 7개의 다리를 모두 한 번씩만 건너 처음 위치로 돌아올 수 있는 방법’을 연구했지. 결론은 ‘불가능하다’였어.
 

오일러의 7개의 다리

한편, 오일러는 ‘평면 도형이나 입체 도형에서 점, 선, 면의 관계를 보여 주는 오일러 공식’을 만들었고, 이 공식의 값에 따라 도형을 분류했어. 그 뒤 뫼비우스, 리스팅, 그리고 클라인 등은 위상수학의 분야를 세분화시키며 기하학을 더욱 발전시켰지.

도형을 구분하는 성질을 더 알아보면서 기하학 실력을 한껏 높이고 뫼비우스 띠도 이해해 보자고!

도형을 구분하는 첫 번째 기준, 테두리

도형을 구분하는 첫 번째 기준은 테두리야. 수학 용어로 경계라고도 부르지. 뫼비우스 띠와 원통형의 띠는 테두리 개수가 서로 달라. 그에 따라 면의 성질도 달라지지.

✚경계를 알면 차원이 보인다!

수학자들은 테두리를 경계라고 부른다. 굵은 실선은 닫힌 경계, 그리고 점선은 열린 경계다. 경계는 차원을 구분하는 데 중요한 역할을 한다.

점, 선, 면은 기존의 유클리드 기하학에서는 도형이었지만, 위상기하학에서는 차원을 구분하는 기준이다. 점은 0차원, 선은 1차원, 면은 2차원이다. 위상 공간에서 1차원인 선분은 늘이거나 줄여도 절대 면이나 구, 즉 2차원이나 3차원으로 변할 수 없다. 원통형 띠는 테두리가 2개, 뫼비우스 띠는 테두리가 1개인 3차원 도형이다.

✚테두리를 세어 보자!
 

뫼비우스 띠는 직사각형 띠를 180˚꼬아 양쪽 끝을 붙여 만든다. 끝을 붙일 때는 반대면이 만나도록 붙여야 뫼비우스 띠를 만들 수 있다. 뫼비우스의 테두리를 당기면 테두리가 하나인 원이 나온다.

두 띠는 서로 다른 도형이지만 전개도의 모양은 직사각형으로 서로 같아. 직사각형 세로변의 방향만 다르지. 한 번 꼬아 붙인 뫼비우스 띠의 테두리 개수는 1개야. 그에 따라 면의 개수도 1개지. 그래서 앞면과 뒷면의 구분이 없어진 거야. 뫼비우스 띠의 면이 하나라는 것은 각각의 띠에 색을 입혀 보면 쉽게 알 수 있어. 뫼비우스 띠를 따라 색을 칠하면 띠의 안과 밖 구분 없이 면 전체에 전부 같은 색깔을 입힐 수 있지.

점! 변! 면! 너희들 무슨 관계야!

꼭짓점의 개수, 변의 개수, 면의 개수의 관계를 따져 도형의 성질을 구분하는 것이 오일러 공식이다. 오일러 공식은 ‘꼭짓점의 개수-변의 개수+면의 개수’인데 이 값이 같은 도형은 모양은 달라도 성질이 같은 도형으로 분류한다. 일반적으로 평면도형은 이 식의 값이 1이다. 고무공을 늘이거나 줄여서 만들 수 있는 모든 입체도형의 이 값은 2다.

닫힌 곡선
 

닫힌 곡선

원과 연결 상태가 같은 곡선이 닫힌 곡선이다. 실로원 모양의 띠를 만들고 실의 양끝을 떼지 않고 이리저리 옮겨 보자. 다른 모양이 만들어지지만 모두 원과 연결 상태가 같다.


 

수학동아