수학으로 빚은 소금그릇

아래의 화려한 그릇은 사실 평범한 그릇이 아니다. 이탈리아의 조각가 첼리니의 작품으로, 세계에서 가장 유명한 소금그릇이다. 소금은 16세기까지만 해도 동서양을 통틀어 매우 비싼 식재료였다. 비싼 소금을 식탁에 올려서 마음대로 먹을 수 있는 사람은 왕이나 높은 귀족과 같은 특권 계급뿐이었다. 그래서 서양에서는 예부터 비싼 소금과 어울리는 품격 있는 그릇을 만들어 식탁에 올려 놓았다. 이것이 소금그릇이다.

그런데 소금그릇에 대해 연구한 수학자가 있다. 고대 그리스의 수학자 아르키메데스다. 그가 남긴 <보조정리집>에는 모두 15개의 기하학에 관한 정리가 수록돼 있다. 그 중에서 14번째 정리는 다음 도형에 관한 내용이다. 아르키메
데스는 이 도형을 ‘셀리논’이라고 불렀다. 셀리논(salinon)은 그리스어로 소금그릇(salt cellar)이라는 뜻이다. 아르키메데스는 <보조정리집>의 정리 14번에 소금그릇을 그리는 방법과 소금그릇의 넓이를 구하는 법을 수록해 놓았던 것이다.










감자는 어디로 간 걸까? 감자역설 “A가 감자 100파운드를 샀는데, 수분 함유율이 99%였다. 이후 감자가 말라서 수분함유율은 98%가 됐는데, 그 무게는 놀랍게도 50파운드밖에 되지 않았다. 어떻게 된 걸까?”

감자역설로 잘 알려진 이 문제는 영국의 저자 데이비드 달링이 쓴 베스트셀러, <더 유니버설 북 오브 매스매틱스>(2004)에 실리며 유명해졌다. 사실 이 문제는 수학에서 말하는 진짜 역설은 아니다. ‘역설’이란 패러독스를 번역한 말로, 그리스어인 Para(반대)와 Doxa(상식적인 견해)의 합성어다. 즉, 역설은 참된 명제와 논증에서 모순된 주장을 나타내는 표현을 말한다. 잘 알려진 역설로 ‘크레타섬의 거짓말쟁이’가 있다.

감자역설은 진짜 역설은 아니지만, 많은 사람들의 상식에서 벗어나는 문제라 역설로 소개됐다. 이 감자는 원래 수분함유율이 99%였는데, 증발 후 수분함유율은 1%밖에 줄지 않았다. 그런데 무게는 절반이나 줄다니, 어떤 비밀이 숨겨진 것일까?

우선 100파운드 감자의 수분함유율이 99%라면 물이 99파운드, 고체의 감자가 1파운드이다. 수분이 증발해도 1파운드의 고체는 증발하지 않으므로, 고체의 감자는 여전히 1파운드다. 그리고 증발이 일어난 뒤 감자의 중량은 50파운드라고 했으므로, 이 중 49파운드는 물이 된다. 따라서 49파운드가 물이고 총 중량은 50파운드이므로, 수분함유율은 98%가 맞다. 즉, 감자역설은 초기에 고체 감자보다 물의 양이 월등히 많다는 걸 생각지 않고 단순히 수치만 비교했기 때문에 역설처럼 느껴질 정도로 기이하게 보이는 것이다.

이 문제를 식으로 쓰면 좀 더 명확해진다. 줄어든 무게를 x파운드로 놓으면, 다음과 같은 식을 세울 수 있다.










샌드위치 정리의 다른 말, 두 경찰관과 술꾼 정리!

‘샌드위치 정리’, ‘압착 정리’, ‘스퀴즈(손가락으로 꾹 눌러 짠다는 뜻) 정리’등 다양하게 불리는 이 정리는 고등학교 2학년 함수의 극한에서 배운다.

위 정의에서 함숫값이 어떤 수에 무한히 가까워질 때 ‘수렴한다’고 하고, 그 값을 극한값’이라고 하는 것만 기억해도 좋다. 그리고 샌드위치 정리에서는 그 재료들이 빵 사이에 끼어 있는 것처럼, 어떤 함수가 두 함수 사이에 끼어 있는 성질을 이용해 문제를 해결한다. 직접 구하기 힘든 어떤 함수의 극한값을 구하기 위해, 구하기 쉬운 다른 두 함수의 극한값과 비교하는 것이다.

이탈리아, 중국, 프랑스 등에서는 이 정리를 ‘두 경찰관과 술꾼 정리’라고도 부른다. 두 경찰관이 술에 취한 사람을 양쪽에서 붙잡고 가다가, 감방으로 끌고 들어가는 모습에 빗댄 것이다. 실생활에서 흔히 볼 수 있는 현상이나 음식에 빗대 수학 이론의 이름을 붙인 것이 흥미롭다.
수학동아