완전 기대 새학기 생활! 수학은 공평해

지금쯤 여러분은 새학기에 대한 불안감은 어느 정도 가라앉고 대신에 앞으로의 생활에 대한 기대로 가득할 거야. 아침에 학교를 가는 발걸음도 가벼워졌겠지. 아, 내친 김에 새로 만난 반 친구들과 모여서 함께 학교에 가는 건 어떨까?
연락처는 이미 주고받았으니 한번 연락해 보렴. 다들 좋다고 하지? 그러면 아침에 어디서 만나기로 했니?


어디서 만나야 공평할까?

친구 3명이 모여 함께 학교에 가기로 했다면 각자의 집에서 거리가 똑같은 곳에 모여야 공평할 거야. 이럴 때는 삼각형의 외심 개념을 이용할 수 있어. 어떤 삼각형이 있을 때 삼각형의 꼭지점 3개를 모두 지나는 원을 그릴 수 있지? 이 원을 삼각형의 외접원이라고 하는데, 외심은 외접원의 중심을 말해.

외심에서 각 꼭지점까지의 거리는 원의 반지름과 같으므로 모두 똑같아. 각 꼭지점을 친구 3명의 집이라고 하면 외심에서 모일 경우 각자의 집에서 거리가 똑같은 곳에 모일 수 있어. 외심은 삼각형의 세 변을 각각 수직으로 2등분하는 직선을 이용해 구할 수 있어.

삼각형의 외심을 이용하니 누구도 불만없도록 공평한 장소에서 만나 학교에 올 수 있었지? 이렇게 수학을 이용하면 공평하게 일을 처리할 수 있어.


삼각형의 외심 구하는 법

삼각형의 외심 구하는 법

➊ 그림과 같이 컴퍼스를 이용해 삼각형의 한 변에 호를 그린다. 이 때 컴퍼스는 변의 길이의 절반이 조금 넘게 적당히 벌려 준다.
➋ 호 2개가 만나는 점 2개를 이어 주면 삼각형의 한 변과 수직으로 만나면서 정확히 2등분하는 직선을 그릴 수 있다.
➌ 나머지 두 변에 대해서도 똑같이 한다.
➍ 이렇게 생긴 3개의 직선은 한 점에서 만난다. 이 점이 바로 외심이다.


몇 명씩 맡아야 공평할까?

음~. 기왕 공평하게 나누는 것에 대한 이야기가 나왔으니 말인데, 공평하게 나눠야할 게 하나 더 있단다. 바로 청소구역이야.
선생님께서 청소구역이 어딘지 알려 주실 테니까 잘 듣고 어떻게 인원을 나눠야 공평할지 생각해 보라고.

어디 보자. 선생님께서 말씀하시길, 여러분의 반은 건물 바로 앞에 있는 화단과 건물 뒤쪽에 안 쓰는 물건을 쌓아 놓는 공터, 그리고 철봉 옆에 있는 쉼터래. 반 인원을 나눠서 그 곳의 쓰레기를 줍기만 하면 돼.

그냥 이렇게만 이야기하면 공평하게 나누기 힘드니까 힌트를 줄게. 화단은 넓이가 75㎡, 건물 뒤 공터는 50㎡, 철봉 옆 쉼터는 25㎡란다.

각각 75㎡, 50㎡, 25㎡로 넓이가 다른 청소구역에 공평하게 인원을 배정하려면 비례식을 이용하면 돼. 천체 청소구역에 대한 각각의 구역 넓이의 비율을 계산해 그 비율만큼 인원을 배정하는 거야.

화단 : 75㎡ 75㎡+50㎡+25㎡    =75 150    =1 2   
공터 : 50㎡ 75㎡+50㎡+25㎡    =50 150    =1 3   
쉼터 : 25㎡ 75㎡+50㎡+25㎡    =25 150    =1 6   

따라서 화단에는 반 인원의 1 2    을, 공터에는 1 3    을, 쉼터에는 1 6    을 청소당번으로 정해주면 돼. 한 반의 학생수가 30명이라면 화단을 15명, 공터를 10명, 쉼터를 5명이 청소하면 누구에게나 공평하지.


