물질의 수 체계

김민형 옥스퍼드대 교수의 수학 산책

 

우주를 이루는 입자는 크게 두 가지로 나뉜다. 그 중에 보통 물질은 쿼크(Quark)와 전자 같은 페르미온(Fermion)의 결합으로 생긴다. 이런 물질의 미세한 물리량이 19세기에 발견된 클리퍼드 수를 값으로 갖는다는 사실은 20세기 과학의 중요한 발견이었다.

그라스만 수 복습 

기하학에서 가장 중요한 수 체계는 실수 체계(R)다. 실수 집합을 직선 상의 점들로 생각하는 것이 수와 공간 사이의 기본 관계이기 때문이다. 거기에서 시작하면 n차원 공간을 실수 n개의 순서쌍 Rⁿ으로 간주하는 것은 쉽게 이해할 수 있다. 그런데 Rⁿ에 각종 연산 구조가 주어져 있음을 이미 설명한 바 있다. 이때 덧셈은 다음과 같이 항상 단순하게 각 좌표를 따로 더하면 된다.

그런데 곱셈의 가능성은 복소평면의 경우(a₁, a₂)(b₁, b₂)=(a₁b₁-a₂b₂, a₁b₂+a₂b₁)처럼 약간 복잡하면서도 자연스러운 방법들이 있다. 때로는 Rⁿ의 원소를 꼭 순서쌍으로 생각하지 않고 어떤 기본원소 v₁, v₂, …, v_n의 실수계수배합인 a₁v₁+a₂v₂+…+a_nv_n으로 표현하는 것이 편리하기도 하다. 그렇게 했을 때 분배법칙과 결합법칙을 가정하면 다음과 같이 v_iv_j곱에 의해서 나머지 임의의 원소의 곱이 정해지기 때문이다.

복소수를 a+bi꼴로 쓰면 i²= -1과 분배법칙에 의해서 복소수의 곱셈이 완전히 결정되는 것도 한 예다.

지난달 설명한 공간의 그라스만 수 체계는 3차원의 경우에 서로 직각인 3개의 벡터 E₁, E₂, E₃를 고정하고 나서 그 원소들을 다음과 같은 꼴로 표현할 수 있다고 설명했다.

즉, 임의의 원소가 기본 점, 벡터, 직사각형, 그리고 직육면체의 실수배합으로 주어진다. 그런 다음 자연스러운 기하적 법칙인 V∧W=-W∧V, V∧V=0과 분배법칙을 사용하면 이 연산을 R⁸에 주어진 수 체계로 해석할 수 있음도 배웠다. d차원 공간기하의 그라스만 대수는 일반적으로 R^2d에 주어진 연산체계로 해설할 수 있다. 실제 세상에서 가장 중요한 경우는 물론 4차원 시공간의 그라스만 대수인데, 그때는 기본 직육면체도 많아지고 4차원 평행도형이생기기 때문에 기본원소가 다음과 같이 무려 16개가 된다.

그래서 4차원 그라스만 대수는 R¹⁶에 주어진 수 체계 구조로 생각할 수 있다. d차원 그라스만 수 체계를 G_d라 표기하자.



클리퍼드 수

처음 만났을 때 까다로울 수 있는 개념이 d차원 벡터 V가 Gd의 원소일 뿐만 아니라 Gd에서 Gd로 가는 함수를 두 개 정의한다는 사실이다. 하나는 e(V)라고 표기하는 일종의 ‘외적’ 함수인데, 공간도형 U₁∧U₂∧…∧U_k를 V∧U₁∧U₂∧…U_k로 보내고 점은 그저 벡터 V로 보낸다. 즉, 점은 벡터, 벡터는 평행사변형, 평행사변형은 평행육면체 등으로 보내는 함수다. 이 외적 함수는 이런 방법으로 상당히 뚜렷한 기하적 해석이 가능하다. 또 하나의 함수는 i(V)로 표기하는 ‘내적’ 함수다. U₁∧U₂∧…∧U_k를 다음과 같이
조금 복잡하게 나타낸다.

