마틴 가드너의 퍼즐캠프

수학퍼즐의 대가 마틴 가드너가 <수학동아> 창간 5주년을 기념해 퍼즐캠프를 열었다. 더군다나 오는 10월 21일은 마틴 가드너가 탄생한지 정확히 100년이 되는 날이다. 전세계의 내로라하는 퍼즐가들이 함께 하는 이 캠프에 참여하기 위해서는 초대장 속 사과를 꺼내와야 한다. 주최자 마틴 가드너가 직접 만든 퍼즐을 풀고 캠프에 참여해 보자.



퍼즐캠프 안내문

축하합니다! 이 안내문은 퍼즐캠프 참가자에게만 발송되었습니다. 다시 말해, 지금 이 안내문을 읽고 있는 여러분은 무사히 사과를 꺼내서 퍼즐캠프에 참가할 수 있는 자격을 얻었단 얘기죠. 그런데 잠깐! 퍼즐캠프를 제대로 즐기려면 퍼즐의 대가들에 대한 이해는 기본이겠지요? 아래 4명의 퍼즐가들 중에는 직접 캠프에 찾아오시는 분들도 있으니 꼼꼼히 읽어 두세요!





“각각 6개의 부대와 계급이 있다. 각 부대에서 계급당 1명씩 36명을 뽑아 6명씩 6줄로 세운다고 할 때, 각 열과 행에 부대와 계급이 겹치지 않게 할 수 있을까?”

이는 18세기의 수학자 오일러가 제시한 ‘36명 장교 세우기 문제’다. 수학적으로는 6차 직교라틴방진이 존재하는지를 묻는 문제로, 라틴 방진은 각 행과 열에 동일한 숫자가 겹치지 않는 방진을 말한다. 이 문제에서는 한 칸에 두 조건을 모두 고려해야 하기 때문에 ‘직교라틴방진’ 또는 ‘오일러방진’으로 부른다.

오일러는 처음 이 문제를 제시하면서 2, 6, 10…차 직교라틴방진은 존재하지 않는다고 말했다. 수학자 가스통 타리 또한 조합 가능한 모든 경우를 보이면서 6차 직교 라틴방진은 없다는 오일러의 가설을 뒷받침했다. 하지만 이후 10차 직교라틴방진이 발견되면서 오일러의 가설은 결국 틀린 것으로 밝혀졌다.

이런 라틴방진의 원리를 이용한 숫자 퍼즐이 바로 스도쿠이다. 스도쿠는 9차 라틴방진의 변형으로, 9개로 구성된 행과 열에 숫자를 겹치지 않게 배열하는 것이 목적이다. 일본어로 ‘외로운 숫자’라는 의미의 스도쿠는 의외로 일본이 아닌 프랑스에서 시작됐다. 프랑스의 한 일간지에 처음 등장한 스도쿠는 1979년 미국에서 현재와 같은 작은 정사각형 9개에서도 숫자가 겹쳐지면 안 되는 규칙이 추가돼 재탄생 되었다.

한편, 수학적인 계산을 필요로 하는 변형 스도쿠도 있다. 일본의 수학교사가 2004년에 발명한 ‘켄켄’이라는 수학 퍼즐로, 형태는 직소 스도쿠와 유사하지만 켄켄에는 하나의 규칙이 더 추가된다. 각각의 사각형 구석에 적힌 사칙연산의 규칙을 지켜야 한다는 점이다. 예를 들어, 20×라고 적혀 있으면 사각형 안의 모든 숫자를 곱했을 때 20이 되어야 한다.




 수학동아