무게 부족한 불량 과자, 양팔 저울로 쉽게 찾는 법

과자 봉지 3묶음 중 둘을 저울에 올리면 더 가벼운 쪽에 불량 과자 있답니다
같은 무게면 남은 한 묶음 속에 있어요

과자 봉지 9개도 3묶음으로 나눠 재면 두 번 만에 불량 과자 찾을 수 있어요

"요즘도 무게를 속여서 물건을 파는 사람들이 있구나."

연우와 함께 뉴스를 보던 아빠께서 한숨을 쉬며 말씀하셨어요. 어떤 상인들이 식품 무게를 속여서 판매하다가 단속에 적발되었다는 내용의 뉴스였지요.

"무게를 속인다고요? 어떻게 무게를 속인다는 거예요?"

"정량을 채운 제품 사이에 정량보다 덜 넣은 제품을 섞어서 파는 것이란다. 이윤을 더 남기기 위해서 말이야."

"너무해요. 그렇게 섞여 있으면 사람들이 어떻게 알아요. 사람들은 모두 같은 양이 들어 있다고 믿으면서 물건을 사는 것이잖아요."

"맞아. 그래서 더 나쁘다는 거야. 그럼 이번 기회에 양팔 저울로 불량 제품 구별하는 법을 공부해 볼까?"

"네? 양팔 저울이요? 양팔 저울로 정량을 채우지 않은 불량품을 쉽게 알아낼 수 있나요? 좋아요! 정말 재미있을 것 같아요."

▲ /그림=이창우

"그럼 아빠가 문제를 낼게. 똑같은 모양의 과자 봉지가 9개 놓여 있는데, 9개 중 하나는 과자를 정량보다 덜 넣어서 다른 것보다 가벼워. 양팔 저울을 이용해서 정량보다 덜 넣은 불량 과자를 찾을 수 있겠니?"

"네? 일반 저울은 없어요? 그냥 일반 저울에 하나씩 재어 보면 간편하잖아요. 아니면 양팔 저울의 양쪽에 과자를 하나씩 올려놓으면, 무게가 같거나 가벼운 것이 하나 있을 테니 금세 찾을 수 있을 거예요."

"물론 그런 방법으로도 찾을 수 있지만, 과자 봉지가 더 많아지면 시간이 오래 걸리지 않겠니? 양팔 저울을 딱 두 번만 사용해서 찾을 수 있는 방법이 있단다."

"두 번이요? 그게 어떻게 가능해요?"

"9개는 너무 많으니까, 우선 쉽게 과자 봉지가 3개인 경우부터 생각해 볼까? 불량인 과자 봉지가 나머지보다 가볍겠지? 그래서 과자 봉지 3개를 각각 ①, ②, ③이라고 번호를 매긴 다음, ①과 ②를 저울에 올려놓으면 다음과 같은 세 가지 경우가 나올 거야. ▲①이 ②보다 무거운 경우, ▲①이 ②보다 가벼운 경우, ▲①과 ②의 무게가 같은 경우지.

차례대로 생각해 보면, 첫째 경우에는 더 가벼운 ②가 불량 과자가 되고, 둘째 경우에는 ①이 불량 과자가 되겠지? 마지막 셋째 경우에는 ①과 ②의 무게가 같으므로 남은 ③이 불량 과자가 되는 것이란다. 어때? 정말 간단하지?"

"우아~ 과자 봉지가 3개인 경우에는 저울을 한 번만 사용하면 불량 과자를 찾을 수 있다는 거네요?"

"그렇지. 9개인 경우도 3개인 경우를 응용하면 되니까 어렵지 않게 알아낼 수 있단다."

"잠깐만요, 아빠. 제가 한번 생각해 볼게요. 음…. 어휴, 저는 잘 모르겠어요. 아무리 생각해도 두 번으로는 알아내기 어려울 것 같은데요?"

▲ /그림=이창우

"아까 설명한 과자 봉지 3개의 사례를 응용하면 쉽게 할 수 있단다. 이번에도 과자 9개에 ①~⑨까지 번호를 매기고 시작해 볼까? 그런 다음, 9개를 3개씩 3묶음으로 나눠서 양팔 저울에 올리는 거야. 먼저 ①·②·③과 ④·⑤·⑥을 재어 보자. 그럼 다음과 같은 3가지 경우가 나올 거야."

아빠께서는 흰 종이에 양팔 저울 3개를 그려 설명하셨어요. 9개를 3개씩 3묶음으로 나눠 양팔 저울에 올리면, ▲①·②·③이 ④·⑤·⑥보다 무거운 경우, ▲①·②·③이 ④·⑤·⑥보다 가벼운 경우, ▲①·②·③과 ④·⑤·⑥의 무게가 같은 경우 등 세 가지 경우가 나오네요. 아빠께서 그린 그림을 유심히 보던 연우가 무릎을 탁 치며 말했어요.

"아빠, 저도 알았어요! 첫째 경우에는 ④·⑤·⑥이 더 가벼우니까 ④·⑤·⑥ 중에 불량 과자가 있겠군요? 3개 중에 한 개의 불량 과자를 찾으려면, 앞에서 했던 것처럼 ④·⑤·⑥ 중에 2개를 다시 저울에 올려놓고 그 결과를 따져 보면 되는 거지요?"

"하하. 우리 연우가 아주 똑똑한데? 조금만 힌트를 줘도 단번에 답을 알아맞히는구나. 연우 말이 맞단다. 둘째 경우에도 ①·②·③이 더 가벼우니까 ①·②·③중 불량 과자가 있을 거야. 셋째 경우에는 ①·②·③·④·⑤·⑥ 중에는 불량 과자가 없다는 뜻이니까, ⑦·⑧·⑨ 중에서 불량 과자를 찾으면 되지. 어때, 정말 쉽고 재미있는 방법이지?"

"네, 아빠. 정말 재미있어요. 수학 원리를 이용하면 양팔 저울로도 쉽고 간단하게 불량 과자를 찾아낼 수 있군요. 수학의 세계는 정말 알면 알수록 신기하네요."

"조금만 설명해줘도 바로 원리를 이해하는 연우를 보니 아빠도 무척 기분이 좋구나."


[관련 교과] 5학년 2학기 '문제 해결 방법 찾기'


[함께 생각해봐요]

구슬 27개 중 다른 구슬보다 가벼운 구슬이 1개 있어요. 양팔 저울을 최소한으로 사용한다면, 몇 번 만에 가벼운 구슬을 찾을 수 있을까요?

해설: 정답은 3번. 먼저 구슬 27개를 9개씩 3묶음으로 나눠 양팔 저울에 올려, 가벼운 묶음(9개)을 찾아냅니다. 다시 9개를 3개씩 3묶음으로 나누고 양팔 저울에 올려 가벼운 묶음(3개)을 찾아내요. 마지막으로 3개가 남았을 때 구슬 2개를 양팔 저울에 올리면 가벼운 구슬을 찾아낼 수 있습니다.

 조선일보