중등영재교육원 대비 수학 특강]쌀장수와 요술항아리

지게에 쌀가마니를 얹고 이 마을 저 마을을 다니며 쌀을 팔아 어렵게 살아가는 쌀장수가 있었습니다. 이 쌀장수는 마음이 착해서 자기보다 어려워 보이는 집을 그냥 지나치지 못하고 조금씩이나마 자기의 쌀을 그냥 주곤 해서 마을 사람들로부터 평판이 자자했습니다. 때문에 정작 자신은 간신히 끼니를 잇는 정도를 벗어나지 못했지만 마음만은 항상 행복했습니다.

어느 날 평소와 마찬가지로 쌀가마니를 지고 나선 쌀장수가 처음 보는 마을에 들렀는데, 마을 입구의 허름한 초가에서 며칠을 굶었는지 알 수 없을 정도로 야윈 할머니 한 분을 발견하였습니다. 급히 밥을 지어 할머니께 대접하고 팔려고 가지고 나온 나머지 쌀을 내려놓고 빈손으로 나오는데, 기운을 차리신 할머니께서 고맙다며 보답으로 마당에 있던 커다란 항아리를 가져가라고 하셨습니다. 쌀장수가 그 항아리를 살펴보니 볼품없는 모양에 무게도 상당하였지만 할머니의 마음을 거절할 수 없어 지게에 얹고 돌아갈 준비를 하였습니다. 마당을 나서는 쌀장수에게 할머니께서 다음과 같은 당부를 하셨습니다.

“그 항아리는 요술 항아리라네. 일단 쌀을 넣고 뚜껑을 닫아 두면 둘째 날에는 첫째 날보다 ½만큼 더 늘어나고, 셋째 날에는 전날보다 ⅓만큼, 넷째 날에는 전날보다 ¼만큼 더 늘어난다네. 조심할 것은 중간에 뚜껑을 열어봐서는 안 되며, 뚜껑을 열기 전에 미리 항아리 속에 들어 있는 쌀의 양을 정확하게 계산하여 뚜껑에 적은 다음 열면 그 만큼의 쌀이 나오지만, 만일 틀리면 모두 사라지니 조심하게나. 천일을 넘기면 항아리가 사라지니 그 전에는 꼭 열어 보게.”

집으로 돌아온 쌀장수는 반신반의하며 쌀 한 가마니를 항아리에 넣고는 뚜껑을 닫아 놓은 채 마당 한 구석에 두고는 까맣게 잊고 지냈습니다. 세월이 흘러 이사 갈 준비를 하던 쌀장수가 집 안을 정리하던 중 그 항아리를 발견하고는 날짜를 세어 보니 오늘이 999째 날이 아닙니까! 하지만 수학을 못하는 쌀장수는 뚜껑에 얼마를 적어야 할 지 몰라 고민하고 있습니다. 여러분이 마음 착한 쌀장수를 도와주세요. 항아리에 들어 있는 쌀은 얼마일까요?

첫째 날의 쌀의 양을 1이라고 하면 둘째 날은1x(1+½), 셋째 날은1x(1+½)x(1+⅓) , 넷째 날은 1x(1+½)x(1+⅓)+ (1+¼) 만큼의 쌀이 들어 있습니다. 각 괄호 안의 수의 합을 가분수로 나타내어 999째 날에 항아리에 들은 쌀의 양을 표시하면 1x½ x⅓ x¼…x1000/999만큼의 쌀이 들어 있습니다. 앞 분수의 분자와 다음 분수의 분모가 서로 같은 규칙을 이용하여 약분하면 위 식은 1x½x1000과 같으므로 999째 날에는 500가마니의 쌀이 들어 있습니다.

시험에 출제되는 복잡한 형태의 분수 연산은 대부분 규칙을 통해 간단히 해결할 수 있는 유형입니다. 이 때 주로 사용되는 방법은 부분분수로 나타내기, 이웃하는 두 항 사이의 합 또는 곱의 규칙을 찾기, 반복되는 부분을 치환하여 계산하기, 복잡한 식을 변형하여 규칙 만들어내기 등이 있습니다. 다음에 제시된 문제들을 여러 가지 방법으로 간단히 하여 해결해 보기 바랍니다.

경향신문