2014학년도 영재학교 입시 수학 문항 분석 대전과학고, 광주과학고[기출문제

신규 영재학교인 대전과학고 2단계 수학 시험에는

① 바람개비가 스쳐 지나간 넓이 (기하)

② 특정 조건을 만족하는 모래시계 문제 (대수)

③ 정삼각형의 둘레를 움직이는 정삼각형 또는 정사각형의 자취 (기하)

④ 삼각형의 분항과 순서쌍 (조합-기하)

⑤ 배수 조건과 나머지 조건을 만족하는 자연수의 최댓값 (정수)

등이 출제되었다. 전반적인 난이도와 문항 범위는 대구과학고와 비슷한 정도로, 중등 심화 유형과 창의사고 유형이 반반 정도씩 출제되었다.

정삼각형을 여러 개의 정삼각형으로 분할하고자 한다. 그리고 분할을 이루는 각각의 정삼각형의 내부에는 그 정삼각형의 한 변의 길이를 각각 적고, 위로 볼록한 모양의 정삼각형(△)에는 자연수 값 그대로, 아래로 볼록한 모양의 정삼각형(▽)에는 '-'를 붙여 음의 정수로 적는다. 그리고 각각의 정삼각형의 내부에 적혀 있는 숫자들을 작은 수부터 배열한 순서쌍을 주어진 정삼각형에 대응하는 분할 순서쌍이라 하자. 몇 개의 예를 들어 보면 다음과 같다. ⑴ 분할이 되었을 때의 정삼각형의 개수가 8개 즉, ＝8일 때의 분할 순서쌍의 예를 두 가지 찾고, 그 때의 각각의 정삼각형의 분할 그림을 그려라. ⑵ 분할이 되었을 때 각각의 정삼각형에 적혀 있는 숫자들의 전체 총합과, 분할되기 이전의 정삼각형의 한 변의 길이와의 관계를 구하고, 그 이유를 설명하여라.

삼각형의 다양한 분할 방법과, 동일한 삼각형에서의 분할 방법에서의 불변량을 찾는 창의사고 유형의 조합-기하 문제이다. 실제로 Final-345 수학의 3회 7번 문제를 접해본 학생이라면 어렵지 않게 해 줄 수 있었을 것이다.

또 하나의 신규 영재학교인 광주 과학고의 2014학년도 2단계 수학 시험에는

① 그레고리 역법에서의 연도 계산 문제 - 나머지 개념 (정수)

② 대한민국 지도에서의 4색 문제 (조합)

③ 삼각형의 닮음을 이용한 피타고라스 정리의 증명 & 넓이 비 계산 (기하)

④ 유리식의 계산 및 증명 - 특별한 분수 (정수-조합)

⑤ 주어진 도형의 넓이를 이등분하는 직선의 종류 (기하)

⑥ 사면체를 지면에 투영했을 때의 그림자 관련 문제 (입체 기하)

등이 출제되었다. 광주의 수학 시험은 대구, 대전의 그것과 비슷하거나 약간 쉬운 수준이었으며, 문항의 구성도 중등 심화 유형과 창의사고 유형이 5:5 정도의 비중으로 비슷했다. 창의사고 유형에는 심화 유형보다는, 닮음을 이용한 피타고라스 정리의 증명, 여러 종류의 이등분선 구하기 등과 같이 기존의 관점과 다른, 다양한 사고를 묻는 주제가 주(主)를 이루었다.

60＜＜＜100 인 자연수 , 에 대하여 1보다 작은 분수 들을 생각해 보자. 예를 들어 를 만족한다. 이러한 분수를 '특별한 분수' 라고 하자. 이 때 다음 물음에 답하여라. 1) 가 특별한 분수가 되는 (,)의 개수를 구하여라. 2) 특별한 분수가 다음과 같은 성질이 만족하는 이유를 설명하여라. 3) 특별한 분수가 다음과 같은 성질이 만족하는 이유를 설명하여라.

특별한 분수의 조건이 유리식의 연산에서 '가비의 리'를 포함하고 있음을 착안하면 쉽게 증명을 해결할 수 있는 중등 심화 수준의 문제이다. 구체적으로 에서 특히,이면

를 만족하는 자연수 가 존재함을 이용하면 충분하다.

다음 도형의 넓이를 이등분하는 직선을 그리는 방법을 제시하여라.