내적 함수는 상당히 기묘하게 보일 수 있지만, 사실은 공간도형에 주어진 일종의 ‘미분’ 작용으로 생각할 수 있다. 차원을 내리는 벡터내적을 기초로 미분의 곱셈 법칙과 벡터의 순서를 바꿀 때, 부호가 바뀌는 원리를 사용하면 어느 정도 식이 이해될 것이다. 이 두 함수를 합했을 때 생기는 소위 ‘클리퍼드곱 함수’ c(V)가 오늘의 주 관심사다. 함수 c(V)는 G_d의 원소 X를 다음과 같이 정의한다.

구체적으로 이해하기 위해서 간단한 계산을 해보자. 벡터 E_i들이 서로 수직이고 길이가 1이면 다음과 같다.

일반적으로 평행사변형에 작용한 벡터의 클리퍼드 곱셈은 벡터와 평행육면체의 배합을 값으로 갖는다. 그런데 클리퍼드 곱 함수들을 합성하면 재미있는 현상이 일어난다. 함성함수 c(V)c(W)와 c(W)c(V)가 다르게 작용하기 때문이다. 정확하게 계산해보면 다음 관계가 성립한다.

여기서 [CAR]이라 쓴 것은 ‘Canonical Anti-commutation Relation’의 약자인데, 양자장론에서 페르미온들의 일종의 ‘하이젠베르크 불확정성’을 내포하는 식이다. 이 식은 다음과 같다. 이 식은 정의의 간단한 적용인 다음 식들로부터 따르는데, 각자 한 번 확인해 보도록 강하게 권한다.

d차원 클리퍼드 수 체계란 클리퍼드 곱함수들의 거듭제곱, 그러니까 G_d에서 G_d로 가는 c(V₁)c(V₂)…c(V_l)꼴 함수들의 실수배합으로 이뤄진 모든 함수들의 집합이다. 여기서 덧셈은 물론 직관적인 함수 덧셈이고, 곱셈은 함수의 합성으로 정의한다. 이렇게 정의한 클리퍼드 수 체계는 자연계에 나타나는 대표적인 비가환(즉, 교환법칙이 성립하지 않는) 수 체계 중 하나다.



디락 방정식 재검 

이제 드디어 이런 대수법칙을 자연계의 4차원 시공간에 적용해 보자. 단지 여기서 유의할 점은 특수상대론에 의하면 벡터들의 내적이 유클리드 공간과 다르다는 것이다. 정확히 설명하면 시공간에는 서로 수직인 벡터 4개 E₀, E₁, E₂, E₃가 있어서 다음과 같은 식을 만족하는 자연스러운 내적 함수가 있다는 것이다. (사실은 상대성이론의 많은 놀라운 산물들이 이 내적의 존재로부터 따른다.)

그 경우에 시공간 그라스만 대수에 작용하는 클리퍼드 곱 함수들 사이에는 [CAR]을 이용해서 다음 관계들을 쉽게 보일 수 있다.

7월호에서 설명했듯이 디락은 2차 미분연산의 제곱근을 찾는 다음 방정식을 풀어야만 했다.

여기서 변수는 A, B, C, D인데 결국 그들은 A²=1, B²=C²=D²=-1과 AB+BA=AC+CA=AD+DA=BC+CB=BD+DB=CD+DC=0을 만족해야 한다는 계산이 나온다.

보통 수로는 해가 불가능한 이 방정식들이 이제는 A=c(E₀), B=c(E₁), C=c(E₂), D=c(E₃)라는 클리퍼드 수들을 통해서 쉽게 풀린다. 이런 수의 직관적인 의미를 정확히 파악하는 것은 당연히 어렵다. 또 그런 어려움이 현재도 과학자들로 하여금 양자세계의 개념적인 이해가 만족스럽지 못하다는 인상을 갖게 만드는 게 사실이다. 이런 문제를 기하학적인 관점에서 근본적으로 재검하려는 노력 중 하나가 바로 요새 자주 이야기되고 있는 초대칭성 이론이다. 이처럼 세상을 탐구하는 과정은 상당히 신비한 수 체계를 끊임없이 필요로 한다.

수학동아