숫자로 풀어 보는 바둑의 원리

숫자로 풀어 보는 바둑의 원리

올해 중국에서 열리는 광저우아시안게임에서 바둑은 처음으로 정식종목이 됐다. 금메달이 3개나 걸려 바둑이 또 하나의 스포츠로 인정받은 셈이다. 이 글에서는 바둑을 전혀 모르는 사람도 바둑을 쉽게 이해할 수 있는 원리를 설명하고자 한다. 바둑돌을 전기를 띤 알갱이로 비유하는 방식으로 말이다. 평소 생각을 정리한 것이지만 필자의 바둑 실력이 아마추어 3, 4단밖에 안 돼 기고를 망설여왔다. 하지만 수치적 결과들이 재미있고 명쾌해 감히 소개해 보기로 한다.


우주를 담은 스포츠, 바둑

바둑판은 가로세로가 똑같이 19줄로 총 19×19=361집을 갖는다. 한가운데 있는 ‘천원’이라는 점을 제외하면 모두 360집이 되는데, 이는 1년이 약 360일이라는 천문학적 사실에서 비롯한 것이다. 흑과 백이 어우러지는 바둑은 음양오행 이론에 기반을 두고 우주를 형상화한 스포츠다. 그래서 ‘신선놀음’ 또는 ‘선비놀음’ 하면 가장 먼저 떠오르는 것 역시 바둑이다. 서양의 체스가 동양의 장기에 해당한다고 볼 때, 서양에는 동양의 바둑에 해당하는 스포츠가 없다. 이 사실만 봐도 우주에 대한 동양의 애착이 서양보다 더 깊다고 한다면 과언일까?

심오한 바둑의 원리를 수치적으로 설명하기 위해 이 글에서는 바둑돌을 전기장을 형성하는 전하에 비유하고자 한다. 즉 <그림 1>처럼 주변에 거리 제곱에 반비례하는 전기력을 미치는 *전하와 바둑돌을 동일시하겠다는 뜻이다. 바둑을 전혀 모르는 사람도 이 글을 읽는 데 지장이 없을 것으로 믿는다.

<그림1> 전하와 바둑돌

가정1 바둑돌은 주변에 거리 제곱에 반비례하는 힘을 미친다

<그림2> 힘이 미치는 돌 주변

위와 같은 가정 아래 <그림 2>를 보자. 점 A는 흑돌에서 거리가 1(칸)이다. 돌이 거리가 더 먼 점 B에 미치는 힘은 점 A에 미치는 힘보다 약할 수밖에 없다. 그러면 얼마나 더 약할까? 돌이 거리 제곱에 반비례하는 힘을 미친다고 가정했으니까 답은 간단하다. 돌에서 점 B까지의 거리는 2이므로 제곱은 4가 되고 힘은 1 4    로 약해지는 것이다.

<그림3> 돌이 미치는 힘의 세기

점 C는 어떨까? 돌에서 점 C까지 거리의 제곱을 피타고라스 정리를 이용해 구하면 2 2   +2 2   =8이다. 점 C는 점 A보다 1 8    의 힘을 받는다고 결론내릴 수 있다. 이런 식으로 돌이 주변 점들에 미치는 힘을 구하면 <그림 3>처럼 된다.

<그림4> 보정된 힘의 세기

<그림 3>은 돌의 영향력이 거리가 멀어질수록 감소한다는 사실을 보여 준다. 특히 돌을 포함한 행과 열, 대각선 방향의 분수는 규칙성을 가진 수열을 이룬다는 점이 눈에 띈다. 그런데 <그림 3>은 분수로 나타나 있어 의미가 금방 눈에 들어오지 않는다. 그래서 모든 분수에 40을 곱한 <그림 4>를 활용하기로 한다. <그림 4>의 숫자는 반올림해서 소수점 첫째 자리까지 표기했다.

가정2 여러 바둑돌이 미치는 힘은 숫자의 합으로 구한다

<그림5> 나란히 높인 두 돌 주변

두 번째 가정은 계산을 최대한 단순하게 만들기 위해서 도입했다. 필자는 계산기를 쓰지 않고, 심지어 지루한 국제선 비행기 안에서도 손으로만 계산해 이 원고를 작성했다. 힘의 세기는 단순한 숫자의 합이 아니라 방향도 같이 고려해야 한다. 하지만 방향의 합은 계산기를 쓰지 않고는 구할 수 없을 뿐 아니라 값이 크게 다르지 않으므로 이 가정을 받아들이기로 한다.

