사소한 도전, 과일 탑을 쌓아라!

사소한 도전, 과일 탑을 쌓아라!

“와~ 박사님, 과일 좀 보세요. 제가 좋아하는 과일이 다 있는 것 같아요.”

“하하. 가을은 열매를 거두는 계절이잖니. 먹고 싶은 과일 다 골라 보렴.”

“정말요? 저는 감, 키위, 사과, 그리고 귤도 다 먹을래요.”

“녀석, 욕심도 많긴. 오늘 실험은 동글동글한 과일로 탑을 쌓을 거란다. 고른 과일을 챙겨 실험실로 가자꾸나.”

과일을 가장 잘 쌓는 방법은?

동글동글한 과일을 그릇에 담으려고 한다. 어떻게 배열해야 효율적일까? 과일 장수는 과일과 과일 사이의 빈틈을 줄이면서 안정적으로 과일을 쌓는 방법을 경험적으로 알고 있다. 바로 삼각뿔 형태로 쌓는 것이다.

과일이 아니라 평평한 동전을 배열하는 경우라면 어떨까? 동전을 배열하면 각 동전의 중심을 이었을 때 그림①과 같이 정삼각형이 되는 경우와 그림②와 같이 정사각형이 되는 경우가 있다. 그림①의 배열은 그림②의 배열에 비해 원이 외접하면서 생긴 빈틈이 작다. 동전의 반지름 길이가 1이라 가정하고 직접 넓이를 계산해보자.
 

 

이제 공간에서 생각해보자. 1590년대 말 영국의 항해 전문가인 월터 랠리 경은 당시 자신의 조수이자 수학자였던 토머스 해리엇에게 배에 쌓인 포탄의 개수를 알 수 있는 방법과 효율적으로 쌓는 방법을 물었다. 해리엇은 고민한 끝에 포탄의 개수를 셀 수 있는 공식은 알아냈지만, 효율적으로 배열하는 방법은 찾지 못했다. 고민 끝에 해리엇은 독일의 요하네스 케플러에게 편지로 이 문제를 알렸다. 이에 케플러는 1611년 다음과 같이 추측했다.

“3차원 공간에서 한 개의 구를 12개의 구가 둘러싼 구조로 쌓으면 가장 밀도가 높은 배열을 얻게 된다.”

이것은 ‘케플러의 추측’ 이라 불렸고, 이 추측은 387년이 지난 1998년 미국 미시간대의 수학자 토머스 헤일즈에 의해 증명됐다. 이처럼 과일쌓기는 수학자들의 연구 문제 중 하나였고, 과일 쌓기에서 얻은 아이디어는 독일의 뮌헨 올림픽 경기장과 베이징 워터큐브 수영장과 같은 건축물에도 응용됐다.

아하! 생각이 쑥쑥! 캔을 더 많이 담으려면?

음료수를 담는 캔은 대부분 원기둥 모양이다. 캔의 모양이 직육면체라면 직사각형 상자에 빈틈없이 담을 수 있겠지만, 캔은 원기둥이라서 빈틈이 생길 수밖에 없다.

그림1, 그림2
 

바깥지름이 10cm인 원기둥 캔을 가로가 80cm, 세로가 50cm인 상자에 넣으려고 한다. 위에서 바라본다면 그림①처럼 나란히 배열하는 방법과 그림②처럼 엇갈려 배열하는 방법으로 두 가지가 있다.
 

 

즉 엇갈리게 캔을 배열하면 세로에 캔을 5개와 4개씩 반복해 넣을 수 있어 상자에 총 41개까지 넣을 수 있다. 이처럼 수학을 이용하면 공간을 최적으로 사용할 수 있다. 자연에서도 이런 예는 쉽게 찾을수 있는데, 대표적인 예가 바로 꿀벌의 집이다. 육각형 모양으로 만든 벌집은 공간을 최적으로 사용한 사례다.

수학동아