언제 어디서나 수학!

드디어 본격적으로 수업이 시작되었구나. 오랜만에 수업을 들으려니 집중도 안 되고 졸립기도 할 거야. 하지만 선생님 말씀을 잘 들으면서 정신을 차려 보렴. 금세 또 익숙해질 테니까.

때르릉~.
아, 쉬는 시간이 되었구나. 신이 나서 교실 밖으로 쏟아져 나오는 친구들이 보여.화장실에도 수많은 아이들이 길게 줄을 서있어. 그 중에는 급한지 발을 동동 구르는 친구도 있고 말이야. 큭큭.

그런데 화장실에 줄 서 있는 모습이 너무 무질서한걸? 그렇게 아무렇게나 줄을 서면 오히려 기다리는 시간이 길어진다고~.

칸별로 줄서기 vs 한줄 서기

화장실에서 칸마다 줄을 서는 것과 칸과 상관 없이 한줄로 서는 것 중 어느 쪽이 효율적일까? 직접 계산해 보자. 화장실에 3개의 칸이 있고, 이용하려는 사람은 12명, 한 사람이 한 칸에서 보내는 시간이 3분이라고 가정하자고 .

칸별로 줄서기

칸별로 줄서기

한 명이 3분 식 이용하므로, 각 줄의 맨 뒤에 있는 사람은 9분을 기다린 다음에 화장실을 쓸 수 있다.

한줄 서기

한줄 서기

3분에 3명씩 빠지므로 맨 뒤에 서 있는 사람도 9분을 기다리면 화장실을 쓸 수 있다.

이렇게만 보면 칸별로 줄서기나 한줄 서기나 기다리는 시간은 비슷해 보여. 하지만 누군가가 화장실을 20~30분씩 차지하는 일이 생기면 얘기는 달라지지.
칸별로 줄을 섰을 때는 그 칸에 줄을 선 나머지 사람들은 20~30분을 기다려야 해. 하지만 한줄로 섰을 때는 다른 칸을 이용할 수 있기 때문에 무작정 기다려야 하는 일이 없어져. 게다가 나중에 온 사람도 어느 줄에 서야 하는지 눈치 볼 필요 없이 줄을 서면 되기 때문에 훨씬 더 효율적이야.


위치를 정확히 알리자

볼일을 보고 나오는데 누군가 여러분의 어깨를 툭 치는 거야. 고개를 돌려 보니 작년에 같은 반이었던 친구가 반가운 표정을 짓고 있어. 친구가 다음 쉬는 시간에 놀러가겠다며 자리가 어디에 있는지를 물었어. 어떻게 말해야 친구가 한 번에 찾을 수 있도록 알려 줄 수 있을까?

교실 안에서 누군가의 위치를 정확히 표현하려면 좌표를 쓰면 돼. 좌표는 공간에 있는 점의 위치를 수의 순서쌍으로 표현하는 방법이야. 여기서는 데카르트의 평면좌표를 이용해 보자. 데카르트의 좌표는 직교 좌표라고도 하며 서로 수직인 x축과 y축을 이용해. 교실을 위에서 본 모습을 평면이라고 생각하고 x축과 y축을 정해 봐. 교실 한 가운데를 (0,0)으로 두고 위치를 알아보렴.

좌표를 통한 위치전달

그러면 교실에서 내 위치가 (2,3)에 있는지 (-3,1)에 있는지 위치를 정확히 말해 줄수 있어. 교실 어디에 있더라도 두 개의 숫자만으로 친구에게 내 자리가 어디인지 정확한 위치를 전달할 수 있는 거야.


수학으로 맞이하는 새학기

수학으로 새학기를 맞이해 본 소감이 어떠니? 모든 것이 새로운 첫 날부터 새 환경이 익숙해지는 그 순간까지 벌어지는 수많은 일 속에도 수학이 관여하고 있다는 사실은 정말 놀라워. 사실 수학은 새학기뿐만 아니라 우리 생활 어디에나 관여하고 있단다. 앞으로도 꾸준히 교실에서 벌어지는 일속에서 수학을 찾아본다면 그야말로 보람찬 학교 생활이 될 거야~!

수학동아