<그림6> 두 돌 주변의 힘

두 바둑돌이 나란히 놓인 <그림 5>를 보자. 두 돌이 점 A에 미치는 힘은 어떻게 구할까? <그림 4>에서 왼쪽 돌이 점 A에 미치는 영향은 40, 오른쪽 돌이 미치는 영향은 20임을 알 수 있다. 따라서 가정 2에 따라 두 돌이 점 A에 미치는 힘의 세기는 40+20=60이 된다.

<그림7> 적당히 떨어진 두 돌

마찬가지로 두 돌이 점 B에 미치는 힘은 40+10=50, 점 C에는 10+8=18, 점 D에는 5+8=13이 된다. 이런 식으로 나란히 놓인 두 돌 주변의 힘의 세기를 구하면 <그림 6>과 같이 된다.

<그림8> 멀리 떨어진 두 돌

이번에는 <그림 6>의 경우보다 두 돌의 간격을 더 넓힌 <그림 7>과 <그림 8>의 경우를 보자. 주어진 숫자의 크기를 보더라도 <그림 7>의 경우가 <그림 6>이나 <그림 8>의 경우보다 더‘효율적’임을 알 수 있다. 효율적이란 말은 두 돌이 미치는 힘이 더욱 넓고 크게 퍼져나갈 수 있다는 뜻이다. 여기서 <그림 7>의 두 돌 간격이 적당하다는 사실을 깨닫게 된다. 실제 바둑에서도 <그림 6>이나 <그림8>처럼 두 돌을 놓는 경우는 흔치 않다. 마찬가지 원리로 <그림 9>의 A와 같은 ‘빈삼각’ 모양이나 B와 같은 ‘포도송이’ 모양을 피하는 이유도 잘 설명된다.

<그림9>

가정3 흑과 백은 서로의 힘을 소멸시킨다

<그림10> 흑과 백이 서로 힘을 상쇄시키는 예

바둑은 둘이 두는 스포츠다. 따라서 흑이 놓으면 다음은 백의 차례가 된다. 흑의 돌이 <그림 4>처럼 어딘가에 놓여 바둑판 전체에 힘을 미치고 있다고 하자. 백은 어디에 둬야 할까? 백돌도 <그림 4>처럼 주변에 힘을 미쳐야 하지만 가정 3에 따라 우리는 백돌이 미치는 힘에 (-) 부호를 붙이기로 한다. 즉 <그림 10>처럼 흑돌이 주변에 (+) 값의 숫자로 힘을 미친다면 백돌은 (-) 값의 숫자로 흑돌의 힘을 상쇄시키는 것이다.

<그림11> 사석의 정의

이 가정을 도입하면 원리적으로는 바둑 소프트웨어를 만들 수 있다. 흑이 첫 수를 두면 바둑판에서 돌이 놓인 점을 제외한 나머지 360점에 미치는 힘의 크기를 모두 (+) 숫자로 부여한다. 다음으로 백이 두면 359점에 (-) 숫자를 부여해 흑돌이 부여했던 (+) 숫자들을 상쇄시키는 것이다. 즉 백이 놓아야 할 곳은 흑의 힘을 최대한 상쇄시키는 점이 된다. 물론 처음에는 답이 여러 개 나오겠지만 경기를 진행할수록 개수는 줄어들 것이다.

가정 3은 <그림 11>처럼 사석, 즉 죽은 돌을 정의하는 데도 자연스럽다. 즉 사방이 막혀 힘을 잃은 돌을 죽었다고 정의하는 것이다.

<그림12>

바둑에서는 한 점을 들어낸 모양을 ‘빵때림’ 했다고 표현한다. ‘빵때림 30집’이라는 말이 있듯이 빵때림의 위세는 대단하다. <그림 4>처럼 숫자로 표현하면 빵때림의 위세는 <그림 12>에서 보는 바와 같다.

