수학사에 남을 ‘15번째 오각형’이 발견됐다고?

우리 주변을 살펴보면 같은 규칙으로 면을 채운 형태를 많이 접하게 됩니다. 가령 욕실 바닥이나 인도의 보도블록, 내 방의 벽지 등 일정한 규칙으로 면을 채워 붙인 형태입니다. 최근 서영이는 수학사에 남을 15번째 오각형이 발견되었다는 뉴스를 보았습니다(그림 1 참조). 


바닥면에 겹치거나 빈틈이 없도록 타일을 붙일 수 있는 새로운 오각형이 3명의 수학자에 의해 발견되었다. 30년 만에 이루어진 이 새로운 오각형의 발견은 수학사의 한 쪽을 장식할 ‘사건’으로 평가받고 있다.

서영: “엄마, 빈틈이 없이 오각형을 붙인다는 것이 그렇게 어려운 일인가요?”

엄마: “글쎄, 합동인 도형으로 붙인다는 것이 중요한 점이겠지.”

서영: “합동요?” 

엄마: “그래. 모양과 크기가 같은 도형을 합동이라 한단다. 이런 합동인 도형으로 면을 채우는 것이 몇 가지 종류나 가능할까 밝혀내는 것도 재미있는 도전이었단다.”

서영: “뉴스에서 본 것 같은, 그런 오각형이 또 있을 수 있을까요?”

엄마: “지금까지 평면을 덮을 수 있는 오각형 종류가 14개가 발견된 상태였단다. 마지막 종류는 1985년에 발견되었는데, 이제 또 하나 발견되었으니 모두 15개가 되었구나. 그렇지만 평면을 덮을 수 있는 오각형의 종류가 더 있는지는 아직 아무도 모른단다.”

서영: “아, 그렇군요. 오각형 말고도 다른 도형으로도 평면을 덮는 게 가능할까요?”

엄마: “그럼 가능하지. 몇 가지 정다각형부터 생각해볼까?


● 합동과 쪽매붙임 

2개의 도형이 크기와 모양이 똑같아서 완전히 포개어질 때 두 도형을 합동이라고 합니다. 즉, 한 도형을 뒤집기, 돌리기, 옮기기와 같은 방법을 다양하게 사용하여 크기나 모양을 바꾸지 않고 다른 도형과 겹쳐지면 두 도형은 합동이라고 할 수 있지요.

한편, 내부를 갖는 평면도형들을 알맞게 서로 이어 붙이면 평면을 덮을 수 있습니다. 평면을 한 가지 또는 그보다 많은 합동인 기본 도형들로 겹치지 않게 빈틈없이 붙인 것을 쪽매붙임(tiling)이라고 합니다. 그렇다면 정다각형 하나를 기본도형으로 하여 쪽매붙임이 가능한 정다각형은 어떤 것이 있을지 수식으로 알아볼까요?

먼저, 정다각형의 한 내각에 대해 알아봅시다.  

한 삼각형의 내각의 합이 180도이므로 정다각형의 내각의 합은 삼각형으로 쪼개어 생각할 수 있습니다. 사각형은 2개의 삼각형으로 나뉘기 때문에 2×180도=360도, 오각형의 경우는 3개의 삼각형으로 나뉘며 3×180도=540도입니다. 같은 방법으로 육각형은 720도 등으로 모든 정다각형의 내각의 합을 구할 수 있습니다. 

이때, 정다각형의 한 내각의 크기는, 내각의 합을 다각형의 각의 개수로 나누어 구할 수 있습니다. 예를 들어 정사각형의 한 내각은 2×180도÷4=90도, 정오각형의 한 내각은 3×180도÷5=108도가 되는 것이지요. 따라서 정다각형의 한 꼭짓점에 합동인 정다각형이 몇 개 모여 쪽매붙임이 되었다고 가정하면, ‘(정다각형의 한 내각)×(한 꼭짓점에 모인 정다각형의 수)=360도’의 식이 성립해야 합니다.  

그런데 이 식을 만족하는 경우는 정삼각형, 정사각형, 정육각형 등 세 가지뿐입니다(그림 2 참조). 

정삼각형: (180도÷3=60도)×6=360도 

정사각형: (360도÷4=90도)×4=360도 

정육각형: (720도÷6=120도)×3=360도 

혹시 정삼각형이 아닐 경우에도 삼각형 내각의 크기 합은 180도이므로 합동인 도형의 세 각을 알맞게 붙이면 어떤 모양의 삼각형이라도 평면을 빈틈없이 겹치지 않게 덮을 수 있다는 것을 알 수 있습니다. 또, 어떠한 볼록한 사각형을 기본 도형으로 하여도 사각형의 내각의 합은 360도이므로 사각형의 네 개의 꼭짓점이 한 점에 모이도록 하면 평면을 빈틈없이, 겹치지 않게 덮을 수 있습니다. 육각형은 3개의 형태의 쪽매붙임이 있음이 밝혀졌습니다. 육각형으로 이루어진 쪽매붙임의 3가지 형태가 무엇인지 생각해보는 것도 흥미로운 작은 발견이 될 수 있겠습니다. 

● 오각형의 쪽매붙임 

정오각형의 경우, 세 도형이 한 꼭짓점이 모여 360도가 되지 않아 쪽매붙임을 할 수 없지만 정오각형이 아닌 오각형의 경우는 쪽매붙임이 되는 경우가 있습니다. 다섯 개의 각을 각각 A, B, C, D, E 라 하면 B+C=180도이고, A+D+E=360도인 오각형의 경우는 다음과 같이 쪽매붙임이 가능합니다(그림 3-1, 그림 3-2 참조). 

또, 세 번째 유형의 경우는 오각형의 내각 A, B, C, D, E 의 대변의 길이를 a, b, c, d, e라고 할 때, a=b, d=c+e, A=C=D=120°로 세 개를 붙인 경우 평면을 채울 수 있는 정육각형을 이용한 예입니다(그림 4-1, 그림 4-2 참조).  

이번에 15번째로 발견한 기본도형 5각형은 다음과 같은 내각을 가진 도형이라고 합니다(그림 5-1, 그림 5-2 참조).  

오각형의 내각이 C+C+E=360도, A+E+E=360도, A+A+D+E=360도로 평면을 채울 수 있는 경우지요. 이번 발견으로 지금까지 발견된 쪽매붙임이 가능한 오각형은 15개가 되었습니다. 참 아름답지 않나요? 또 참 신비로운 것 같습니다.

박지현 반포고 교사