중등영재교육원 대비 수학 특강] 쌓기나무 정복하기

ㆍ입체를 머리 속에 그려보자공간 지각력을 발달시키고 측정하는 데 가장 많이 사용되는 도구 중의 하나로 쌓기나무가 있습니다. 대개 공식이나 요령에 의존하여 수 연산이나 문장제를 해결하는 데 익숙해져 있다 보니, 딱히 공식이랄 것이 없고 요령이 있다 해도 그 경우가 다양할 뿐만 아니라 그나마 머릿속에서 입체를 구체화할 수 있는 능력이 전제되는 쌓기나무 문제를 접하게 되면 당황하기 마련입니다.

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교과 과정에서 쌓기나무는 관찰하기부터 시작하여 관찰한 모양을 보고 재구성하고, 모양을 보고 사용된 개수를 예측하거나 정해진 개수를 통해 제한된 모양을 완성하는 과정을 거쳐 겉넓이와 부피를 묻는 과정을 따라가게 됩니다. 하지만 이 모든 과정에 공간 지각력이 전제되기 때문에 체감 난이도는 어린 학생이나 성인이나 별 차이가 없을 수 있습니다. 다음 문제를 함께 해결하여 봅시다.

“다음 그림과 같이 모서리가 5㎝인 정육면체의 각 모서리를 5등분하고, 가운데 부분을 모두 관통시킨 입체도형을 만들었습니다. 이 입체도형을 관통시키기 전과 관통시킨 후의 겉넓이의 차를 구하시오.”

맨 위쪽을 5층이라고 하여 각 층별로 뚫린 부분을 다음과 같이 색칠하여 봅니다. 단, 5층과 4층 그림에서 ○ 표시한 부분은 각각 4층, 3층에 정육면체가 없는 부분입니다.

각 층에서 겉넓이에 해당하는 면의 개수를 살펴보면,

① 5층에서는 위 20개, 아래 4개, 옆 32개로 모두 56개입니다.

② 4층에서는 위는 없고, 아래 12개, 옆 32개로 모두 44개입니다.

③ 3층에서는 위, 아래에는 없고 옆면만 16개입니다.

④ 2층, 1층은 각각 4층, 5층과 위, 아래의 방향만 다르고 겉넓이는 같습니다.

따라서 관통시킨 입체도형의 겉넓이에 해당하는 면은 모두 216개인데, 관통시키기 전의 입체도형의 겉넓이에 해당하는 면은 25×6=150(개)였으므로 관통시킨 후 66개의 면만큼 겉넓이가 늘어났음을 알 수 있습니다. 즉, 겉넓이의 차는 66㎠입니다.

<1> 한 모서리의 길이가 1m인 정육면체의 모서리를 각각 다음과 같이 3등분, 4등분, 5등분하면 60개의 직육면체가 생깁니다. 이 60개의 직육면체의 겉넓이의 합을 구하시오.

<2> 한 모서리의 길이가 1㎝인 정육면체로 만든 입체도형을 앞, 오른쪽 옆, 위에서 본 모양이 다음과 같습니다. 쌓기나무를 가장 많이 사용했을 때와 가장 적게 사용했을 때, 두 입체도형의 겉넓이의 차를 구하시오.

<3> 정육면체 모양의 쌓기나무 16개를 쌓아서 다음 그림과 같이 입체도형을 만들었습니다. 이 입체도형에 쌓기나무 2개를 추가로 쌓은 후 바닥면을 포함한 겉면에 페인트를 칠하였을 때, 색칠한 면의 수가 가장 많은 경우와 가장 적은 경우에 대하여 색칠한 면의 개수를 각각 구하시오.

경향신문