<그림13> 포석의 시작 예

문제는 계산대로라면 흑이 첫 수를 무조건 바둑판의 한가운데인 *‘천원’에 둘 수 밖에 없다는 점이다. 그래야만 백이 다음 수를 어디에 두더라도 (+)값이 남기 때문이다. 이것만 보더라도 먼저 두면 유리하다는 사실을 깨닫게 된다. 하지만 실제 바둑에서는 바둑판의 가운데보다는 *‘변’에, 변보다는 *‘귀’에 먼저 돌을 놓는다. 예를 들어 바둑 초반, 즉 포석단계에서는 <그림 13>에서 보는 바와 같이 첫 수를 흑이 *‘화점’에 두고 백은 다른 화점 A, B, C 주위 어딘가에 두게 된다.

<그림14> 변의 포석 예/ (X) (O)

이뿐 아니다. 포석단계에서 <그림 14>에서 보는 바와 같이 가장자리로부터 5번째 줄부터 중앙 방향으로는 돌을 놓지 않는다. 따라서 우리는 귀와 변에 가산점을 부여할 수밖에 없다. 그리고 변보다는 귀가 가산점이 더 커야 한다.

가정4 바둑판의 가장자리는 힘을 반사하는 '거울'이다

<그림15> 거울에 둘러 싸인 물체와 4개의 허상

문제는 귀와 변에 어떻게 가산점을 주느냐에 있다. 필자는 그 방법의 하나로 바둑판의 가장자리를 거울로 가정하는 아이디어를 제시하고자 한다. <그림 15>에서 보는 바와 같이 사방이 거울로 둘러싸인 한 점에 물체가 놓이게 되면 물체 하나에 4개의 *‘허상’이 맺힌다. 이것을 바둑판에 적용해 보자.

필자의 생각은 바둑돌의 허상 4개의 힘을 합해 주자는 것이다. 이를 고려하면 <그림 16>에서 보는 바와 같이 힘의 크기가 마치 거울에 반사해 보태지는 것처럼 자연스러워진다.

<그림16> 허상을 고려하여 보정된 힘의 크기

그뿐 아니라 돌이 귀에 가까이 놓일수록 허상 2개가 더욱 접근하므로 귀는 자연스럽게 변보다 더욱 큰 값을 갖게 된다. <그림 15>에서는 바둑판을 위에서 내려다 보는 것이고 <그림 16>에서는 바둑판을 옆에서 보는 것임에 유의하자.

<그림17> 허상으로 보정된

이런 식으로 돌이 ‘33’에 놓인 경우를 <그림 4>처럼 나타내면 <그림 17>이 된다. 비교하면 값이 분명하게 보정됐음을 알 수 있다.


바둑 소프트웨어 만들기

<그림18> 바둑판의 수학적 정의

앞에 나온 4개의 가정을 이용하면 적어도 원리적으로는 바둑 소프트웨어를 만들 수 있다. 정확한 표현을 위해 수식을 적절히 이용하기로 한다.

먼저 바둑판을 (x, y) 좌표계 위에 올려 정의해 보자. 그러면 화점 9개의 좌표는 왼쪽 아래부터 각각 (4, 4), (10, 4), (16, 4), (4, 10), (10, 10), (16, 10), (4, 16), (10, 16), (16, 16)이 된다.

바둑돌 하나가 (m, n)에 놓여 있다고 하자. 물론 m, n은 1부터 19까지의 자연수다. 이 바둑돌이 자신을 제외한 어떤 점 (x, y)에 미치는 힘의 크기는 다음과 같다.

(x, y)와 (m, n) 사이의 거리의 제곱 : (x−m) 2   +(y−n) 2  

가정 2에서 돌 하나가 다른 돌에 미칠 수 있는 최대의 힘은 40이고, 힘은 거리 제곱에 반비례하므로, f 0   (x,y) = 40 (x−m) 2 +(y−n) 2    

<그림19> 허상 4개의 위치

여기에 가장자리를 거울로 보는 가정 4에 따라 허상 4개의 힘을 계산해 더하면 된다. 허상의 위치는 각각 직선 x=1, x=19, y=1, y=19에 대칭인 곳에 있다. 그림에서처럼 (m, n)에 돌이 놓이면 허상 4개는 각각 (2-m, n), (38-m,n), (m, 2-n), (m, 38-n)에 위치한다.