주어진 도형의 넓이를 구하고, 이를 이등분하는 직선을 다양한 출발점을 이용하여 구하는 문제로 중등 교과 수준의 창의 사고 유형이다.

★2014학년도 영재학교 2단계 수학 문항 분석 총정리★ 영재학교 수학 시험은 학생들이 중등에서 학습한 기본 개념과 원리에 창의적 사고를 더해낼 수 있는 지를 평가하려고 한다. 작년까지의 학교별 수학 시험의 수준과 유형은 다소 편차가 많았던 것으로 보인다. 그러나 이러한 학교들 간의 편차가 많이 좁혀진 것으로 보인다. 특히 신규 영재학교의 문항 수준도 기존 학교들의 그것과 아주 큰 편차를 보이지는 않았다. 첫째로, 답이 열린 형태의 탐구 개방형 문제가 많이 출제되었던 한국과학영재학교는, 탐구형 문제가 많이 출제되었으나 완전한 개방형 보다는 다소 좁혀진 범위 안에서 다양한 관점을 제시할 수 있는 수준으로 출제되었다. 특히 이러한 관점의 출제는 신규 영재학교인 대전과 광주에서도 많이 엿보이고 있어, 학생들에게 다양한 관점으로 접근하는 탐구형 문제에 대한 학습이 반드시 필요할 것이다. 둘째로, 서울, 경기 등 수도권 영재학교의 수학 시험에는 KMO 수준의 이론 학습이 필요한 문제들이 왕왕 있었으나, 올해는 이런 부분이 축소되었다. 즉, 서술형 형태의 문제 해결 능력 중심의 평가에서 객관식 선다형 등의 다양한 형태를 통한 이해 능력, 추론 능력 등의 행동 영역 평가까지도 다양하게 출제되고 있으며, 이런 변화는 계속 지속될 것으로 보인다. 영재학교, 입시수학의 특징 모든 수학 평가는 내용 영역과 행동 영역 관점에서 설계되어 진행된다. 이번 호에서는 올해 영재학교 입시 수학의 행동 영역 관점에서의 특징을 주로 정리해 보고, 내용 영역별 구체적 특징은 다음 호에서 다루어 보도록 하자. 첫째, 창의적 문제 해결 능력에 대한 평가 비중은 여전하다고 받아들이고, 제시된 문제에 대한 일차적 문제 해결뿐만 아니라, 검토 과정을 통해 최적화된 문제 해결 전략으로 가다듬은 과정을 반드시 거치도록 습관을 키워야 한다. 이러한 부분을 구체적으로 보강하는 데 있어서, 기존의 전형적인 교과 수준 문제 해결 전략만으로는 부족한 훈련을 KMO 등의 경시 수학 학습이 유용할 수 있다. 다만, 이 때 너무 심화된 이론의 학습에 치중하기 보다는, 학생 자신이 알고 있는 수학적 개념을 최적으로 활용하는 관점에서 접근해 학습하는 것이 바람직할 것이다. 둘째, 최근 입시에서 다변화되고 있는 평가 요소 중 추론 능력에 대한 강조를 놓쳐서는 안 될 것이다. 증명으로 대변되는 연역적 추론 능력은 교과 수준의 내용에 대한 그것을 확실히 할 정도로 해야 한다. 그리고 문제 상황에서 수열의 개념을 활용해서 접근할 수 있는 문제에서는 귀납적 추론 능력의 숙성도에 따른 문제 해결의 완성도가 좌우되는 만큼, 그에 대한 훈련은 일정 수준으로 갈고 닦아야 한다. 마지막으로 구체화되지 않은 수학적 심상이나 개념을 어떤 명제로 구체화하는 유추의 과정에 대한 경험치를 올려야 할 것이다. 대부분의 학생들은 교사나 교재를 통해 접한 개념을 수동적으로 받아들이고 그것에 대한 유형 연습에 치중하는 경향이 있다. 이러한 학습 구조에만 치중한 학생들에게는 유추적 사고에 대한 평가 문제는 매우 어려울 것이다. 따라서 학생들 입장에서는 개념과 원리를 배울 때, 그것에 해당하는 다양한 예나 대표적 성질을 추측해 보고 그것을 명제 화하여 검증하는 능동적 자세를 키워야 할 것이다.   2014학년도 영재학교 입시 수학 문항 분석 ④ - 대전과학고, 광주과학고[기출문제]