따라서 x = 1에 대칭인 허상이 미치는 힘 f x=1   (x,y)은 아래와 같다.

f x=1   (x,y) = 40 (x+m−2) 2 +(y−n) 2    
나머지 허상이 미치는 힘도 각각 다음처럼 구할 수 있다.
f x=19   (x,y) = 40 (x+m−38) 2 +(y−n) 2    
f x=1   (x,y) = 40 (x−m) 2 +(y+n−2) 2    
f x=19   (x,y) = 40 (x−m) 2 +(y+n−38) 2    

이 모든 f 값들의 합 F(x, y)는 다음과 같다.
F(x,y) = f 0   (x,y)+f x=1   (x,y)+f x=19   (x,y)+f y=1   (x,y)+f y=19   (x,y)

이제 사람이 먼저 흑을 두고 컴퓨터가 백을 두는 소프트웨어를 생각해 보자.

➊ 흑돌이 미치는 힘의 크기 구하기
맨처음 사람이 흑돌을 오른쪽 위의 화점, 즉 좌표 (16, 16)에 뒀다고 하자. 그러면 소프트웨어는 점 (16, 16)을 제외한 나머지 360점 각각에 대한 F 1   (x, y) 값을 모두 구한다.

➋ 백돌이 미치는 힘의 크기 구하기
백돌은 흑돌의 힘을 소멸시키기 때문에 백돌이 미치는 힘을 구하기 위해 모든 수식에 (-)를 붙인다. 백돌이 (1, 1)에 놓는다고 가정하고 두 점 (1, 1), (16, 16)을 제외한 359점 각각에 대한 F 2   (x, y) 값을 모두 구한다.

➌ 흑돌이 미치는 힘에 백돌이 미치는 (-) 힘 더하기
359점 각 위치에서 F 1   (x, y) + F 2   (x, y)를 계산한 값을 S라 하자. 백돌을 (1, 1)에 놓았다면 S는 양수일 것이다. 왜냐하면 점 (1, 1)은 바둑판의 모서리에 위치해 매우 비효율적이기 때문이다.

➍ 2, 3번 과정을 반복해 S가 가장 작은 점 찾기
2, 3번 과정을 반복하면서 백돌이 (1, 2), (1, 3), ……, (19, 18), (19, 19)에 차례로 놓인다는 가정 아래 S를 모두 구한다.S가 가장 작은 점이 컴퓨터가 백돌을 놓아야 하는 곳이다. 여러 점이 같은 값을 가질 수 있는데 컴퓨터는 그 중 하나를 고르면 된다.

➎ 바둑 소프트웨어는 1~4번 과정을 반복하면서 백돌을 놓을 위치를 정한다.

더욱 정확한 소프트웨어를 만들려면 가정 2를 버리고 방향의 합을 함께 고려하는 방식으로 바꿔야 할 것이다. 하지만 근본적으로 바둑돌의 힘이 거리에 따라 얼마나 달라지는지 소프트웨어를 만들어 돌려보기 전에는 알 길이 없다. 또한 거울의 반사율도 문제가 될 것이다. 일단 완성된 소프트웨어가 바둑을 두는 정석들을 잘 구현하는지 여부에 따라 미세하게 조정해야 할 것이다.

위대한 바둑 9단

프로 바둑기사가 아무리 잘 해도 9단이 끝이다. 여러 가지 이유가 있겠지만, 동양에서 하늘을 9개로 나누는 ‘9천사상’ 때문이다. 워낙 9라는 숫자를 받들다 보니 봉우리가 많은 산은 죄다 ‘9봉산’이라고 이름을 지어 우리나라에 9봉산이 몇 개나 있는지 모른다. 이처럼 ‘9단’은 위대한 것이다.

* 전하: 물체가 띠고 있는 정전기의 양, 양전하와 음전하로 나뉜다.
*귀, 변, 화점, 천원 : 바둑판의 네 귀퉁이 부분을 ‘귀’라 하고, 귀와 귀 사이의 가장자리 부분을 ‘변’이라고 한다. 따로 표시된 9개의 점을 ‘화점’이라고 하는데 특히 중앙의 것을 ‘천원’이라고 한다.
*허상 : 빛이 거울에 반사될 때, 그 반사되는 방향과 반대의 방향으로 연장한 곳에 맺히는 가상적인 상.

 박석제 한국천문연구원

수학동아